Leeromgeving›Natuurkunde›4 havo›H1 Bewegen in beeld›1.5b

Hoofdstuk 1 · Les 8 van 8

Formules omwerken en evenredigheid

De formules uit Binas 35 staan niet altijd met de grootheid voorop die jij zoekt. Dan schrijf je de formule om. En vaak herken je aan een grafiek of formule een evenredig verband.

20 min

Na deze les kun je

een formule omschrijven met de gevraagde grootheid voorop
een recht evenredig en een omgekeerd evenredig verband herkennen in een formule, tabel of grafiek

Formules omwerken

Doe links en rechts van het isgelijkteken steeds hetzelfde, tot de gevraagde grootheid alleen links staat.

✎Voorbeeld 1: vermenigvuldigen en delen

Je fietst 355 m met een gemiddelde snelheid van 25 km/h. Hoelang doe je erover?

Begin met:

v_\text{gem} = \frac{\Delta x}{\Delta t}

Vermenigvuldig links en rechts met $\Delta t$ :

v_\text{gem} \cdot \Delta t = \Delta x

Deel links en rechts door $v_\text{gem}$ :

\Delta t = \frac{\Delta x}{v_\text{gem}}

Reken de snelheid om:

\begin{aligned} v_\text{gem} &= \frac{25}{3{,}6} \\ &= 6{,}94\ \text{m/s} \end{aligned}

Vul in:

\begin{aligned} \Delta t &= \frac{355}{6{,}94} \\ &= 51\ \text{s} \end{aligned}

✎Voorbeeld 2: kwadraat en wortel

Schrijf $E = \tfrac12 m v^2$ om met $v$ voorop.

Vermenigvuldig links en rechts met 2:

2E = m v^2

Deel door $m$ :

v^2 = \frac{2E}{m}

Trek links en rechts de wortel:

v = \sqrt{\frac{2E}{m}}

Recht evenredig

Bij een recht evenredig verband wordt Y $n$ keer zo groot als X $n$ keer zo groot wordt. Notatie: $Y \sim X$ .

\displaystyle Y = c \cdot X \qquad \frac{Y}{X} = c

c

: de evenredigheidsconstante. De grafiek is een rechte lijn door de oorsprong met steilheid

c

Voorbeelden: bij een eenparige beweging $x = v \cdot t$ (constante $v$ ), bij een eenparig versnelde beweging vanuit stilstand $v = a \cdot t$ (constante $a$ ). Begint de beweging met een beginsnelheid, dan is de lijn wel recht maar gaat hij niet door de oorsprong: dat is een lineair verband (Binas 36A).

Omgekeerd evenredig

Bij een omgekeerd evenredig verband wordt Y $n$ keer zo klein als X $n$ keer zo groot wordt. Notatie: $Y \sim \frac{1}{X}$ .

\displaystyle X \cdot Y = c \qquad Y = \frac{c}{X}

De grafiek is een hyperbool.

Voorbeeld: de tijd om 100 m af te leggen is omgekeerd evenredig met de snelheid: $t = 100 / v$ .

Links een recht evenredig verband: een rechte lijn door de oorsprong. Rechts een omgekeerd evenredig verband: een hyperbool.

!Lineair is niet altijd evenredig

Een rechte lijn die niet door de oorsprong gaat, is wel lineair maar niet recht evenredig. Controleer altijd: is Y = 0 als X = 0?

Even controleren

Snap je het?

Schrijf $p = F / A$ om met $A$ voorop.

De afstand van Rotterdam naar Den Haag is 20 km. Is de reistijd recht of omgekeerd evenredig met de gemiddelde snelheid?

Bereken de reistijd bij 50 km/h.

↗Hoe hangt dit samen?

Met dit gereedschap reken je de rest van het jaar: in hoofdstuk 2 aan elektriciteit, in hoofdstuk 3 aan krachten.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

$Y$ wordt $n$ keer zo groot als $X$ $n$ keer zo groot wordt	de definitie van recht evenredig
$\frac{Y}{X}$ blijft dus gelijk; noem die waarde $c$	$\frac{nY}{nX} = \frac{Y}{X}$
$Y = c \cdot X$	vermenigvuldig met $X$

$Y$ wordt $n$ keer zo klein als $X$ $n$ keer zo groot wordt	de definitie van omgekeerd evenredig
$X \cdot Y$ blijft dus gelijk; noem die waarde $c$	$nX \cdot \frac{Y}{n} = X \cdot Y$
$Y = \frac{c}{X}$	deel door $X$

Grootheid	Symbool	Eenheid
plaats	$x$	meter (m)
verplaatsing	$\Delta x$ of $s$	meter (m)
tijd, tijdsduur	$t$ , $\Delta t$	seconde (s)
snelheid	$v$	meter per seconde (m/s)
gemiddelde snelheid	$v_\text{gem}$	meter per seconde (m/s)
snelheidsverandering	$\Delta v$	meter per seconde (m/s)
versnelling	$a$	meter per seconde kwadraat (m/s²)
valversnelling	$g$	meter per seconde kwadraat (m/s²)
frequentie	$f$	hertz (Hz)

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle \Delta x = x_2 - x_1 \qquad \Delta t = t_2 - t_1$	verplaatsing en tijdsduur	Binas	1.1a
$\displaystyle v_\text{gem} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$	gemiddelde snelheid	Binas	1.1a
$\displaystyle 1\ \text{m/s} = 3{,}6\ \text{km/h}$	omrekenen km/h en m/s	Zelf afleiden	1.1a
$\displaystyle v = \left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)_\text{raaklijn}$	snelheid op een tijdstip	Binas	1.1b
$\displaystyle s = v \cdot t$	verplaatsing bij eenparige beweging	Binas	1.1b
$\displaystyle \Delta x = \text{oppervlakte onder de (v,t)-grafiek}$	verplaatsing uit een (v,t)-diagram	Zelf afleiden	1.2a
$\displaystyle a_\text{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$	gemiddelde versnelling	Binas	1.3a
$\displaystyle a = \left(\frac{\Delta v}{\Delta t}\right)_\text{raaklijn}$	versnelling op een tijdstip	Binas	1.3a
$\displaystyle Y = c \cdot X \qquad \frac{Y}{X} = c$	recht evenredig verband	Zelf afleiden	1.5b
$\displaystyle X \cdot Y = c \qquad Y = \frac{c}{X}$	omgekeerd evenredig verband	Zelf afleiden	1.5b