Snelheid uit een (x,t)-diagram

Tijdens een sprint verandert de snelheid voortdurend. De snelheid op één tijdstip heet de momentane snelheid. Die bepaal je met een raaklijn aan het (x,t)-diagram.

20 min

Na deze les kun je

de momentane snelheid bepalen met een raaklijn aan de (x,t)-grafiek
een eenparige beweging herkennen in een (x,t)-diagram
rekenen met $s = v \cdot t$

Dit weet je al

$v_\text{gem} = \Delta x / \Delta t$ (les 1.1a).

De raaklijn

De steilheid van een (x,t)-grafiek is de snelheid: hoe steiler, hoe sneller. Loopt de grafiek horizontaal, dan staat het voorwerp stil.

Is de grafiek krom, teken dan op het gewenste tijdstip een raaklijn. Kies twee punten op de raaklijn ver uit elkaar en lees $\Delta x$ en $\Delta t$ af:

\displaystyle v = \left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)_\text{raaklijn}

BinasBinas 35A1.

(x,t)-diagram van een optrekkende fietser. Tot t = 4 s wordt de grafiek steiler: de snelheid neemt toe. Daarna is de grafiek een rechte lijn: de beweging is eenparig. De oranje stippellijn is de raaklijn op t = 2,0 s.

✎Voorbeeld 1: snelheid met een raaklijn

Bepaal de snelheid van de fietser in de figuur op t = 2,0 s.

De raaklijn gaat door (1,0 s; 0 m) en (6,0 s; 15 m).
Lees af:

\begin{aligned} \Delta x &= 15 - 0 \\ &= 15\ \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} \Delta t &= 6{,}0 - 1{,}0 \\ &= 5{,}0\ \text{s} \end{aligned}

De snelheid:

\begin{aligned} v &= \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ &= \frac{15}{5{,}0} \\ &= 3{,}0\ \text{m/s} \end{aligned}

Eenparige beweging

Een beweging met constante snelheid heet eenparig. De (x,t)-grafiek is dan een schuine rechte lijn: elke seconde is de verplaatsing even groot. De raaklijn valt samen met de lijn zelf.

\displaystyle s = v \cdot t

Binas

s

: verplaatsing (m),

v

: constante snelheid (m/s),

t

: tijdsduur (s). Binas 35A1.

✎Voorbeeld 2: constante snelheid

Bepaal de snelheid van de fietser na t = 4,0 s.

Kies twee punten ver uit elkaar op de rechte lijn: (4,0 s; 12 m) en (10 s; 48 m).
De snelheid:

\begin{aligned} v &= \frac{48 - 12}{10 - 4{,}0} \\ &= \frac{36}{6{,}0} \\ &= 6{,}0\ \text{m/s} \end{aligned}

In km/h:

\begin{aligned} v &= 6{,}0 \times 3{,}6 \\ &= 22\ \text{km/h} \end{aligned}

!Punten op de grafiek, niet op het ruitjespapier

Lees de twee punten af op de raaklijn, niet op de grafiek zelf. En kies ze ver uit elkaar: dan wordt je afleesfout relatief klein.

Even controleren

Snap je het?

Hoe zie je in een (x,t)-diagram dat een voorwerp stilstaat?

Een fietser rijdt 25 minuten eenparig met 18 km/h. Hoe ver komt hij?

↗Hoe hangt dit samen?

In paragraaf 1.2 zet je de snelheid zelf uit tegen de tijd, in een (v,t)-diagram.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

Grootheid	Symbool	Eenheid
plaats	$x$	meter (m)
verplaatsing	$\Delta x$ of $s$	meter (m)
tijd, tijdsduur	$t$ , $\Delta t$	seconde (s)
snelheid	$v$	meter per seconde (m/s)
gemiddelde snelheid	$v_\text{gem}$	meter per seconde (m/s)
snelheidsverandering	$\Delta v$	meter per seconde (m/s)
versnelling	$a$	meter per seconde kwadraat (m/s²)
valversnelling	$g$	meter per seconde kwadraat (m/s²)
frequentie	$f$	hertz (Hz)

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle \Delta x = x_2 - x_1 \qquad \Delta t = t_2 - t_1$	verplaatsing en tijdsduur	Binas	1.1a
$\displaystyle v_\text{gem} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$	gemiddelde snelheid	Binas	1.1a
$\displaystyle 1\ \text{m/s} = 3{,}6\ \text{km/h}$	omrekenen km/h en m/s	Zelf afleiden	1.1a
$\displaystyle v = \left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)_\text{raaklijn}$	snelheid op een tijdstip	Binas	1.1b
$\displaystyle s = v \cdot t$	verplaatsing bij eenparige beweging	Binas	1.1b
$\displaystyle \Delta x = \text{oppervlakte onder de (v,t)-grafiek}$	verplaatsing uit een (v,t)-diagram	Zelf afleiden	1.2a
$\displaystyle a_\text{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$	gemiddelde versnelling	Binas	1.3a
$\displaystyle a = \left(\frac{\Delta v}{\Delta t}\right)_\text{raaklijn}$	versnelling op een tijdstip	Binas	1.3a
$\displaystyle Y = c \cdot X \qquad \frac{Y}{X} = c$	recht evenredig verband	Zelf afleiden	1.5b
$\displaystyle X \cdot Y = c \qquad Y = \frac{c}{X}$	omgekeerd evenredig verband	Zelf afleiden	1.5b