Leeromgeving›Natuurkunde›4 havo›H4 Trillingen

Hoofdstuk 4 · 58 opdrachten uitgewerkt

Trillingen

Trillingen en hun eigenschappen, het (u,t)-diagram en het oscillogram, eigenfrequentie en resonantie, het massa-veersysteem en de eenparige cirkelbeweging.

Klik een paragraaf open, en daarna de opdracht die je wilt nakijken.

13 opdrachten

Zo pak je het aan

Begrippen: een trilling is een periodieke beweging rond een evenwichtsstand. De uitwijking u is de afstand tot de evenwichtsstand (positief of negatief), de amplitude A de grootste uitwijking.

Trillingstijd en frequentie: T is de tijd van één volledige trilling; f is het aantal trillingen per seconde. f = 1 / T (Binas 35B1). Meet T nauwkeurig door de tijd van veel trillingen te meten en te delen door het aantal.

Opdracht 1

a Een trilling is een periodieke beweging (een beweging die zich steeds herhaalt) rond een evenwichtsstand.

b De periode is de tijdsduur van één volledige trilling.

c De uitwijking is de afstand van het trillende voorwerp tot de evenwichtsstand, met een plus- of minteken voor de kant.

d De amplitude is de grootste uitwijking.

e De trillingstijd is hetzelfde als de periode: de tijdsduur van één volledige trilling.

f De frequentie is het aantal trillingen per seconde.

Opdracht 2

a In de evenwichtsstand is de uitwijking 0 cm.

b +45 cm of −45 cm, afhankelijk van de kant.

c De snelheid is nul in de uiterste standen: +45 cm of −45 cm.

d De snelheid is maximaal in de evenwichtsstand: 0 cm.

e De uitwijking ligt altijd tussen −45 cm en +45 cm.

A (60 cm): nee, groter dan de amplitude.
B (−30 cm): ja.
C (+30 cm): ja.
D (+60 cm): nee.

Opdracht 3

a De frequentie is gelijk aan 1 gedeeld door de trillingstijd (en andersom).

b f = 1 / T (of T = 1 / f).

c omgekeerd evenredig

d De frequentie wordt twee keer zo groot en de trillingstijd twee keer zo klein.

Opdracht 4

a Het blokje is 1,5 cm van de evenwichtsstand, aan de kant die je positief noemt.

b Het blokje is 2,3 cm van de evenwichtsstand, aan de andere (negatieve) kant.

c De grootste uitwijking is 4,0 cm: het blokje komt nooit verder dan 4,0 cm van de evenwichtsstand.

d f = 2,5 Hz.

\begin{aligned} T &= \frac{1}{f} \\ &= \frac{1}{2{,}5} \\ &= 0{,}40\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} t &= 10 \times 0{,}40 \\ &= 4{,}0\ \text{s} \end{aligned}

Opdracht 5

\begin{aligned} n &= \frac{1{,}0}{0{,}20} \\ &= 5{,}0\ \text{trillingen} \end{aligned}

b Volgens de definitie (trillingen per seconde): 5,0 Hz.

\begin{aligned} f &= \frac{1}{0{,}20} \\ &= 5{,}0\ \text{Hz} \end{aligned}

Opdracht 6

\begin{aligned} n &= f \cdot t \\ &= 0{,}35 \times 8{,}0 \\ &= 2{,}8\ \text{trillingen} \end{aligned}

Opdracht 7

\begin{aligned} T_\text{dobber} &= \frac{15}{35} \\ &= 0{,}43\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} T_\text{slinger} &= \frac{30}{14} \\ &= 2{,}1\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} f_\text{dobber} &= \frac{35}{15} \\ &= 2{,}3\ \text{Hz} \end{aligned}

\begin{aligned} f_\text{slinger} &= \frac{14}{30} \\ &= 0{,}47\ \text{Hz} \end{aligned}

\begin{aligned} f \cdot T &= \frac{35}{15} \times \frac{15}{35} \\ &= 1{,}0 \end{aligned}

\begin{aligned} f \cdot T &= \frac{14}{30} \times \frac{30}{14} \\ &= 1{,}0 \end{aligned}

e f · T = 1, dus f = 1 / T.

Opdracht 8

\begin{aligned} f &= \frac{20}{15} \\ &= 1{,}33\ \text{Hz} \end{aligned}

\begin{aligned} f &= \frac{1}{2{,}0000} \\ &= 0{,}500\,00\ \text{Hz} \end{aligned}

\begin{aligned} f &= \frac{140}{60} \\ &= 2{,}33\ \text{Hz} \end{aligned}

D 1 min en 10 s = 70 s.

\begin{aligned} f &= \frac{850}{70} \\ &= 12\ \text{Hz} \end{aligned}

Volgorde: B – A – C – D.

Opdracht 9

a 96,8 MHz = 96,8 · 10⁶ Hz (Binas 2).

\begin{aligned} T &= \frac{1}{96{,}8 \cdot 10^6} \\ &= 1{,}03 \cdot 10^{-8}\ \text{s} \end{aligned}

Dat is 10,3 ns.

b 1204 μs = 1204 · 10⁻⁶ s.

\begin{aligned} f &= \frac{1}{1204 \cdot 10^{-6}} \\ &= 830{,}6\ \text{Hz} \end{aligned}

Opdracht 10

a Slingertijd = gemeten tijd gedeeld door het aantal slingeringen; frequentie = 1 / slingertijd.

experiment	amplitude (cm)	slingerlengte (cm)	massa (g)	gemeten tijd (s)	aantal	slingertijd (s)	frequentie (Hz)
A	2,0	35	75	11,9	10	1,19	0,840
B	4,0	35	75	23,7	20	1,19	0,844
C	2,0	50	75	21,3	15	1,42	0,704
D	2,0	35	125	14,2	12	1,18	0,845

b De slingertijd hangt niet af van de amplitude en van de massa (van het gewichtje), maar wel van de slingerlengte.

c Elke proef verschilt maar in één grootheid van proef A: bij B alleen de amplitude, bij C alleen de lengte, bij D alleen de massa. De andere grootheden zijn steeds gelijk gehouden.

Opdracht 11

Tel de beelden op de foto: 9 beelden. Tussen het eerste en het laatste beeld zitten 8 tussenpozen van 1 / 10,0 = 0,100 s.

\begin{aligned} t &= 8 \times 0{,}100 \\ &= 0{,}80\ \text{s} \end{aligned}

Van de ene uiterste stand naar de andere is een halve trilling.

\begin{aligned} T &= 2 \times 0{,}80 \\ &= 1{,}60\ \text{s} \end{aligned}

Opdracht 12

a Overeenkomst: beide zijn periodiek (ze herhalen zich steeds). Verschil: een cirkelbeweging heeft geen evenwichtsstand, een trilling wel.

b Binas 31: de maan draait in 27,32 dagen om de aarde, de aarde in 365,256 dagen (1 jaar) om de zon. Volgens de voetnoot zijn dat siderische omlooptijden (ten opzichte van de sterren).

c Nee. Een cirkelbeweging (de maan om de aarde, een draaiend wiel) is periodiek, maar geen trilling.

d Ja: een trilling is per definitie een periodieke beweging.

Opdracht 13

\begin{aligned} T &= \frac{1}{0{,}82} \\ &= 1{,}22\ \text{s} \end{aligned}

Het blokje start bovenin. Het gaat omlaag door de evenwichtsstand op ¼T, is onderin op ½T en gaat omhoog door de evenwichtsstand op ¾T. De tweede keer omhoog is één trilling later: op 1¾T.

\begin{aligned} t &= 1{,}75 \times 1{,}22 \\ &= 2{,}1\ \text{s} \end{aligned}

b De snelheid is nul in de uiterste standen: op ½T (onderin), T (bovenin) en 1½T (onderin). Na de start is de snelheid dus drie keer nul geweest (op t = 0 zelf was hij ook nul).

4.1 Eigenschappen van trillingen nagekeken?

13 opdrachten

Zo pak je het aan

(u,t)-diagram: lees de amplitude af als de grootste uitwijking vanaf de tijdas, en de trillingstijd als de tijd tussen twee toppen. Neem voor de nauwkeurigheid meerdere trillingen. Bij een harmonische trilling is het diagram een sinus.

Snelheid: de steilheid van de raaklijn. In de toppen en dalen is v = 0; in de evenwichtsstand is v maximaal. Bij een harmonische trilling is v_max = 2π · f · A.

Oscillogram: reken hokjes om met de instelling (V/div en s/div). Hogere toon = grotere frequentie; harder geluid = grotere amplitude.

Opdracht 14

a Een sinus (sinusoïde).

b en c

Het (u,t)-diagram van een harmonische trilling, met de evenwichtsstand, de amplitude A en de trillingstijd T.

Opdracht 15

a Bijvoorbeeld een schommel, een massa aan een veer of een stemvork.

b Bijvoorbeeld een kloppend hart, een aardbeving of je stembanden als je praat of zingt.

Opdracht 16

a Het beeld van een elektrische trilling op het scherm van een oscilloscoop.

b Horizontaal de tijd, verticaal de spanning.

c Een wisselspanning is al een elektrisch signaal. Geluid is een trilling van de lucht; dat moet eerst omgezet worden in een elektrische trilling.

d Een microfoon.

e Ja. Je lichaam stuurt spieren (zoals je hart) aan met zwakke elektrische signalen. Met elektroden op je huid kun je die spanning meten; zo wordt een ecg gemaakt.

Opdracht 17

a Een microfoon zet geluidstrillingen om in elektrische trillingen.

b Een luidspreker zet elektrische trillingen om in geluidstrillingen.

Opdracht 18

	periodiek	harmonisch	gedempt
hartslag	x
slinger van een klok	x	x
wiek van een windmolen	x
trillende gitaarsnaar	x		x
blokje aan een veer	x	x	x

Toelichting: de slinger van een klok wordt aangedreven, dus niet gedempt. Een windmolenwiek draait rond: periodiek, maar geen trilling. Een blokje aan een veer trilt harmonisch en dooft langzaam uit.

Opdracht 19

a een grotere amplitude

b een kleinere trillingstijd

c niet

Opdracht 20

Lees af (één hokje is 0,5 ms):

trilling	A (cm)	T (ms)	f (Hz)
A	0,5	1,0	1,0 · 10³
B	3,0	2,0	5,0 · 10²
C	1,8	3,0	3,3 · 10²

a Van laag naar hoog: C – B – A.

b Van klein naar groot: A – C – B.

\begin{aligned} f_\text{B} &= \frac{1}{2{,}0 \cdot 10^{-3}} \\ &= 5{,}0 \cdot 10^2\ \text{Hz} \end{aligned}

d De snelheid in de evenwichtsstand is de steilheid van de grafiek bij u = 0. Grafiek B is daar het steilst: B. Dan volgt C en dan A (v_max = 2π · f · A geeft voor B 9,4, voor C 3,8 en voor A 3,1 cm/ms).

Opdracht 21

Teken een sinus met amplitude 2,5 cm. Er passen 6,0 / 1,5 = 4 trillingen in 6,0 s.

Het (u,t)-diagram: A = 2,5 cm, T = 1,5 s, vier volledige trillingen.

Opdracht 22

a Elektrocardiogram.

b Nee. Het ecg is geen sinus.

c Meet op het papier de afstand tussen twee pieken: 37,5 mm.

\begin{aligned} T &= \frac{37{,}5}{40} \\ &= 0{,}94\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} \text{hartslag} &= \frac{60}{0{,}94} \\ &= 64\ \text{bpm} \end{aligned}

e Het hart slaat vaker: de tijd tussen twee slagen wordt kleiner. Op het papier komen de pieken dichter bij elkaar.

Opdracht 23

a De grafiek gaat van h = 2,0 m bij t = 0 omhoog en komt bij t = 12,4 h weer op 2,0 m in dezelfde richting.

\begin{aligned} T &= 12{,}4 \times 3600 \\ &= 4{,}46 \cdot 10^4\ \text{s} \end{aligned}

b De hoogste stand is 5,0 m en de laagste 1,0 m. De evenwichtsstand ligt midden ertussen: 3,0 m. Daar is de waterhoogte op t = 1,0 h en t = 7,2 h.

\begin{aligned} A &= \frac{5{,}0 - 1{,}0}{2} \\ &= 2{,}0\ \text{m} \end{aligned}

d Op t = 6,0 h is h = 4,2 m.

\begin{aligned} u &= 4{,}2 - 3{,}0 \\ &= 1{,}2\ \text{m} \end{aligned}

Opdracht 24

a Teken de raaklijn aan de grafiek op het gevraagde tijdstip. De snelheid is de steilheid van de raaklijn: Δh / Δt.

b Teken de raaklijn in de evenwichtsstand (t = 1,0 h). Die stijgt ongeveer 1,0 m per uur.

\begin{aligned} v &= \frac{0{,}98}{3600} \\ &= 2{,}7 \cdot 10^{-4}\ \text{m/s} \end{aligned}

c In de hoogste en de laagste stand: op t = 4,1 h en t = 10,3 h.

d Van h = 5,0 m (t = 4,1 h) naar h = 1,0 m (t = 10,3 h):

\begin{aligned} v_\text{gem} &= \frac{1{,}0 - 5{,}0}{(10{,}3 - 4{,}1) \times 3600} \\ &= -1{,}8 \cdot 10^{-4}\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} v_\text{max} &= 2\pi \cdot f \cdot A \\ &= \frac{2\pi \times 2{,}0}{4{,}46 \cdot 10^4} \\ &= 2{,}8 \cdot 10^{-4}\ \text{m/s} \end{aligned}

Dat klopt (binnen de afleesnauwkeurigheid) met b.

f Na één volledige trilling is de boot weer op dezelfde hoogte. Begin- en eindpunt vallen samen, dus de verplaatsing is nul.

g Eén trilling is: omhoog naar de top, omlaag naar het dal en terug omhoog. Dat is vier keer de amplitude.

\begin{aligned} s &= 4 \times 2{,}0 \\ &= 8{,}0\ \text{m} \end{aligned}

Opdracht 25

Meet in de figuur: tussen de eerste en de laatste top zitten 12 trillingen over 5,7 cm. De schaal is 2 : 1, dus in werkelijkheid is dat 2,85 cm.

De tijd voor 12 trillingen:

\begin{aligned} t &= \frac{12}{256} \\ &= 0{,}0469\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} v &= \frac{0{,}0285}{0{,}0469} \\ &= 0{,}61\ \text{m/s} \end{aligned}

Opdracht 26

a De fluit: zijn oscillogram is (bijna) een zuivere sinus. De piano heeft een ingewikkelder vorm.

b Ja. Beide oscillogrammen herhalen zich met dezelfde trillingstijd, dus de frequentie (de toonhoogte) is gelijk.

c Bij de fluit passen ongeveer 6,5 trillingen in 25 ms.

\begin{aligned} T &= \frac{25}{6{,}5} \\ &= 3{,}85\ \text{ms} \end{aligned}

\begin{aligned} f &= \frac{1}{3{,}85 \cdot 10^{-3}} \\ &= 260\ \text{Hz} \end{aligned}

In Binas 15C hoort 261,6 Hz bij de toets c1.

4.2 Trillingen in beeld nagekeken?

13 opdrachten

Zo pak je het aan

Eigenfrequentie: de frequentie waarmee een voorwerp vanzelf trilt. Demping maakt de amplitude kleiner, de frequentie blijft gelijk. Resonantie: een voorwerp trilt sterk mee als het van buitenaf wordt aangestoten met zijn eigenfrequentie.

Massa-veersysteem (Binas 35B1): T = 2π √(m / C). Reken m in kg. Omschrijven: C = 4π² · m / T² en m = T² · C / 4π². T² is recht evenredig met m.

Opdracht 27

a De eigenfrequentie is de frequentie waarmee een voorwerp vanzelf trilt als je het aanstoot.

b De resonantiefrequentie is de frequentie van buitenaf waarbij resonantie optreedt: gelijk aan de eigenfrequentie.

c Resoneren is sterk meetrillen met een trilling van buitenaf die dezelfde frequentie heeft als de eigenfrequentie.

d Demping is het kleiner worden van de amplitude door weerstandskrachten.

Opdracht 28

B. De toonhoogte hangt af van de lengte, de spankracht en de dikte, niet van de amplitude.

Opdracht 29

B en D. De trillingstijd hangt af van de massa en de veerconstante (stugheid), niet van de uitwijking of de amplitude.

Opdracht 30

a Een voorwerp heeft een eigentrilling met een eigenfrequentie. Wordt het van buitenaf aangestoten (een gedwongen trilling) met een frequentie gelijk aan die eigenfrequentie, dan gaat het sterk meetrillen: resonantie.

b Bijvoorbeeld de klankkast van een gitaar of piano, de resonantiebuizen onder een xylofoon, of een schommel die je op het goede moment duwt.

c Bijvoorbeeld ramen die meetrillen met een vrachtwagen, de tuien van een brug die in de wind gaan slingeren, of rammelende onderdelen in een auto.

Opdracht 31

B. Door demping wordt de amplitude (de geluidssterkte) kleiner; de frequentie (de toonhoogte) blijft gelijk.

Opdracht 32

B. De klankkast trilt mee met dezelfde frequentie: het geluid wordt harder, de toonhoogte blijft gelijk.

Opdracht 33

\begin{aligned} F_\text{z} &= 0{,}130 \times 9{,}81 \\ &= 1{,}28\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} u &= \frac{F}{C} \\ &= \frac{1{,}28}{15} \\ &= 0{,}085\ \text{m} \end{aligned}

Dat is 8,5 cm.

c De extra uitrekking van 5,0 cm vraagt een extra kracht:

\begin{aligned} F &= 15 \times 0{,}050 \\ &= 0{,}75\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} u &= 8{,}5 + 5{,}0 \\ &= 13{,}5\ \text{cm} \end{aligned}

e Je laat het blokje los op 5,0 cm onder de evenwichtsstand. Daar is de snelheid nul: dat is een uiterste stand. De amplitude is 5,0 cm.

\begin{aligned} T &= 2\pi \sqrt{\frac{0{,}130}{15}} \\ &= 0{,}58\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} T &= 2\pi \sqrt{\frac{0{,}260}{15}} \\ &= 0{,}83\ \text{s} \end{aligned}

0,83 / 0,58 = 1,4: de trillingstijd wordt √2 keer zo groot, niet twee keer.

Opdracht 34

a Ja: het uiteinde beweegt heen en weer rond een evenwichtsstand.

b Ja, bij benadering: de beweging is (gedempt) sinusvormig.

c Ja: de amplitude neemt af.

d Op t = 0 is het uiteinde in de laagste stand (u = −10 cm). Elke halve trillingstijd (0,45 s) komt het in de andere uiterste stand, met een 20% kleinere uitwijking: −10; +8,0; −6,4; +5,1; −4,1; +3,3; −2,6 cm.

Het (u,t)-diagram van de duikplank: een gedempte trilling met T = 0,90 s. Elke uiterste stand is 20% kleiner dan de vorige.

Opdracht 35

\begin{aligned} f &= \frac{24}{15{,}4} \\ &= 1{,}56\ \text{Hz} \end{aligned}

\begin{aligned} T &= \frac{15{,}4}{24} \\ &= 0{,}642\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} m &= \frac{T^2 \cdot C}{4\pi^2} \\ &= \frac{0{,}642^2 \times 7{,}4}{4\pi^2} \\ &= 0{,}077\ \text{kg} \end{aligned}

Opdracht 36

A. De trillingstijd hangt niet af van de amplitude. Q legt een twee keer zo grote afstand af, maar met een twee keer zo grote snelheid.

Opdracht 37

\begin{aligned} C &= \frac{4\pi^2 \cdot m}{T^2} \\ &= \frac{4\pi^2 \times 54{,}2}{4{,}35^2} \\ &= 113\ \text{N/m} \end{aligned}

b Josine trilt rond de evenwichtsstand. Daar is de veerkracht gelijk aan de zwaartekracht:

\begin{aligned} F_\text{z} &= 54{,}2 \times 9{,}81 \\ &= 532\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} u &= \frac{532}{113} \\ &= 4{,}7\ \text{m} \end{aligned}

De evenwichtsstand ligt 36 + 4,7 = 40,7 m onder de brug. Het water ligt 65 m onder de brug.

\begin{aligned} A_\text{max} &= 65 - 40{,}7 \\ &= 24\ \text{m} \end{aligned}

Opdracht 38

a Resonantie: de golven in het zand stootten de carrosserie aan met haar eigenfrequentie.

b 1,0 ton extra geeft een extra kracht:

\begin{aligned} F &= 1{,}0 \cdot 10^3 \times 9{,}81 \\ &= 9{,}81 \cdot 10^3\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} C &= \frac{F}{u} \\ &= \frac{9{,}81 \cdot 10^3}{0{,}020} \\ &= 4{,}9 \cdot 10^5\ \text{N/m} \end{aligned}

c Op de veren rust de carrosserie (9,0 ton):

\begin{aligned} T &= 2\pi \sqrt{\frac{9{,}0 \cdot 10^3}{4{,}9 \cdot 10^5}} \\ &= 0{,}85\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} f &= \frac{1}{0{,}85} \\ &= 1{,}2\ \text{Hz} \end{aligned}

d Bij resonantie rijdt de truck in één trillingstijd van de ene top naar de volgende. De snelheid is 200 / 3,6 = 55,6 m/s.

\begin{aligned} s &= v \cdot T \\ &= 55{,}6 \times 0{,}85 \\ &= 47\ \text{m} \end{aligned}

Opdracht 39

a Schrijf de formule om: ℓ = g · T² / 4π².

\begin{aligned} \ell &= \frac{9{,}81 \times 1{,}0000^2}{4\pi^2} \\ &= 0{,}248\ \text{m} \end{aligned}

b In Johannesburg is g kleiner dan in Nederland (Binas 30B). Uit T = 2π √(ℓ / g) volgt dan een grotere slingertijd: de slinger gaat langzamer en de klok gaat achter lopen.

c Om T weer 1,0000 s te maken moet ℓ / g gelijk blijven. g is kleiner, dus ℓ moet ook kleiner: de slinger korter maken.

4.3 Resonantie nagekeken?

14 opdrachten

Zo pak je het aan

Eenparige cirkelbeweging: de baansnelheid is constant van grootte, maar verandert steeds van richting (langs de raaklijn). Binas 35A2: v = 2πr / T. De omlooptijd T is de tijd voor één rondje, f = 1 / T.

Middelpuntzoekende kracht: F_mpz = m · v² / r, gericht naar het middelpunt. Ga na welke bestaande kracht hem levert (spankracht, wrijving, normaalkracht). Reken snelheden om naar m/s.

Opdracht 40

a Een beweging langs een cirkel met een snelheid die constant is van grootte.

b De baansnelheid verandert niet wat betreft grootte, maar wel wat betreft richting.

Opdracht 41

C is juist: F_mpz is recht evenredig met m.

A is onjuist: F_mpz wijst steeds naar het middelpunt; die richting draait mee met het voorwerp.
B is onjuist: F_mpz is omgekeerd evenredig met r; bij een twee keer zo grote straal is hij twee keer zo klein.
D is onjuist: F_mpz is evenredig met v²; bij een twee keer zo grote snelheid is hij vier keer zo groot.

Opdracht 42

\begin{aligned} T &= \frac{60}{13} \\ &= 4{,}6\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} f &= \frac{13}{60} \\ &= 0{,}22\ \text{Hz} \end{aligned}

\begin{aligned} v &= \frac{2\pi r}{T} \\ &= \frac{2\pi \times 3{,}2}{4{,}62} \\ &= 4{,}4\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{mpz} &= \frac{m \cdot v^2}{r} \\ &= \frac{20 \times 4{,}35^2}{3{,}2} \\ &= 1{,}2 \cdot 10^2\ \text{N} \end{aligned}

Opdracht 43

\begin{aligned} T &= \frac{1}{5{,}2} \\ &= 0{,}19\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} v &= \frac{2\pi \times 0{,}35}{0{,}192} \\ &= 11\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} v &= \frac{2\pi \times 0{,}20}{0{,}192} \\ &= 6{,}5\ \text{m/s} \end{aligned}

d Ja. De computer telt alleen het aantal omwentelingen per seconde (één keer per rondje komt de magneet langs de sensor). Met de omtrek van het wiel rekent hij de snelheid uit. Waar de magneet op de spaak zit, maakt voor het aantal omwentelingen niet uit.

Opdracht 44

a 365,256 dagen.

b 0,1496 · 10¹² m.

c 0,9973 dag (de siderische rotatietijd).

d De straal van de aarde: 6,371 · 10⁶ m.

\begin{aligned} T &= 365{,}256 \times 24 \times 3600 \\ &= 3{,}156 \cdot 10^7\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} v &= \frac{2\pi \times 0{,}1496 \cdot 10^{12}}{3{,}156 \cdot 10^7} \\ &= 2{,}979 \cdot 10^4\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} T &= 0{,}9973 \times 24 \times 3600 \\ &= 8{,}617 \cdot 10^4\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} v &= \frac{2\pi \times 6{,}371 \cdot 10^6}{8{,}617 \cdot 10^4} \\ &= 464{,}6\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} v &= 464{,}6 \times 3{,}6 \\ &= 1672\ \text{km/h} \end{aligned}

Opdracht 45

Route 4. Zodra de atleet loslaat, werkt er geen middelpuntzoekende kracht meer. De kogel beweegt dan rechtdoor in de richting van de snelheid op dat moment: langs de raaklijn aan de cirkel in P. (Van bovenaf gezien; de zwaartekracht trekt de kogel daarna wel omlaag.)

Opdracht 46

a 7200 rotaties per minuut is 120 per seconde: T = 1 / 120 s.

\begin{aligned} v &= 2\pi r \cdot f \\ &= 2\pi \times 0{,}030 \times 120 \\ &= 22{,}6\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} n &= \frac{22{,}6}{0{,}50 \cdot 10^{-6}} \\ &= 4{,}5 \cdot 10^7\ \text{bits per seconde} \end{aligned}

Dat is 45 Mbit/s.

Opdracht 47

\begin{aligned} F_\text{mpz} &= \frac{65 \times 12^2}{11} \\ &= 8{,}5 \cdot 10^2\ \text{N} \end{aligned}

Opdracht 48

a 90 km/h = 25 m/s.

\begin{aligned} F_\text{mpz} &= \frac{720 \times 25^2}{90} \\ &= 5{,}0 \cdot 10^3\ \text{N} \end{aligned}

b Schrijf om: v² = F · r / m.

\begin{aligned} v^2 &= \frac{6{,}4 \cdot 10^3 \times 90}{720} \\ &= 800 \end{aligned}

\begin{aligned} v &= \sqrt{800} \\ &= 28\ \text{m/s} \end{aligned}

Dat is 28,3 × 3,6 = 102 km/h.

c 125 km/h = 34,7 m/s. Schrijf om: r = m · v² / F.

\begin{aligned} r &= \frac{720 \times 34{,}7^2}{6{,}4 \cdot 10^3} \\ &= 1{,}4 \cdot 10^2\ \text{m} \end{aligned}

Opdracht 49

a Het koord is 0,90 m en Renates arm is ongeveer 0,7 m lang. De straal is ongeveer 1,6 m.

b Het touw levert F_mpz. Het breekt bij 2,6 kN:

\begin{aligned} v^2 &= \frac{F \cdot r}{m} \\ &= \frac{2{,}6 \cdot 10^3 \times 1{,}6}{4{,}0} \\ &= 1{,}04 \cdot 10^3 \end{aligned}

\begin{aligned} v &= \sqrt{1{,}04 \cdot 10^3} \\ &= 32\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} f &= \frac{v}{2\pi r} \\ &= \frac{32}{2\pi \times 1{,}6} \\ &= 3{,}2\ \text{omw/s} \end{aligned}

Opdracht 50

\begin{aligned} f &= \frac{v}{2\pi r} \\ &= \frac{1{,}25}{2\pi \times 0{,}025} \\ &= 7{,}96\ \text{omw/s} \end{aligned}

\begin{aligned} n &= 7{,}96 \times 60 \\ &= 4{,}8 \cdot 10^2\ \text{omw/min} \end{aligned}

b Bij dezelfde snelheid is f omgekeerd evenredig met r.

\begin{aligned} \frac{r_\text{buiten}}{r_\text{binnen}} &= \frac{5{,}8}{2{,}5} \\ &= 2{,}32 \end{aligned}

Het toerental is buiten 2,32 keer zo klein.

Opdracht 51

a De hele aarde draait in dezelfde tijd om haar as: 0,9973 dag.

b Een kleinere baansnelheid. In Nederland draai je in een cirkel rond de aardas met een kleinere straal (r = R · cos 52°) dan op de evenaar (r = R), in dezelfde omlooptijd.

Op 52° NB is de straal van je cirkelbaan om de aardas kleiner dan op de evenaar.

\begin{aligned} v &= 464{,}6 \times \cos 52^\circ \\ &= 286\ \text{m/s} \end{aligned}

Opdracht 52

a In de bocht is een middelpuntzoekende kracht nodig. Die levert het ijs: een kracht zijwaarts naar binnen. Leunt de schaatser naar binnen, dan wijst de totale kracht van het ijs (omhoog én naar binnen) door zijn zwaartepunt en valt hij niet om.

b Schatting: m = 80 kg. v = 60 / 3,6 = 16,7 m/s. De binnenbocht is een halve cirkel van 400 / 5 = 80 m.

\begin{aligned} r &= \frac{80}{\pi} \\ &= 25\ \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{mpz} &= \frac{80 \times 16{,}7^2}{25} \\ &= 9 \cdot 10^2\ \text{N} \end{aligned}

Opdracht 53

a Gedeeltelijk. De spankracht wijst schuin omhoog. Ontbind hem: de verticale component heft de zwaartekracht op, de horizontale component wijst naar het middelpunt en levert F_mpz.

b Je ziet de led heen en weer gaan rond het midden, net als een trillend voorwerp: een harmonische trilling (de cirkelbeweging van opzij gezien).

c Ze zijn (bij een kleine uitslag) ongeveer gelijk: van opzij gezien is de kegelslinger een slinger die heen en weer gaat met dezelfde periode.

4.4 Cirkelbewegingen nagekeken?

5 opdrachten

Gemengd 54

a D: de (statische) wrijvingskracht tussen blok en draaitafel.

b C: de blokken liggen links van het middelpunt, dus F_mpz wijst naar rechts.

c Even groot: alle draaitafels hebben hetzelfde toerental.

d Kleiner: bij dezelfde omlooptijd is v recht evenredig met r, en r_A is kleiner dan r_B.

e 78 toeren per minuut: T = 60 / 78 = 0,769 s.

\begin{aligned} v &= \frac{2\pi \times 0{,}06}{0{,}769} \\ &= 0{,}5\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{mpz} &= \frac{1 \times 0{,}49^2}{0{,}06} \\ &= 4\ \text{N} \end{aligned}

Gemengd 55

a De toppen liggen op 1,15 cm en de dalen op 0,43 cm.

\begin{aligned} A &= \frac{1{,}15 - 0{,}43}{2} \\ &= 0{,}36\ \text{cm} \end{aligned}

b De toppen liggen bij 8,9 s en 14,3 s: drie trillingen in 5,4 s.

\begin{aligned} T &= \frac{5{,}4}{3} \\ &= 1{,}8\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} f &= \frac{1}{1{,}8} \\ &= 0{,}56\ \text{Hz} \end{aligned}

\begin{aligned} v_\text{max} &= 2\pi \cdot f \cdot A \\ &= 2\pi \times 0{,}56 \times 0{,}36 \\ &= 1{,}3\ \text{cm/s} \end{aligned}

(Met een raaklijn in de evenwichtsstand vind je hetzelfde.)

d Op t = 10 s is het punt net door het dal (t = 9,8 s) en gaat het omhoog naar de evenwichtsstand. De grafiek wordt steiler: het punt versnelt.

Gemengd 56

\begin{aligned} F &= 12{,}2 \times 9{,}81 \\ &= 120\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} u &= \frac{120}{1{,}3 \cdot 10^3} \\ &= 0{,}092\ \text{m} \end{aligned}

Dat is 9,2 cm.

b De massa is 12,2 + 3,2 = 15,4 kg.

\begin{aligned} T &= 2\pi \sqrt{\frac{15{,}4}{1{,}3 \cdot 10^3}} \\ &= 0{,}684\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} f &= \frac{1}{0{,}684} \\ &= 1{,}5\ \text{Hz} \end{aligned}

c Meet op het papier de afstand tussen twee pieken (liefst over meerdere slagen en deel door het aantal). Deel die afstand door 50 mm/s: dat geeft de tijd tussen twee slagen, T. De hartslag is dan 60 / T slagen per minuut.

d Uit T = 2π √(m / C): T moet groter worden.

De massa groter maken, bijvoorbeeld door een gewicht in de wieg te leggen.
De veerconstante kleiner maken, met een slappere veer.

Gemengd 57

a De brug ligt in een bocht. In een bocht is een middelpuntzoekende kracht nodig, en die levert de wrijving tussen banden en wegdek. Bevriest de brug, dan is de wrijving te klein en vliegen auto's uit de bocht.

b Teken op de kaart een cirkel die zo goed mogelijk over de bocht valt. Meet de straal en reken die om met de schaalstreep van 100 m.

c De wrijvingskracht levert F_mpz:

\begin{aligned} F_\text{w} &= 0{,}15 \times 1400 \times 9{,}81 \\ &= 2{,}06 \cdot 10^3\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} v^2 &= \frac{F \cdot r}{m} \\ &= \frac{2{,}06 \cdot 10^3 \times 150}{1400} \\ &= 221 \end{aligned}

\begin{aligned} v &= \sqrt{221} \\ &= 14{,}9\ \text{m/s} \end{aligned}

Dat is 14,9 × 3,6 = 53 km/h.

d De massa maakt niets uit. De wrijvingskracht is 0,15 · m · g en de benodigde kracht m · v² / r. Beide zijn evenredig met m, dus m valt weg: v² = 0,15 · g · r.

Gemengd 58

a In de evenwichtsstand is de veerkracht gelijk aan de zwaartekracht: 2,8 × 9,81 = 27,5 N. Door 9,0 cm extra uitrekking komt er bij:

\begin{aligned} \Delta F &= 49 \times 0{,}090 \\ &= 4{,}4\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{veer} &= 27{,}5 + 4{,}4 \\ &= 32\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} T &= 2\pi \sqrt{\frac{2{,}8}{49}} \\ &= 1{,}50\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} f &= \frac{1}{1{,}50} \\ &= 0{,}67\ \text{Hz} \end{aligned}

c De trilling gebeurt rond de evenwichtsstand. Die ligt midden in de band van het (x,t)-diagram: 0,87 m.

d Als de verticale trilling maximaal is, draait het blok niet: bijvoorbeeld op t = 12 s en t = 41 s.

e 1. Tel in het (α,t)-diagram de trillingen: tussen t = 20 s en t = 35 s zijn er ongeveer 10.

\begin{aligned} f &= \frac{10}{15} \\ &= 0{,}67\ \text{Hz} \end{aligned}

Ja. De draaitrilling heeft dezelfde frequentie als de op-en-neer trilling (0,67 Hz). De ene trilling stoot de andere steeds aan met diens eigenfrequentie; zo gaat de energie heen en weer tussen beide trillingen.

Gemengde opgaven nagekeken?

Grootheid	Symbool	Eenheid
uitwijking	$u$	meter (m)
amplitude	$A$	meter (m)
trillingstijd, omlooptijd	$T$	seconde (s)
frequentie	$f$	hertz (Hz = s⁻¹)
massa	$m$	kilogram (kg)
veerconstante	$C$	newton per meter (N/m)
straal	$r$	meter (m)
baansnelheid	$v$	meter per seconde (m/s)
middelpuntzoekende kracht	$F_\text{mpz}$	newton (N)

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle f = \frac{1}{T}$	frequentie en trillingstijd	Binas	4.1b
$\displaystyle T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{C}}$	trillingstijd van een massa-veersysteem	Binas	4.3b
$\displaystyle m = \frac{T^2 \cdot C}{4\pi^2}$	massa uit de trillingstijd	Zelf afleiden	4.3b
$\displaystyle v = \frac{2\pi r}{T}$	baansnelheid	Binas	4.4a
$\displaystyle F_\text{mpz} = \frac{m \cdot v^2}{r}$	middelpuntzoekende kracht	Binas	4.4b

Trillingen

Grootheden en eenheden

Formules