Leeromgeving›Natuurkunde›4 havo›H3 Krachten

Hoofdstuk 3 · 71 opdrachten uitgewerkt

Krachten

Soorten krachten, krachten tekenen, samenstellen en ontbinden, en de eerste en tweede wet van Newton.

Klik een paragraaf open, en daarna de opdracht die je wilt nakijken.

16 opdrachten

Zo pak je het aan

Krachten tekenen: een kracht is een vector. Teken een pijl vanuit het aangrijpingspunt, in de richting van de kracht, met een lengte op schaal (bijvoorbeeld 1,0 cm ≙ 10 N). Teken een voorwerp vaak als één punt.

Formules (Binas 35A3): zwaartekracht F_z = m · g, veerkracht F_v = C · u. De valversnelling staat in Binas 7 (Nederland) en Binas 31 (maan en planeten).

In rust: krachten die elkaar opheffen zijn even groot en tegengesteld (bijvoorbeeld F_n = F_z op een vlakke ondergrond, of F_span = F_z bij een hangend voorwerp).

Opdracht 1

a Het voorwerp vervormt, de snelheid verandert van grootte, of de snelheid verandert van richting.

b Een grootte, een richting en een aangrijpingspunt.

Opdracht 2

grootheid	symbool	eenheid
massa	m	kg
veerconstante	C	N/m
valversnelling	g	m/s² (N/kg)
kracht	F	N
uitrekking	u	m

Opdracht 3

a De zwaartekracht is recht evenredig met de massa. De evenredigheidsconstante heet de valversnelling (g). Op de maan is deze constante kleiner dan op de aarde.

b De veerkracht is recht evenredig met de uitrekking. De evenredigheidsconstante heet de veerconstante (C). Voor een stugge veer is deze constante groter dan voor een slappe veer.

Opdracht 4

Alleen B, de luchtweerstandskracht.

Opdracht 5

\begin{aligned} F_\text{z} &= m \cdot g \\ &= 8{,}9 \times 9{,}81 \\ &= 87\ \text{N} \end{aligned}

b De hond zit stil: de normaalkracht van de weegschaal is even groot als de zwaartekracht: 87 N, omhoog.

c Op de maan is g kleiner (1,62 m/s²), dus de zwaartekracht is kleiner.

d De weegschaal meet de kracht waarmee de hond erop drukt (de normaalkracht) en rekent die om met g van de aarde. Die kracht is kleiner, dus de weegschaal geeft minder aan.

e De massa is gelijk: de hond bestaat uit evenveel stof.

Opdracht 6

a Bereken elke kracht:

\begin{aligned} A&:\ F = 1{,}00 \times 9{,}81 = 9{,}81\ \text{N} \\ B&:\ F = 3{,}00 \times 9{,}81 = 29{,}4\ \text{N} \\ C&:\ F = 2{,}00 \times 9{,}81 = 19{,}6\ \text{N} \\ D&:\ F = 500 \times 0{,}0600 = 30{,}0\ \text{N} \\ E&:\ F = 5{,}00 \times 1{,}62 = 8{,}10\ \text{N} \end{aligned}

Bij B en C hangt of staat het voorwerp stil, dus is de kracht gelijk aan de zwaartekracht. Bij E staat g van de maan in Binas 31.

Van klein naar groot: E, A, C, B, D.

b A en E (zwaartekracht) werken omlaag. B (spankracht), C (normaalkracht) en D (veerkracht van de ingedrukte veer onder het blok) werken omhoog.

Opdracht 7

De krachten op de vier voorwerpen. a: de duwkracht en de schuifwrijving zijn even groot, net als F_n en F_z. b: de kracht van de voet is veel groter dan de zwaartekracht. c: in het hoogste punt beweegt de bal horizontaal; de luchtweerstand werkt tegen de beweging in. d: alleen de schuifwrijving werkt horizontaal, tegen de bewegingsrichting (grijs) in.

a Zwaartekracht omlaag en normaalkracht omhoog, even groot. Duwkracht en schuifwrijvingskracht horizontaal, even groot en tegengesteld: de kist blijft staan.

b Een grote kracht van de voet (schuin omhoog) en een kleine zwaartekracht omlaag.

c De zwaartekracht omlaag en een kleine luchtweerstandskracht, tegen de (horizontale) bewegingsrichting in.

d Zwaartekracht en normaalkracht, even groot en tegengesteld, en de schuifwrijvingskracht tegen de bewegingsrichting in.

Opdracht 8

a Bijvoorbeeld snelheid en versnelling (ook: verplaatsing).

b Bijvoorbeeld massa, tijd, temperatuur of energie: die hebben geen richting.

Opdracht 9

a De zwaartekracht op het cadeautje:

\begin{aligned} F_\text{z} &= 3{,}06 \times 9{,}81 \\ &= 30{,}0\ \text{N} \end{aligned}

Meet de pijl van F_z in figuur 3.3: ongeveer 3,0 cm. De schaal is dus 1,0 cm ≙ 10 N.

b Het cadeautje staat stil, dus F_n is even groot als F_z. Als de pijlen van F_n en F_z even lang zijn, zijn ze met dezelfde schaal getekend.

c Meet de pijl van F_span: 1,9 cm.

\begin{aligned} F_\text{span} &= 1{,}9 \times 5{,}0 \\ &= 9{,}5\ \text{N} \end{aligned}

Het schilderij hangt stil, dus F_z = F_span = 9,5 N.

\begin{aligned} m &= \frac{F_\text{z}}{g} \\ &= \frac{9{,}5}{9{,}81} \\ &= 0{,}97\ \text{kg} \end{aligned}

Opdracht 10

Johnny trekt de handvatten uit elkaar; de veren worden uitgerekt. Een uitgerekte veer trekt terug, naar zijn eigen midden. Op de rechterhand werkt de veerkracht dus naar links onder, naar de andere hand toe.

Opdracht 11

a Binas 31: g_maan = 1,62 m/s².

b Minder: je moet de zwaartekracht opheffen, en die is op de maan kleiner (1,62 N in plaats van 9,81 N).

De zwaartekracht tegen de massa: op aarde (navy) en op de maan (oranje). Beide zijn rechte lijnen door de oorsprong; de lijn van de maan is minder steil.

d Even veel. De veerkracht hangt alleen af van de veerconstante en de uitrekking (F_v = C · u), niet van g.

Opdracht 12

a Lees een punt ver van de oorsprong af: bij u = 6,0 cm is F_v = 3,4 N.

\begin{aligned} C &= \frac{F_\text{v}}{u} \\ &= \frac{3{,}4}{0{,}060} \\ &= 57\ \text{N/m} \end{aligned}

Per centimeter: 3,4 / 6,0 = 0,57 N/cm.

\begin{aligned} F &= 0{,}175 \times 9{,}81 \\ &= 1{,}72\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} u &= \frac{F}{C} \\ &= \frac{1{,}72}{0{,}57} \\ &= 3{,}0\ \text{cm} \end{aligned}

\begin{aligned} u &= \frac{2{,}5}{0{,}57} \\ &= 4{,}4\ \text{cm} \end{aligned}

\begin{aligned} \ell &= 18{,}2 + 4{,}4 \\ &= 22{,}6\ \text{cm} \end{aligned}

d 350 g is twee keer zo zwaar als 175 g (3,43 N). Naast elkaar draagt elke veer de helft: 1,72 N. Elke veer rekt dus net zoveel uit als bij b: 3,0 cm.

e Onder elkaar draagt elke veer het hele gewicht van 3,43 N. Elke veer rekt dan 2 × 3,0 = 6,0 cm uit. Samen: 2 × 6,0 = 12 cm.

Opdracht 13

De zwaartekracht op de bal:

\begin{aligned} F_\text{z} &= 0{,}0584 \times 9{,}81 \\ &= 0{,}573\ \text{N} \end{aligned}

Meet in figuur 3.1b de pijl van F_z en de pijl van F_racket. De pijl van het racket is ongeveer 7 keer zo lang.

\begin{aligned} F_\text{racket} &= 7 \times 0{,}573 \\ &= 4{,}0\ \text{N} \end{aligned}

Opdracht 14

a De normaalkracht is gelijk aan de zwaartekracht:

\begin{aligned} F_\text{n} &= F_\text{z} = 65 \times 9{,}81 \\ &= 638\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{w,s,max} &= 0{,}85 \times 638 \\ &= 5{,}4 \cdot 10^2\ \text{N} \end{aligned}

b 400 N is minder dan de maximale schuifwrijving. De doos blijft staan, dus de schuifwrijving is even groot als je duwkracht: 400 N.

De krachten op de doos (1,0 cm ≙ 200 N): F_z en F_n van 638 N (3,2 cm), duwkracht en schuifwrijving van 400 N (2,0 cm).

d 600 N is meer dan de maximale schuifwrijving: de doos gaat schuiven. De schuifwrijving is dan de maximale waarde: 5,4 · 10² N.

Opdracht 15

Links de situatie, rechts de krachten op het blok: de zwaartekracht omlaag, de veerkracht en de normaalkracht omhoog.

b Het volume en de massa van het blok. De dichtheid van marmer is 2,7 · 10³ kg/m³ (Binas 10).

\begin{aligned} V &= 0{,}38^3 \\ &= 0{,}0549\ \text{m}^3 \end{aligned}

\begin{aligned} m &= \rho \cdot V \\ &= 2{,}7 \cdot 10^3 \times 0{,}0549 \\ &= 148\ \text{kg} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{z} &= 148 \times 9{,}81 \\ &= 1{,}45 \cdot 10^3\ \text{N} \end{aligned}

De veer loopt van de bovenkant van het blok (0,38 m) tot het plafond (2,75 m): 2,37 m lang.

\begin{aligned} u &= 2{,}37 - 1{,}42 \\ &= 0{,}95\ \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{v} &= C \cdot u \\ &= 1{,}3 \cdot 10^3 \times 0{,}95 \\ &= 1{,}24 \cdot 10^3\ \text{N} \end{aligned}

De veerkracht is kleiner dan de zwaartekracht: het blok komt niet los van de grond.

c De vloer levert de rest:

\begin{aligned} F_\text{n} &= 1{,}45 - 1{,}24 \\ &= 0{,}21\ \text{kN, omhoog} \end{aligned}

Opdracht 16

a Onder de lat: de hoogspringer buigt zich om de lat heen, zodat het zwaartepunt zelfs buiten zijn lichaam, onder de lat, ligt.

b Het zwaartepunt hoeft dan minder hoog te komen dan de lat. Daar is minder energie (een minder harde afzet) voor nodig, dus kan hij over een hogere lat springen.

3.1 Krachten in soorten nagekeken?

13 opdrachten

Zo pak je het aan

Langs één lijn: zelfde richting optellen, tegengestelde richting aftrekken.

Onder een hoek: teken op schaal en gebruik de parallellogrammethode (diagonaal vanuit het aangrijpingspunt) of de kop-staartmethode (pijlen achter elkaar). Meet de resultante en reken om met de schaal.

Loodrecht (90°): bereken met Pythagoras, F_res² = F₁² + F₂².

Opdracht 17

a De grootste kracht min de kleinste.

b De krachten optellen.

c Met de stelling van Pythagoras: F_res² = F₁² + F₂².

Opdracht 18

a Resultante en nettokracht.

b De parallellogrammethode en de kop-staartmethode.

Opdracht 19

De krachten en de resulterende kracht (oranje) in de vier situaties.

a Zelfde richting:

\begin{aligned} F_\text{res} &= 12 + 45 \\ &= 57\ \text{N naar rechts} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{z} &= 4{,}6 \times 9{,}81 \\ &= 45\ \text{N} \end{aligned}

F_z omlaag en F_n omhoog zijn even groot: F_res = 0 N.

\begin{aligned} F_\text{z} &= 65 \times 9{,}81 \\ &= 638\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{res} &= 720 - 638 \\ &= 82\ \text{N omhoog} \end{aligned}

d Twee touwen geven samen 2 × 196 = 392 N omhoog.

\begin{aligned} F_\text{z} &= 38 \times 9{,}81 \\ &= 373\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{res} &= 392 - 373 \\ &= 19\ \text{N omhoog} \end{aligned}

Opdracht 20

De resulterende krachten (oranje) met de parallellogrammethode.

a Loodrecht op elkaar:

\begin{aligned} F_\text{res} &= \sqrt{12^2 + 45^2} \\ &= 47\ \text{N} \end{aligned}

b Noord en west staan loodrecht op elkaar:

\begin{aligned} F_\text{res} &= \sqrt{120^2 + 50{,}0^2} \\ &= 130\ \text{N} \end{aligned}

c Noordwest en noordoost maken een hoek van 90° met elkaar:

\begin{aligned} F_\text{res} &= \sqrt{(2{,}5 \cdot 10^5)^2 + (2{,}5 \cdot 10^5)^2} \\ &= 3{,}5 \cdot 10^5\ \text{N} \end{aligned}

De resultante wijst naar het noorden.

Opdracht 21

Verticaal: de normaalkracht (35 N omhoog) en de zwaartekracht (35 N omlaag) heffen elkaar op. Horizontaal: 60 N naar links en 40 N naar rechts geven 20 N naar links. Het karretje staat stil, dus jouw spierkracht moet dat opheffen: 20 N naar rechts.

Opdracht 22

a Meet F₁: 2,0 cm voor 20 N. De schaal is 1,0 cm ≙ 10 N.

De resultante van F₁ en F₂ met een rechthoek (parallellogram).

c Meet de resultante: 3,45 cm.

\begin{aligned} F_\text{res} &= 3{,}45 \times 10 \\ &= 34{,}5\ \text{N} \end{aligned}

d De krachten staan loodrecht op elkaar:

\begin{aligned} F_\text{res} &= \sqrt{20^2 + 28^2} \\ &= 34{,}4\ \text{N} \end{aligned}

Dat klopt met c.

Opdracht 23

De resultante ligt tussen 4,0 − 3,0 = 1,0 N (tegengesteld) en 4,0 + 3,0 = 7,0 N (zelfde richting).

a Ja: de krachten zijn tegengesteld gericht.

b Ja: de krachten staan loodrecht op elkaar (√(3² + 4²) = 5).

c Ja: de krachten zijn gelijk gericht.

d Nee: groter dan 7,0 N kan niet.

Opdracht 24

De resultanten (oranje), geconstrueerd met de parallellogrammethode.

b Boven: de resultante is 2,0 cm lang (de hokjes zijn 0,5 cm).

\begin{aligned} F_\text{res} &= 2{,}0 \times 20 \\ &= 40\ \text{N} \end{aligned}

Onder: F₁ = 1,65 kN is 3,3 cm, dus 1,0 cm ≙ 0,50 kN. De resultante is 6,7 cm.

\begin{aligned} F_\text{res} &= 6{,}7 \times 0{,}50 \\ &= 3{,}35\ \text{kN} \end{aligned}

Opdracht 25

Hoe kleiner de hoek tussen de krachten, hoe groter de resultante. Volgorde van klein naar groot: tegengesteld (180°), 135°, 90°, 45°, gelijk gericht (0°): 3 – 2 – 4 – 5 – 1.

Opdracht 26

a Het brugdek is in rust, dus de resulterende kracht is nul. Alle spankrachten samen moeten de zwaartekracht dus precies opheffen.

b Verticaal omhoog, tegengesteld aan de zwaartekracht.

Opdracht 27

a 3 + 5 + 6 = 14.

b (3 + 5) + 6 = 14 en 3 + (5 + 6) = 14: de volgorde maakt niet uit.

c , d en f

Links eerst F₁, dan F₂, dan F₃; rechts eerst F₃, dan F₂, dan F₁. Beide keren kom je op hetzelfde eindpunt: de resultante (oranje) is dezelfde, 108 N.

e De volgorde doet er niet toe: je komt steeds op hetzelfde eindpunt uit. Uit het rooster (1 hokje ≙ 10 N): de resultante is 90 N naar rechts en 60 N omhoog, samen √(90² + 60²) = 108 N.

Opdracht 28

Naarmate de hoek tussen de kabels dichter bij 0° ligt, is de nettokracht groter; naarmate de hoek dichter bij 180° ligt, is de nettokracht kleiner.

Opdracht 29

De resultante van F_z en de touwkracht F_t (oranje): klein, en loodrecht op de wand gericht.

b Meet de resultante en F_z op: de resultante is ongeveer 0,16 keer zo lang. F_res is 16% van F_z.

c Op de maan is g = 1,62 m/s², en dat is 1,62 / 9,81 = 16% van g op aarde. De resulterende kracht op de jongen is dus net zo groot als de zwaartekracht op de maan: hij 'valt' net als op de maan.

d In rust heft de normaalkracht van de wand deze resultante op. De zwaartekracht op de jongen:

\begin{aligned} F_\text{z} &= 62 \times 9{,}81 \\ &= 608\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{n} &= 0{,}16 \times 608 \\ &= 97\ \text{N} \end{aligned}

3.2 Krachten samenstellen nagekeken?

10 opdrachten

Zo pak je het aan

Ontbinden is het omgekeerde van samenstellen. Teken door de kop van de kracht lijnen evenwijdig aan de twee gekozen richtingen. Zo ontstaat een parallellogram; de zijden vanuit het aangrijpingspunt zijn de componenten.

Schuine kracht: ontbind in een horizontale en een verticale component. Met de hoek α met de horizontaal: F_h = F · cos α en F_v = F · sin α.

Helling met hellingshoek α: ontbind de zwaartekracht langs de helling, F_z// = F_z · sin α, en loodrecht op de helling, F_z⊥ = F_z · cos α.

Opdracht 30

a In een horizontale en een verticale richting.

b In een richting langs de helling en een richting loodrecht op de helling.

Opdracht 31

De twee componenten samen vormen weer de oorspronkelijke kracht. De resultante is dus de kracht van 75 N, in de oorspronkelijke richting.

Opdracht 32

a kleiner dan

b kleiner dan

c groter dan (bij een hellingshoek kleiner dan 45° is de component loodrecht op de helling het grootst)

d F_z⊥

e F_z//

Opdracht 33

De kracht van 85 N ontbonden in een horizontale en een verticale component (oranje).

b De kracht maakt een hoek van 25° met de horizontaal.

\begin{aligned} F_\text{h} &= 85 \times \cos 25^\circ \\ &= 77\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{v} &= 85 \times \sin 25^\circ \\ &= 36\ \text{N} \end{aligned}

Opdracht 34

De krachten ontbonden in de aangegeven richtingen. Teken door de kop van de kracht lijnen evenwijdig aan de twee richtingen.

a Meet de componenten op en reken om met de schaal: F_L = 0,19 N en F_R = 0,29 N.

b De richtingen liggen symmetrisch, dus de componenten zijn even groot: F_L = F_R = 12 N.

Opdracht 35

De rok hangt stil. De twee spankrachten samen heffen de zwaartekracht op: hun resultante is 24 N omhoog.

Teken F_z = 24 N omlaag (2,4 cm).
Teken de tegengestelde kracht F = 24 N omhoog.
Ontbind F in de richtingen van de waslijn links en rechts van P.
Meet de componenten en reken om met de schaal.

De constructie: de kracht F (24 N omhoog) ontbonden langs de twee delen van de waslijn.

De spankracht links is ongeveer 32 N en rechts ongeveer 30 N. Kleine verschillen door het meten van de hoeken zijn normaal.

Opdracht 36

a , b en c De zwaartekracht op Mark:

\begin{aligned} F_\text{z} &= 28 \times 9{,}81 \\ &= 275\ \text{N} \end{aligned}

Met 1,0 cm ≙ 100 N is dat een pijl van 2,75 cm.

De zwaartekracht op Mark ontbonden langs en loodrecht op beide glijbanen. De wrijvingskracht F_w werkt langs de helling omhoog.

d Op een steile helling is de component loodrecht op de helling kleiner en de component parallel aan de helling groter.

e Steile glijbaan (35°):

\begin{aligned} F_{\text{z}/\!/} &= 275 \times \sin 35^\circ \\ &= 158\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{res} &= 158 - 60 \\ &= 98\ \text{N} \approx 100\ \text{N} \end{aligned}

Minder steile glijbaan (25°):

\begin{aligned} F_{\text{z}/\!/} &= 275 \times \sin 25^\circ \\ &= 116\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{res} &= 116 - 60 \\ &= 56\ \text{N} \approx 55\ \text{N} \end{aligned}

Op de steile glijbaan is de resulterende kracht bijna twee keer zo groot. Mark krijgt daar een grotere versnelling en een hogere snelheid: hij kiest de steile glijbaan.

Opdracht 37

a , b en c

De zwaartekracht (5,0 cm ≙ 500 N) ontbonden langs en loodrecht op het dak. De normaalkracht en de wrijvingskracht (blauw) zijn even lang als de componenten en tegengesteld gericht.

d Het sneeuwpak ligt stil. De normaalkracht heft F_z⊥ op en de wrijvingskracht heft F_z// op.

\begin{aligned} F_\text{n} &= 500 \times \cos 15^\circ \\ &= 4{,}8 \cdot 10^2\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{w} &= 500 \times \sin 15^\circ \\ &= 1{,}3 \cdot 10^2\ \text{N} \end{aligned}

e F_n en F_w staan loodrecht op elkaar:

\begin{aligned} F &= \sqrt{483^2 + 129^2} \\ &= 500\ \text{N} \end{aligned}

Dat is precies de zwaartekracht.

Opdracht 38

a De veerkracht is gelijk aan de zwaartekracht op de wieg:

\begin{aligned} F_\text{v} &= 12{,}2 \times 9{,}81 \\ &= 120\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} u &= \frac{F_\text{v}}{C} \\ &= \frac{120}{1{,}3 \cdot 10^3} \\ &= 0{,}092\ \text{m} \end{aligned}

Dat is 9,2 cm.

b De twee touwen samen houden 120 N omhoog. Ontbind een kracht van 120 N omhoog langs de twee touwen.

De kracht van 120 N omhoog ontbonden langs de twee touwen (1,0 cm ≙ 30 N).

Meet een component: 2,5 cm. De spankracht in één touw is 2,5 × 30 = 75 N.

Opdracht 39

a De zwaartekracht op het meisje:

\begin{aligned} F_\text{z} &= 18{,}3 \times 9{,}81 \\ &= 180\ \text{N} \end{aligned}

Met 1,0 cm ≙ 50 N is dat een pijl van 3,6 cm omlaag.

b Teken de spankracht langs de touwen, zo lang dat de verticale component 3,6 cm is.

De zwaartekracht, de spankracht langs de touwen en de spierkracht van de broer. De verticale component van F_span heft F_z op; de horizontale component wordt opgeheven door F_spier.

Meet de spankracht: 4,2 cm. Dat is 4,2 × 50 = 2,1 · 10² N.

c Meet de horizontale component van de spankracht: 2,2 cm. De spierkracht is even groot en tegengesteld: 2,2 × 50 = 1,1 · 10² N.

3.3 Krachten ontbinden nagekeken?

12 opdrachten

Zo pak je het aan

Eerste wet van Newton: is de resulterende kracht op een voorwerp nul, dan staat het stil of beweegt het met constante snelheid langs een rechte lijn. Andersom: staat een voorwerp stil of beweegt het eenparig rechtlijnig, dan is F_res = 0.

Aanpak: teken alle krachten. Bij constante snelheid heffen ze elkaar op. Werk per richting: voorwaarts = tegenwerkend, en (op een vlakke weg) normaalkracht = zwaartekracht.

Opdracht 40

Als de resulterende kracht op een voorwerp nul is, staat het voorwerp stil of beweegt het met constante snelheid langs een rechte lijn.
Als een voorwerp stilstaat of eenparig rechtlijnig beweegt, is de resulterende kracht erop nul.

Opdracht 41

a De resulterende kracht is nul (stilstand).

b De resulterende kracht is nul (constante snelheid).

c Ook nul. Hoe groot de constante snelheid is, maakt niet uit.

Opdracht 42

a De voorwaartse kracht is groter dan de tegenwerkende krachten. De normaalkracht is even groot als de zwaartekracht.

b even groot als; even groot als

c kleiner dan (de voorwaartse kracht is nul); even groot als

d even groot als; kleiner dan (de normaalkracht heft alleen F_z⊥ op)

e even groot als; kleiner dan

Opdracht 43

A, C en D. Bij B en E verandert de snelheid, dan is F_res niet nul.

Opdracht 44

Bij een constante snelheid is de motorkracht even groot als de weerstandskrachten. De luchtweerstandskracht is bij 120 km/h veel groter dan bij 100 km/h. De motor moet dus een grotere kracht leveren en over dezelfde afstand meer arbeid verrichten. Daarvoor is meer brandstof nodig.

Opdracht 45

\begin{aligned} F_\text{z} &= 4{,}0 \cdot 10^{-5} \times 9{,}81 \\ &= 3{,}9 \cdot 10^{-4}\ \text{N} \end{aligned}

b De zwaartekracht werkt omlaag, de luchtweerstand omhoog.

\begin{aligned} F_\text{res} &= 3{,}9 \cdot 10^{-4} - 0{,}50 \cdot 10^{-4} \\ &= 3{,}4 \cdot 10^{-4}\ \text{N} \end{aligned}

c De resulterende kracht is omlaag gericht, in de bewegingsrichting. De snelheid van de druppel neemt toe.

Opdracht 46

\begin{aligned} F_\text{z} &= 123 \times 9{,}81 \\ &= 1{,}21 \cdot 10^3\ \text{N} \end{aligned}

Op een vlakke weg is F_n = F_z = 1,21 · 10³ N.

Bij constante snelheid is de voorwaartse kracht gelijk aan de tegenwerkende krachten:

\begin{aligned} F_\text{motor} &= 32 + 65 \\ &= 97\ \text{N} \end{aligned}

b Nu werkt ook de parallelle component van de zwaartekracht tegen:

\begin{aligned} F_{\text{z}/\!/} &= 0{,}12 \times 1{,}21 \cdot 10^3 \\ &= 145\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{motor} &= 97 + 145 \\ &= 2{,}4 \cdot 10^2\ \text{N} \end{aligned}

Opdracht 47

a De doos staat stil: de schuifwrijvingskracht heft je trekkracht op. Hij is 0,40 kN, tegengesteld aan de trekkracht.

b De doos beweegt met constante snelheid: de schuifwrijving is even groot als de trekkracht, 0,78 kN.

c Tijdens het schuiven blijft de schuifwrijvingskracht 0,78 kN. Je trekt harder, dus de doos gaat versnellen.

d De doos rolt nu over de palen. De rolweerstand is veel kleiner dan de schuifwrijving.

e De onderkant moet glad zijn (weinig wrijving met de vloer). De bovenkant mag ruw zijn, zodat de doos niet van het kleedje glijdt.

Opdracht 48

a Lees bij 15 m/s af: F_w,r = 100 N en F_w,l = 120 N. Bij constante snelheid:

\begin{aligned} F_\text{motor} &= 100 + 120 \\ &= 2{,}2 \cdot 10^2\ \text{N} \end{aligned}

b Bij 30 m/s: F_w,r = 100 N en F_w,l = 490 N.

\begin{aligned} F_\text{motor} &= 100 + 490 \\ &= 590\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} \text{toename} &= \frac{590 - 220}{220} \times 100\% \\ &= 1{,}7 \cdot 10^2\ \% \end{aligned}

Opdracht 49

a Vanaf ongeveer t = 9 s is de grafiek een rechte lijn: de snelheid is dan constant. Dan is F_res = 0, dus de luchtweerstandskracht is even groot als de zwaartekracht.

b Op t = 6 s wordt de grafiek (naar beneden) steeds steiler: het druppeltje gaat sneller vallen. De resulterende kracht is omlaag gericht, dus de zwaartekracht is groter.

Opdracht 50

a Als de auto remt, werkt de remkracht op de auto, niet op jou. Door je traagheid behoud je je snelheid. De auto gaat langzamer, dus je schiet ten opzichte van de auto naar voren.

b Het schip heeft een heel grote massa en dus veel traagheid. Met de kracht van de motor neemt de snelheid maar heel langzaam toe. Na een dag is het schip daardoor nog niet ver weg.

c Zonder motorkracht behoudt de trein door zijn traagheid zijn snelheid bijna. De weerstandskrachten zijn klein, dus de trein rolt nog 12 km door voordat hij stilstaat.

Opdracht 51

a De kabel maakt een hoek van 20° met de verticaal.

\begin{aligned} F_\text{span,hor} &= 60 \times \sin 20^\circ \\ &= 21\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{span,vert} &= 60 \times \cos 20^\circ \\ &= 56\ \text{N} \end{aligned}

b De boei ligt stil. De kracht van de stroming heft de horizontale component op: 21 N, van de kabel af gericht.

c Omhoog werkt de opwaartse kracht; omlaag werken de zwaartekracht en de verticale component van de spankracht.

\begin{aligned} F_\text{z} &= 2{,}00 \times 9{,}81 \\ &= 19{,}6\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{opw} &= 19{,}6 + 56 \\ &= 76\ \text{N} \end{aligned}

3.4 Krachten bij constante snelheid nagekeken?

15 opdrachten

Zo pak je het aan

Tweede wet van Newton (Binas 35A3): F_res = m · a. De resulterende kracht en de versnelling hebben dezelfde richting.

Aanpak: bepaal de versnelling (uit Δv / Δt of de steilheid van de raaklijn in een (v,t)-diagram), bereken F_res = m · a, en zoek daarna de onbekende kracht: F_res is de som van alle krachten met hun richting.

Vrije val: alleen de zwaartekracht werkt, dus F_res = F_z en a = g.

Opdracht 52

a F_res = 0.

b F_res = 0.

c F_res is niet nul en wijst in de bewegingsrichting.

d F_res is niet nul en wijst tegen de bewegingsrichting in.

Opdracht 53

a De resulterende kracht op een voorwerp is gelijk aan de massa maal de versnelling: F_res = m · a.

b Is F_res = 0, dan volgt uit F_res = m · a dat a = 0. De snelheid verandert dan niet: het voorwerp staat stil of beweegt eenparig. Dat is precies de eerste wet.

Opdracht 54

C. Een constante versnelling vraagt volgens F_res = m · a een constante resulterende kracht.

Opdracht 55

D. Alleen de zwaartekracht werkt: F_res = F_z, dus a = F_z / m = g.

Opdracht 56

a In tekening 1, 2 en 4 verandert de snelheid: daar geldt de tweede wet. In tekening 3 en 5 is de snelheid constant: daar geldt de eerste wet.

b Pim heeft geen gelijk. In tekening 3 en 5 is de snelheid constant, dus de luchtweerstandskracht is in beide even groot als de zwaartekracht. De parachute zorgt alleen dat dit evenwicht bij een veel lagere snelheid ontstaat.

c 1 – 2 – 3 en 5 – 4. In 1 is de luchtweerstand nul. In 2 is hij kleiner dan F_z. In 3 en 5 is hij gelijk aan F_z. In 4 (net na het openen) is hij groter dan F_z: de parachutist vertraagt.

Opdracht 57

\begin{aligned} a &= \frac{F_\text{res}}{m} \\ &= \frac{23 \cdot 10^3}{18 \cdot 10^3} \\ &= 1{,}3\ \text{m/s}^2 \end{aligned}

\begin{aligned} F &= m \cdot a \\ &= 18 \cdot 10^3 \times 1{,}5 \\ &= 27\ \text{kN} \end{aligned}

\begin{aligned} \text{toename} &= 27 - 23 \\ &= 4\ \text{kN} \end{aligned}

\begin{aligned} m &= \frac{F}{a} \\ &= \frac{23 \cdot 10^3}{1{,}5} \\ &= 15 \cdot 10^3\ \text{kg} \end{aligned}

\begin{aligned} \text{afladen} &= 18 - 15 \\ &= 3\ \text{ton} \end{aligned}

Opdracht 58

\begin{aligned} v &= \frac{250}{3{,}6} \\ &= 69{,}4\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} a &= \frac{\Delta v}{\Delta t} \\ &= \frac{0 - 69{,}4}{3{,}0} \\ &= -23\ \text{m/s}^2 \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{res} &= m \cdot a \\ &= 4{,}9 \cdot 10^3 \times -23{,}1 \\ &= -1{,}1 \cdot 10^5\ \text{N} \end{aligned}

c Ze zijn tegengesteld gericht (het minteken): het vliegtuig vertraagt.

\begin{aligned} v_\text{gem} &= \frac{69{,}4 + 0}{2} \\ &= 34{,}7\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} s &= v_\text{gem} \cdot t \\ &= 34{,}7 \times 3{,}0 \\ &= 104\ \text{m} \end{aligned}

104 m is minder dan 125 m: de baan is lang genoeg.

Opdracht 59

a Zonder luchtweerstand is F_res = F_z:

\begin{aligned} F_\text{res} &= 0{,}65 \times 9{,}81 \\ &= 6{,}4\ \text{N} \end{aligned}

b Teken de raaklijn aan de grafiek op t = 0,40 s.

De raaklijn op t = 0,40 s gaat door (0 s; 1,0 m/s) en (1,0 s; 4,9 m/s).

\begin{aligned} a &= \frac{4{,}9 - 1{,}0}{1{,}0 - 0} \\ &= 3{,}9\ \text{m/s}^2 \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{res} &= 0{,}65 \times 3{,}9 \\ &= 2{,}5\ \text{N} \end{aligned}

De resulterende kracht is F_z min de luchtweerstandskracht:

\begin{aligned} F_\text{w,l} &= 6{,}4 - 2{,}5 \\ &= 3{,}9\ \text{N} \end{aligned}

Met onafgeronde waarden (6,38 − 2,54) is dat 3,8 N. Jouw raaklijn kan iets anders lopen; een antwoord rond 3,8 N is goed.

Opdracht 60

a Nee. Werkt er één kracht, dan is die kracht de resulterende kracht en is F_res niet nul. Dan is de versnelling ook niet nul.

b Ja, op één moment. De snelheid kan nul zijn terwijl hij verandert.

c Een bal die je recht omhoog gooit, in het hoogste punt: v = 0, maar a = g (omlaag).

Opdracht 61

a De zwaartekracht (en een kleine luchtweerstandskracht omhoog, die je hier verwaarloost).

Links de vallende bal, rechts de stijgende bal. De resulterende kracht en de versnelling wijzen steeds omlaag; de snelheid wijst bij het vallen omlaag en bij het stijgen omhoog.

c gelijk; versnelt

d De zwaartekracht (en een kleine luchtweerstandskracht, nu omlaag).

e Zie de rechterhelft van de figuur.

f tegengesteld; vertraagt

g In het hoogste punt is v = 0.

h Daar werkt alleen de zwaartekracht:

\begin{aligned} F_\text{res} &= 0{,}150 \times 9{,}81 \\ &= 1{,}5\ \text{N} \end{aligned}

Opdracht 62

\begin{aligned} F_\text{z} &= 1{,}0 \cdot 10^{-3} \times 9{,}81 \\ &= 9{,}8 \cdot 10^{-3}\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{res} &= 9{,}8 \cdot 10^{-3} - 7{,}2 \cdot 10^{-3} \\ &= 2{,}6 \cdot 10^{-3}\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} a &= \frac{F_\text{res}}{m} \\ &= \frac{2{,}6 \cdot 10^{-3}}{1{,}0 \cdot 10^{-3}} \\ &= 2{,}6\ \text{m/s}^2 \end{aligned}

b De druppel versnelt, dus lager heeft hij een grotere snelheid. Dan is de luchtweerstandskracht groter. De resulterende kracht (F_z − F_w,l) wordt kleiner, en daarmee ook de versnelling.

Opdracht 63

De versnelling:

\begin{aligned} a &= \frac{F_\text{res}}{m} \\ &= \frac{-3{,}2 \cdot 10^3}{970} \\ &= -3{,}3\ \text{m/s}^2 \end{aligned}

De remtijd (v = 120 / 3,6 = 33,3 m/s):

\begin{aligned} t &= \frac{\Delta v}{a} \\ &= \frac{0 - 33{,}3}{-3{,}30} \\ &= 10{,}1\ \text{s} \end{aligned}

De gemiddelde snelheid:

\begin{aligned} v_\text{gem} &= \frac{33{,}3 + 0}{2} \\ &= 16{,}7\ \text{m/s} \end{aligned}

De remweg:

\begin{aligned} s &= v_\text{gem} \cdot t \\ &= 16{,}7 \times 10{,}1 \\ &= 1{,}7 \cdot 10^2\ \text{m} \end{aligned}

Opdracht 64

a In het begin is de snelheid klein en is er nog geen luchtweerstand. Dan is a = F_z / m = g voor beide ballen. De grotere zwaartekracht op de bowlingbal wordt precies gecompenseerd door zijn grotere massa.

b De ballen zijn even groot, dus bij dezelfde snelheid is de luchtweerstandskracht gelijk. Voor de lichte voetbal is die kracht al snel een groot deel van de zwaartekracht: zijn versnelling neemt snel af. Voor de zware bowlingbal is dezelfde luchtweerstand maar een klein deel van F_z: hij blijft langer versnellen en valt dus sneller.

Opdracht 65

a Op t = 12 s is de grafiek een rechte lijn. Lees twee punten af, bijvoorbeeld (10 s; 1300 m) en (20 s; 650 m).

\begin{aligned} v &= \frac{650 - 1300}{20 - 10} \\ &= -65\ \text{m/s} \end{aligned}

b Het laatste stuk is ook recht. Daar daalt hij 120 m in 30 s.

\begin{aligned} v &= \frac{-120}{30} \\ &= -4{,}0\ \text{m/s} \end{aligned}

c Op beide tijdstippen is de grafiek een rechte lijn: de snelheid is constant. Dan is F_res = 0, dus de luchtweerstandskracht is beide keren gelijk aan de zwaartekracht. Die is steeds even groot (90 kg × 9,81 = 883 N).

d De parachute gaat open. De luchtweerstandskracht wordt veel groter dan de zwaartekracht: de resulterende kracht wijst omhoog, tegen de beweging in.

e De grafiek wordt tussen t = 25 s en 35 s steeds minder steil.

\begin{aligned} a_\text{gem} &= \frac{\Delta v}{\Delta t} \\ &= \frac{-4{,}0 - (-65)}{35 - 25} \\ &= 6{,}1\ \text{m/s}^2 \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{res} &= m \cdot a \\ &= 90 \times 6{,}1 \\ &= 549\ \text{N} \end{aligned}

De resulterende kracht wijst omhoog: F_res = F_parachute − F_z.

\begin{aligned} F_\text{parachute} &= 549 + 883 \\ &= 1{,}4 \cdot 10^3\ \text{N} \end{aligned}

h De kracht van de parachute is omhoog gericht en ruim anderhalf keer zo groot als de zwaartekracht (omlaag).

Opdracht 66

De snelheid: 90 / 3,6 = 25 m/s.

Reactieafstand:

\begin{aligned} s_\text{r} &= 25 \times 0{,}65 \\ &= 16{,}3\ \text{m} \end{aligned}

Remtijd:

\begin{aligned} t &= \frac{25}{5{,}2} \\ &= 4{,}81\ \text{s} \end{aligned}

Remweg:

\begin{aligned} s_\text{rem} &= 12{,}5 \times 4{,}81 \\ &= 60{,}1\ \text{m} \end{aligned}

Stopafstand:

\begin{aligned} s_\text{stop} &= 16{,}3 + 60{,}1 \\ &= 76\ \text{m} \end{aligned}

3.5 Krachten bij versnellen en vertragen nagekeken?

5 opdrachten

Gemengd 67

a De spankracht van 355 N is een pijl van 3,55 cm, onder 35° met de horizontaal.

De spankracht op de slee en de horizontale en verticale component (1,0 cm ≙ 100 N).

\begin{aligned} F_\text{span,h} &= 355 \times \cos 35^\circ \\ &= 2{,}9 \cdot 10^2\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{span,v} &= 355 \times \sin 35^\circ \\ &= 2{,}0 \cdot 10^2\ \text{N} \end{aligned}

c Bij constante snelheid is F_res = 0. De wrijvingskracht heft de horizontale component op: 2,9 · 10² N.

d Verticaal: F_n en F_span,v omhoog, F_z omlaag.

\begin{aligned} F_\text{z} &= 47 \times 9{,}81 \\ &= 461\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{n} &= 461 - 204 \\ &= 2{,}6 \cdot 10^2\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} a &= \frac{1{,}8}{0{,}75} \\ &= 2{,}4\ \text{m/s}^2 \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{res} &= 47 \times 2{,}4 \\ &= 1{,}1 \cdot 10^2\ \text{N} \end{aligned}

Gemengd 68

a Elke veer draagt een kwart van de zwaartekracht:

\begin{aligned} F_\text{z} &= 475 \times 9{,}81 \\ &= 4{,}66 \cdot 10^3\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{v} &= \frac{4{,}66 \cdot 10^3}{4} \\ &= 1{,}165 \cdot 10^3\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} u &= \frac{1{,}165 \cdot 10^3}{60 \cdot 10^3} \\ &= 0{,}019\ \text{m} \end{aligned}

Dat is 1,9 cm.

b C. De vier veren samen geven 4,66 · 10³ N bij 0,019 m indrukking: C = 4,66 · 10³ / 0,0194 = 240 kN/m (vier keer 60 kN/m).

Gemengd 69

De kracht van de tak (130 N) en van de stam (50 N) samengesteld met een parallellogram (1,0 cm ≙ 50 N).

b Meet de resultante: 2,4 cm, dus 2,4 × 50 = 120 N omhoog. De aap hangt stil, dus de zwaartekracht is even groot: 1,2 · 10² N.

\begin{aligned} m &= \frac{F_\text{z}}{g} \\ &= \frac{120}{9{,}81} \\ &= 12\ \text{kg} \end{aligned}

Gemengd 70

a De optrekafstand is de oppervlakte onder het (v,t)-diagram van t = 0 tot t = 105 s. Een hokje is 10 s × 25 km/h = 10 s × 6,94 m/s = 69,4 m. Onder de grafiek liggen ongeveer 55 hokjes.

\begin{aligned} s &= 55 \times 69{,}4 \\ &= 3{,}8 \cdot 10^3\ \text{m} \end{aligned}

Dat is 3,8 km.

b Uit het (F,t)-diagram: F_res = 6,5 kN. Uit het (v,t)-diagram: de raaklijn op t = 0 gaat door (0 s; 0 km/h) en (35 s; 100 km/h).

\begin{aligned} a &= \frac{100 / 3{,}6}{35} \\ &= 0{,}79\ \text{m/s}^2 \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{res} &= 8{,}1 \cdot 10^3 \times 0{,}79 \\ &= 6{,}4 \cdot 10^3\ \text{N} \end{aligned}

Dat klopt (binnen de afleesnauwkeurigheid) met 6,5 kN.

c Op t = 0 staat de bus stil: er is nog geen luchtweerstand. Het verschil tussen F_motor en F_res is dan alleen de rolweerstand:

\begin{aligned} F_\text{r} &= 7{,}8 - 6{,}5 \\ &= 1{,}3\ \text{kN} \end{aligned}

d Bijvoorbeeld: de bus is laag en plat (kleine frontale oppervlakte), en hij heeft een gestroomlijnde, afgeronde vorm (kleine C_w).

e Bij 250 km/h is de snelheid constant, dus F_motor = F_r + F_w,l. Uit het diagram: F_motor = 4,7 kN.

\begin{aligned} F_\text{w,l} &= 4{,}7 - 1{,}3 \\ &= 3{,}4 \cdot 10^3\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} A &= 2{,}50 \times 1{,}70 \\ &= 4{,}25\ \text{m}^2 \end{aligned}

\begin{aligned} v &= \frac{250}{3{,}6} \\ &= 69{,}4\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} C_\text{w} &= \frac{2 \cdot F_\text{w,l}}{\rho \cdot A \cdot v^2} \\ &= \frac{2 \times 3{,}4 \cdot 10^3}{1{,}2 \times 4{,}25 \times 69{,}4^2} \\ &= 0{,}28 \end{aligned}

Gemengd 71

a De druppel stijgt tot het hoogste punt (v = 0) op t = 5,3 s. De beginsnelheid is 52 m/s. De hoogte is de oppervlakte van de driehoek:

\begin{aligned} h &= \tfrac{1}{2} \times 5{,}3 \times 52 \\ &= 1{,}4 \cdot 10^2\ \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} a &= \frac{0 - 52}{5{,}3} \\ &= -9{,}8\ \text{m/s}^2 \end{aligned}

De vertraging is gelijk aan g. Dan werkt alleen de zwaartekracht: er is geen merkbare luchtweerstand.

tijdstip	beweging
t = 2,0 s	vertraagde beweging
t = 7,0 s	versnelde beweging
t = 10,0 s	eenparige beweging

\begin{aligned} m &= \frac{F_\text{z}}{g} \\ &= \frac{1{,}5 \cdot 10^{-4}}{9{,}81} \\ &= 1{,}5 \cdot 10^{-5}\ \text{kg} \end{aligned}

Dat is 15 mg.

e Op t = 10 s is de snelheid constant: F_res = 0. De luchtweerstandskracht is dan gelijk aan de zwaartekracht: 1,5 · 10⁻⁴ N, omhoog.

f A. Op t = 5,3 s is v = 0, en zonder snelheid is er geen luchtweerstand.

g B. De druppel valt en versnelt nog (minder dan g): er is luchtweerstand, maar die is kleiner dan de zwaartekracht.

h Bij het stijgen bewegen de druppels in een smalle, dichte straal achter elkaar aan; ze nemen de lucht mee en hebben weinig last van luchtweerstand. Bij het dalen zijn ze uiteengewaaid tot een wolk van losse druppeltjes, die elk de volle luchtweerstand ondervinden.

Gemengde opgaven nagekeken?

Grootheid	Symbool	Eenheid
kracht	$F$	newton (N)
zwaartekracht	$F_\text{z}$	newton (N)
resulterende kracht	$F_\text{res}$	newton (N)
massa	$m$	kilogram (kg)
valversnelling	$g$	meter per seconde kwadraat (m/s² = N/kg)
versnelling	$a$	meter per seconde kwadraat (m/s²)
veerconstante	$C$	newton per meter (N/m)
uitrekking	$u$	meter (m)

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle F_\text{z} = m \cdot g$	zwaartekracht	Binas	3.1a
$\displaystyle F_\text{v} = C \cdot u$	veerkracht	Binas	3.1b
$\displaystyle F_\text{res}^2 = F_1^2 + F_2^2$	resultante van twee loodrechte krachten	Zelf afleiden	3.2a
$\displaystyle F_\text{res} = m \cdot a$	tweede wet van Newton	Binas	3.5a

Krachten

3.1 Krachten in soorten

3.2 Krachten samenstellen

3.3 Krachten ontbinden

3.4 Krachten bij constante snelheid

3.5 Krachten bij versnellen en vertragen

Gemengde opgaven

Grootheden en eenheden

Formules