Redeneren met groeiformules: grenswaarde en stijgen of dalen

Bij formules zoals $N = \frac{600}{2 + 8 \cdot 0{,}7^t}$ kun je zonder rekenmachine beredeneren hoe de grafiek loopt. Je begint bij $g^t$ en werkt stap voor stap naar buiten, tot je bij de hele formule bent.

20 min

Na deze les kun je

beredeneren wat de grenswaarde van een formule met $g^t$ is
beredeneren of de grafiek stijgend of dalend is
de praktische betekenis van een grenswaarde (verzadigingsniveau) geven

Dit weet je al

De grafiek van $N = b \cdot g^t$ bij $g > 1$ en bij $0 < g < 1$ (les 9.1a).

Het startpunt: de macht gᵗ

Alles begint bij de macht $g^t$ . In dit hoofdstuk is $t > 0$ .

	$0 < g < 1$	$g > 1$
als $t$ heel groot wordt	$g^t$ nadert tot 0	$g^t$ wordt heel groot
als $t$ toeneemt	$g^t$ neemt af	$g^t$ neemt toe

Daarna gebruik je eenvoudige regels:

Iets vermenigvuldigen met een positief getal verandert de richting niet: neemt $0{,}7^t$ af, dan neemt $8 \cdot 0{,}7^t$ ook af.
Iets aftrekken dat kleiner wordt, maakt de uitkomst groter: neemt $30 \cdot 0{,}8^t$ af, dan neemt $50 - 30 \cdot 0{,}8^t$ toe.
Een vast positief getal delen door iets dat kleiner wordt, maakt de uitkomst groter. Deel je door iets dat groter wordt, dan wordt de uitkomst kleiner.

Beredeneren: de grenswaarde

Een redenering over de grenswaarde begint altijd met "Als $t$ heel groot wordt, dan ...".

✎Voorbeeld: de grenswaarde

Gegeven is $N = \dfrac{600}{2 + 8 \cdot 0{,}7^t}$ . Beredeneer wat de grenswaarde is.

Als $t$ heel groot wordt, dan nadert $0{,}7^t$ tot 0, want $0 < 0{,}7 < 1$ .
Dan nadert $8 \cdot 0{,}7^t$ tot 0, dus $2 + 8 \cdot 0{,}7^t$ nadert tot 2.
Dan nadert $\dfrac{600}{2 + 8 \cdot 0{,}7^t}$ tot $\dfrac{600}{2} = 300$ .
De grenswaarde is 300.

Beredeneren: stijgend of dalend

Een redenering over stijgen of dalen begint altijd met "Als $t$ toeneemt, dan ...".

✎Voorbeeld: stijgend of dalend

Beredeneer of de grafiek van $N = \dfrac{600}{2 + 8 \cdot 0{,}7^t}$ stijgend of dalend is.

Als $t$ toeneemt, dan neemt $0{,}7^t$ af, want $0 < 0{,}7 < 1$ .
Dan neemt $8 \cdot 0{,}7^t$ af, dus neemt $2 + 8 \cdot 0{,}7^t$ af.
Je deelt 600 door een steeds kleiner positief getal, dus $\dfrac{600}{2 + 8 \cdot 0{,}7^t}$ neemt toe.
Als $t$ toeneemt, neemt $N$ toe: de grafiek is stijgend.

De grafiek van <span class= — De grafiek van $N = \frac{600}{2 + 8 \cdot 0{,}7^t}$ (blauw) stijgt van 60 naar de grenswaarde 300 (oranje stippellijn), maar komt daar nooit helemaal.

≈Wat een grenswaarde betekent

De grafiek komt steeds dichter bij de grenswaarde, maar bereikt die nooit. Bij een stijgende grafiek heet de grenswaarde ook het verzadigingsniveau. In een situatie is dat vaak een plafond. Bij $N = 1000(1 - 0{,}6^t)$ voor het aantal mensen dat een bericht kent, zijn er bijvoorbeeld 1000 mensen in totaal: meer dan 1000 kunnen het bericht nooit kennen.

!Getallen invullen is geen redenering

"Bij $t = 10$ is $N = 293$ en bij $t = 50$ is $N = 300$ , dus de grenswaarde is 300" is geen redenering. Getallenvoorbeelden en een plot op de GR mogen je helpen, maar je antwoord moet een redenering stap voor stap zijn, met de woorden nadert, neemt toe en neemt af.

Even controleren

Snap je het?

Beredeneer wat de grenswaarde is van $A = 50 - 30 \cdot 0{,}8^t$ .

Is de grafiek van $A = 50 - 30 \cdot 0{,}8^t$ stijgend of dalend?

Is de grafiek van $C = \dfrac{500}{4 + 1{,}3^t}$ stijgend of dalend?

↗Hoe hangt dit samen?

Hiermee is hoofdstuk 9 rond. In de Kennis- en vaardighedentest en de gemengde opgaven komen alle onderdelen terug. Begin daar steeds met de vraag: is dit lineair of exponentieel?

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

Grootheid	Symbool	Eenheid
hoeveelheid	$N$	hangt af van de situatie (aantal, m², euro, ...)
beginwaarde (hoeveelheid op $t = 0$ )	$b$	dezelfde eenheid als $N$
groeifactor per tijdseenheid	$g$	geen eenheid
groeipercentage	$p$	procent (%)
tijd	$t$	jaar, maand, dag, uur, ...
verdubbelingstijd of halveringstijd	de oplossing $t$ van $g^t = 2$ of $g^t = 0{,}5$	dezelfde eenheid als $t$
toename per tijdseenheid (lineair)	$a$	eenheid van $N$ per tijdseenheid

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle g = 1 + \frac{p}{100} \quad\text{(toename)} \qquad g = 1 - \frac{p}{100} \quad\text{(afname)}$	groeifactor bij een groeipercentage	Zelf afleiden	9.1a
$\displaystyle N = b \cdot g^t$	exponentiële groei	Zelf afleiden	9.1a
$\displaystyle g^t = 2 \qquad\qquad g^t = 0{,}5$	verdubbelingstijd en halveringstijd	Zelf afleiden	9.1b
$\displaystyle g_n = g^n$	groeifactor per n tijdseenheden	Zelf afleiden	9.2a
$\displaystyle g = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^{\frac{1}{t_2 - t_1}}$	groeifactor uit twee meetpunten	Zelf afleiden	9.2b
$\displaystyle N = at + b \qquad a = \frac{\Delta N}{\Delta t}$	lineaire formule	Zelf afleiden	9.3a
$\displaystyle \frac{1}{a^p} = a^{-p}$	negatieve exponent	Zelf afleiden	9.4a
$\displaystyle a^{pq} = \left(a^p\right)^q$	macht van een macht	Zelf afleiden	9.4a
$\displaystyle a^{p+q} = a^p \cdot a^q$	som in de exponent	Zelf afleiden	9.4a