Leeromgeving›Wiskunde›5 havo wiskunde A›H12 Examentraining

Hoofdstuk 12 · 174 opdrachten uitgewerkt

Examentraining

Examenopgaven uit 12.1 t/m 12.5 (algemene vaardigheden, lineaire en exponentiële verbanden, herleiden en redeneren, statistiek) en 104 gemengde opgaven.

Klik een paragraaf open, en daarna de opdracht die je wilt nakijken.

20 opdrachten

Zo pak je het aan

Zo pak je het aan

In dit hoofdstuk oefen je met echte examenopgaven. De vaardigheden uit 12.1 heb je bij bijna elke opgave nodig.

Procenten. De relatieve verandering is (nieuw − oud)/oud · 100%. Een toename van 42,7% geeft groeifactor 1,427, een afname van 17,6% geeft groeifactor 0,824. Terugrekenen doe je met delen: na 38% groei is 376 bereikt, dus het begin was 376/1,38.
Verhoudingen. Maak de gemeenschappelijke letter gelijk: A : B = 1 : 5 = 2 : 10 en B : C = 2 : 7 = 10 : 35, dus A : C = 2 : 35.
Evenredig en omgekeerd evenredig. Evenredig: M = a · N. Omgekeerd evenredig: G · R is constant, dus G = a/R. Bereken a met één gegeven punt.
De GR. Geef altijd de toelichting: (1) noteer wat je invoert (y1 = ..., y2 = ...), (2) noteer de optie (snijpunt, maximum, minimum, nulpunt, oplossen) en het resultaat, (3) beantwoord de vraag in de context.
Afronden bij een ongelijkheid. Uit x = 6,452... volgt dat N > 100 pas geldt vanaf t = 6,46. Rond dus af in de richting die nog klopt.
Soorten van stijgen en dalen. Constant, toenemend of afnemend stijgend; constant, toenemend of afnemend dalend.
Eenheden. Liters zijn dm³. Reken de gegevens om naar dm en dm² voordat je vermenigvuldigt.

Opdracht 1

\frac{69\,170 - 48\,520}{48\,520} \cdot 100\% \approx 42{,}6\%

b Maak B in beide verhoudingen gelijk aan 10:

A : B = 1 : 5 = 2 : 10 \qquad B : C = 2 : 7 = 10 : 35

Dus A : B : C = 2 : 10 : 35 en A : C = 2 : 35.

c Omgekeerd evenredig, dus Q = a/P. In de figuur gaat de grafiek door (3, 600):

\frac{a}{3} = 600 \quad\Rightarrow\quad a = 1800 \quad\Rightarrow\quad Q = \frac{1800}{P}

\begin{aligned} 3{,}1A - 4{,}12 \cdot 15 + 16{,}05 &= 24 \\ 3{,}1A - 45{,}75 &= 24 \\ 3{,}1A &= 69{,}75 \\ A &= 22{,}5 \end{aligned}

e Voer in y1 = 100x/(0,6x² + x + 3) met het venster 0 ≤ x ≤ 10.

Schets van de grafiek van F op 0 < x < 10.

De grafiek is achtereenvolgens afnemend stijgend, toenemend dalend en afnemend dalend.

f De optie maximum geeft y = 27,149... Het maximum van F is ongeveer 27,15.

g Voer in y1 = 100x/(0,6x² + x + 3) en y2 = 20. De optie snijpunt geeft x = 0,861... en x = 5,805...

De grafiek van F ligt tussen de twee snijpunten boven de lijn y = 20. Rond af naar binnen, zodat F > 20 nog klopt: F > 20 voor 0,87 ≤ x ≤ 5,80.

Opdracht 2

a Lees bij 75 °C af hoe groot de verhittingstijd is voor elke diameter:

d (mm)	40	60	80	100	120	140
verhittingstijd (min)	53	88	133	183	240	305

Zet de punten uit en verbind ze met een vloeiende kromme.

De verhittingstijd uitgezet tegen de diameter bij een verhittingstemperatuur van 75 °C.

b 4,5 cm = 45 mm, dus d = 45:

V = 0{,}7 \cdot 45 + 0{,}0089 \cdot 45^2 = 49{,}52... \approx 50

De verhittingstijd is 50 minuten.

c 2,5 uur = 150 minuten. Los op: 0,7d + 0,0089d² = 150.

Voer in y1 = 0,7x + 0,0089x² en y2 = 150. De optie snijpunt geeft x = 96,3...

De verhittingstijd neemt toe als d toeneemt, dus de diameter is maximaal 96 mm.

Opdracht 3

a Los op: 20√(273 + T) = 339.

De optie oplossen bij 20√(273 + x) = 339 geeft x = 14,3...

Bij 349 m/s hoort T = 31 (zie de tekst). De temperatuur moet dus toenemen met 31 − 14,3... ≈ 17 °C.

(Met de formule: de optie oplossen bij 20√(273 + x) = 349 geeft x = 31,5..., en 31,5... − 14,3... ≈ 17.)

b Bereken eerst L met de toon bij 31 °C:

T = 31 \;\Rightarrow\; v = 20\sqrt{273 + 31} = 348{,}71\ldots

Los op: 348,71.../(4L) = 440. De optie oplossen bij 348,71.../(4x) = 440 geeft x = 0,1981..., dus L = 0,1981...

Bij 20 °C is de lengte L hetzelfde, maar de snelheid anders:

T = 20 \;\Rightarrow\; v = 20\sqrt{273 + 20} = 342{,}34\ldots \;\Rightarrow\; f = \frac{342{,}34\ldots}{4 \cdot 0{,}1981\ldots} \approx 432

De frequentie was 432 Hz. (Reken je met de afgeronde snelheden 349 en 342 uit de tekst, dan krijg je 431 Hz. Dat is ook goed.)

Opdracht 4

a Als op elke brief/kaart in 2015 één postzegel zat, dan was de opbrengst:

2401 \text{ miljoen} \cdot 0{,}69 = 1656{,}69 \text{ miljoen euro}

De opbrengst was hoger, namelijk 1961 miljoen euro. Op een deel van de brieven/kaarten moet dus meer dan één postzegel zijn geplakt.

b - 1947,44 is het aantal brieven/kaarten (in miljoenen) met één postzegel: 0,88 · 2213 = 1947,44. - 1,46 is de opbrengst van een brief/kaart met twee postzegels: 2 · 0,73 = 1,46 euro. - 2,19 is de opbrengst van een brief/kaart met drie postzegels: 3 · 0,73 = 2,19 euro. - 265,56 is het aantal brieven/kaarten (in miljoenen) met twee of drie postzegels: 0,12 · 2213 = 265,56 (of 2213 − 1947,44 = 265,56). Met x stuks met twee postzegels zijn er 265,56 − x met drie postzegels.

c De optie oplossen bij 0,73 · 1947,44 + 1,46x + 2,19 · (265,56 − x) = 1877 geeft x = 172,8...

\frac{172{,}8\ldots}{2213} \cdot 100\% \approx 8\%

Op 8% van de brieven/kaarten zaten twee postzegels.

Opdracht 5

Omgekeerd evenredig, dus V = a/P. Lees een punt op de trendlijn af, bijvoorbeeld (2, 10):

\frac{a}{2} = 10 \quad\Rightarrow\quad a = 20 \quad\Rightarrow\quad V = \frac{20}{P}

Opdracht 6

a t = 19 geeft:

L_j = \frac{50{,}9}{1 + 1289{,}5 \cdot 0{,}57^{19}} + 134 \approx 183{,}43

Als t heel groot wordt, dan nadert 0,57ᵗ tot 0, dus dan nadert de breuk tot 50,9/1 = 50,9. De grenswaarde is 50,9 + 134 = 184,9.

Een jongen groeit vanaf zijn negentiende dus nog 184,9 − 183,43 ≈ 1,5 cm.

b Het verschil is Lₘ − Lⱼ. Voer in y1 = 48,3/(1 + 245,4 · 0,59ˣ) + 122,6 − (50,9/(1 + 1289,5 · 0,57ˣ) + 134) met het venster 10 ≤ x ≤ 13.

De optie maximum geeft x = 11,27... en y = 2,53...

Het maximale lengteverschil is ongeveer 2,5 cm.

Opdracht 7

a Klaas kan regel 2 lezen en Lidy regel 7:

S_{\text{Klaas}} = \frac{20}{100} = 0{,}2 \qquad S_{\text{Lidy}} = \frac{20}{25} = 0{,}8 \qquad \frac{0{,}8}{0{,}2} = 4

Klaas moet 4 keer zo dicht bij de kaart staan.

b Los op: 10⁻ᴹ = 0,05 en 10⁻ᴹ = 0,3.

De optie oplossen bij 10 tot de macht −x = 0,05 geeft x = 1,30..., en bij 10 tot de macht −x = 0,3 geeft x = 0,52...

S = 0,05 komt overeen met M ≈ 1,3 en S = 0,3 met M ≈ 0,5.

c E = 75 geeft:

S = 10^{\frac{75 - 85}{50}} = 10^{-0{,}2} = 0{,}63\ldots

0,63... ≥ 0,5, dus Janne wordt goedgekeurd.

Opdracht 8

a In Groningen wonen 583 721 inwoners, dat is 5,83721 keer 100 000:

\text{museumdichtheid} = \frac{17}{5{,}83721} = 2{,}91\ldots

Dat is hoger dan de museumdichtheid van heel Nederland (2,47).

b In Flevoland wonen 4,04068 keer 100 000 inwoners. Voor een museumdichtheid hoger dan 2,47 zijn er meer dan

2{,}47 \cdot 4{,}04068 = 9{,}98\ldots

musea nodig, dus minstens 10 musea. Flevoland zou er minstens 10 − 4 = 6 musea bij moeten hebben.

c Bereken het totaal aantal bezoeken met terugrekenen:

2011: \; \frac{4{,}2}{0{,}20} = 21 \text{ miljoen} \qquad 2016: \; \frac{8{,}5}{0{,}26} = 32{,}69\ldots \text{ miljoen}

\frac{32{,}69\ldots - 21}{21} \cdot 100\% \approx 56\%

Het totaal aantal museumbezoeken is met 56% gestegen.

Opdracht 9

a Het verschil tussen de luchttemperatuur en de natte temperatuur is 22 − 17 = 5 °C. In de tabel op het werkblad lees je af bij een luchttemperatuur van 22 °C en een verschil van 5 °C: de luchtvochtigheid is 59%.

b Lees in de figuur op het werkblad af op de hoogte van 60%: - bij 31,5 °C hoort een temperatuurverschil van 6 °C, dus de natte temperatuur was 31,5 − 6 = 25,5 °C; - bij 15 °C hoort een temperatuurverschil van 4 °C, dus de natte temperatuur was 15 − 4 = 11 °C.

De natte temperatuur daalde met 25,5 − 11 = 14,5 °C.

c Mijke vult T = 11 en een temperatuurverschil van 3 in:

L = 100 - \frac{330}{18 + 11} \cdot 3 = 65{,}86\ldots

Jaap leest in de tabel bij 11 °C en een verschil van 3 °C af: 66%.

Het verschil is 66 − 65,86... ≈ 0,14 procentpunt.

Opdracht 10

Lees in de figuren op het werkblad af bij het jaar 2020: de wereldbevolking is 7,8 miljard en er zijn 140 miljoen geboorten.

\frac{140\,000\,000}{7\,800\,000\,000} \cdot 1000 = \frac{140}{7{,}8} \approx 18

Het geboortecijfer was 18.

Opdracht 11

a Bart valt 4000 − 1500 = 2500 meter in 50 seconden:

\frac{2500}{50} = 50 \text{ m/s} = 50 \cdot 3{,}6 \text{ km/uur} = 180 \text{ km/uur}

b Los op: 4000 − 4,9t² = 1500.

De optie oplossen bij 4000 − 4,9x² = 1500 geeft x = 22,58... (de negatieve oplossing vervalt).

De vrije val van Bart duurt 50 − 22,58... ≈ 27 seconden langer.

c Lees in figuur 2 af bij m = 90, bijvoorbeeld: W = 20 geeft v ≈ 6,6 en W = 40 geeft v ≈ 4,7.

Bij een omgekeerd evenredig verband is v · W constant. Maar 20 · 6,6 = 132 en 40 · 4,7 = 188. Dat is niet gelijk, dus v is niet omgekeerd evenredig met W.

d m = 79 en W = 45 geeft:

v = 3{,}13 \cdot \sqrt{\frac{79}{45}} = 4{,}14\ldots \text{ m/s}

Het laatste deel van 1300 meter duurt 1300/4,14... = 313,46... seconden.

De totale sprong duurt 34 + 313,46... ≈ 347 seconden.

Opdracht 12

a Powell loopt met een snelheid van 100/9,74 = 10,266... m/s. Bolt finisht 9,74 − 9,58 = 0,16 seconden eerder dan Powell.

0{,}16 \cdot 10{,}266\ldots \approx 1{,}64

Powell had nog 1,64 meter te gaan.

b Bereken eerst de tijd zonder wind. M = 9,58 en W = 0,9 geeft:

Z = 1{,}03 \cdot 9{,}58 - 0{,}03 \cdot 9{,}58 \cdot \left(1 - \frac{0{,}9 \cdot 9{,}58}{100}\right)^2 = 9{,}627\ldots

Met W = 2,0 en dezelfde Z moet gelden: 1,03M − 0,03M · (1 − 2,0M/100)² = 9,627...

De optie oplossen bij 1,03x − 0,03x · (1 − 2x/100)² = 9,627... geeft x = 9,528...

Bolt zou een tijd van 9,53 seconden hebben gehaald.

Opdracht 13

Bereken de gemiddelde voedselconsumptie per persoon per dag:

2006: \; \frac{18\,000 \cdot 10^9}{6569 \cdot 10^6} = 2740{,}1\ldots \qquad 2050: \; \frac{28\,000 \cdot 10^9}{9111 \cdot 10^6} = 3073{,}2\ldots

De toename is 3073,2... − 2740,1... ≈ 333 kilocalorieën per persoon per dag.

Opdracht 14

a 1 minuut en 37,252 seconden = 97,252 seconden.

V = \frac{500}{97{,}252} = 5{,}14\ldots \text{ m/s} = 5{,}14\ldots \cdot 3{,}6 \text{ km/u} \approx 18{,}5 \text{ km/u}

b Bereken V = 1000/tijd en daarmee c = V/N tot de macht 1/9 voor elke boot:

\begin{aligned} N = 1: \quad & c = \frac{1000}{206{,}323} : 1^{\frac{1}{9}} = 4{,}84\ldots \\ N = 2: \quad & c = \frac{1000}{191{,}809} : 2^{\frac{1}{9}} = 4{,}82\ldots \\ N = 4: \quad & c = \frac{1000}{175{,}714} : 4^{\frac{1}{9}} = 4{,}87\ldots \end{aligned}

Bij alle drie de boten is c ongeveer 4,8. Het getal c is dus bij benadering constant, en het verband klopt bij benadering.

Opdracht 15

a In 2018 is A = 4,5, dus U = 60 + 10 · 4,5 = 105.

In 2020 is A = 1,10 · 4,5 = 4,95, dus U = 60 + 10 · 4,95 = 109,5.

\frac{109{,}5 - 105}{105} \cdot 100\% \approx 4\%

De uitgaven zijn 4% hoger.

b Los op: 1,75 + 0,05l = 4,5.

0{,}05l = 2{,}75 \quad\Rightarrow\quad l = 55

A neemt toe als l toeneemt, dus A < 4,5 geldt voor l < 55. De formule geldt vanaf 5 jaar, dus bij de leeftijden van 5 tot en met 54 jaar.

Opdracht 16

a 1 vadem = 6 voet = 6 · 12 inch = 6 · 12 · 25,4 mm = 1828,8 mm = 1,8288 m.

Dus M = 1,8288V.

b De bodem ligt 10 meter onder het echolood, dus D − h = 10, oftewel D = h + 10. Substitueer in D = h + 750t:

\begin{aligned} h + 10 &= h + 750t \\ 10 &= 750t \\ t &= 0{,}0133\ldots \end{aligned}

De echotijd is 0,013 seconden.

c Neemt t met 1 seconde toe, dan neemt D met 750 meter toe. In die seconde gaat het geluid heen én terug: het legt 2 · 750 = 1500 meter af. De snelheid van het geluid is dus 1500 meter per seconde. Josje heeft gelijk.

d De ankerketting moet minstens anderhalf keer de waterdiepte zijn, dus de werkelijke waterdiepte is maximaal 78/1,5 = 52 meter.

Het echolood kan 3% te weinig aangeven: bij 52 meter werkelijke diepte geeft het dan 0,97 · 52 = 50,44 aan. Geeft het echolood meer aan, dan kan de werkelijke diepte meer dan 52 meter zijn.

Het echolood mag maximaal 50,4 meter aangeven.

Opdracht 17

a Los op: 4,026v²/(7644 + 0,1929v²) tot de macht 0,8 = 80.

Voer in y1 = 4,026x²/(7644 + 0,1929x²) tot de macht 0,8 en y2 = 80. De optie snijpunt geeft x = 218,7...

Bij 218,7... km/uur vliegt de coureur er net uit, dus rond af naar beneden: de maximale bochtensnelheid is 218 km/uur.

b De coureur vliegt uit de bocht als hij sneller rijdt dan de maximale bochtensnelheid. Bij elke straal r horen dan snelheden die boven de grafiek liggen.

Het gekleurde gebied boven de grafiek: hier rijdt de coureur sneller dan de maximale bochtensnelheid en vliegt hij uit de bocht.

Opdracht 18

Lees af bij 1 juli 2015: 30% van de mannen en 22,5% van de vrouwen rookte.

0{,}30 \cdot 6\,618\,000 = 1\,985\,400 \text{ mannen} \qquad 0{,}225 \cdot 6\,853\,000 = 1\,541\,925 \text{ vrouwen}

\frac{1\,985\,400}{1\,985\,400 + 1\,541\,925} \cdot 100\% = \frac{1\,985\,400}{3\,527\,325} \cdot 100\% \approx 56\%

Van de rokers was 56% man.

Opdracht 19

a Trek het lineaire stuk (door (0, 0) en (30, 60)) door tot 100%.

Het batterijpercentage van de PRO 5 met het lineaire stuk doorgetrokken tot 100%.

Bij 100% lees je af: de totale oplaadtijd zou 50 minuten zijn.

b Sasha (PRO 6, figuur 2): bij 10% hoort 4 minuten en bij 90% hoort 44 minuten. De telefoons liggen dus 44 − 4 = 40 minuten aan de oplader.

Djimon (PRO 5, figuur 1): bij 90% hoort 57,5 minuten. Zijn telefoon heeft ook 40 minuten aan de oplader gelegen. Toen hij de telefoon aan de oplader legde, had die dus het batterijpercentage dat in figuur 1 bij 57,5 − 40 = 17,5 minuten hoort.

Bij 17,5 minuten lees je in figuur 1 af: 35%.

c In B = c · t is c de toename van het batterijpercentage per minuut. Hoe groter c, hoe sneller het opladen in het begin gaat.

Lees af: in de eerste 30 minuten neemt het batterijpercentage van de PRO 5 toe met 60%, en dat van de PRO 6 met 70%. Dus c is bij de PRO 5 ongeveer 60/30 = 2 en bij de PRO 6 ongeveer 70/30 ≈ 2,3.

Het getal c is bij de PRO 5 niet groter, maar kleiner dan bij de PRO 6.

Opdracht 20

a L = 48 geeft voor een getrainde man:

M_{\text{getraind}} = 205{,}8 - 0{,}685 \cdot 48 = 172{,}92

Bij een rustige duurtraining hoort 60% tot 70% daarvan:

0{,}60 \cdot 172{,}92 = 103{,}75\ldots \qquad 0{,}70 \cdot 172{,}92 = 121{,}04\ldots

Rond af naar binnen: de hartslag van Hans mag 104 tot en met 121 slagen per minuut zijn.

b Het verschil tussen de formules is:

M_{\text{ongetraind}} - M_{\text{getraind}} = 220 - L - (205{,}8 - 0{,}685L) = 14{,}2 - 0{,}315L

Meer dan 5 slagen verschil betekent dat het verschil groter is dan 5 of kleiner dan −5.

14{,}2 - 0{,}315L = 5 \;\Rightarrow\; L = 29{,}2\ldots \qquad 14{,}2 - 0{,}315L = -5 \;\Rightarrow\; L = 60{,}9\ldots

Het verschil neemt af als L toeneemt. Het verschil is dus meer dan 5 slagen bij volwassen mannen tot en met 29 jaar en vanaf 61 jaar.

12.1 Algemene vaardigheden nagekeken?

10 opdrachten

Zo pak je het aan

Zo pak je het aan

Lineaire formule. y = ax + b, met a de richtingscoëfficiënt (1 naar rechts, a omhoog) en (0, b) het snijpunt met de verticale as.
Formule bij twee punten. Bereken a = Δy/Δx. Vul daarna één punt in y = ax + b in en los b op.
Lineair model bij een puntenwolk. Kies twee punten die op de lijn liggen (niet twee meetpunten) en werk zoals hierboven.
Lineair interpoleren en extrapoleren. Bereken de toename per eenheid (bijvoorbeeld 261 ijssalons in 3 jaar is 87 per jaar) en tel dat het juiste aantal keer op bij een bekende waarde.
Gebieden. Bij een formule als K = 1,5A + 4B hoort elke grenswaarde (K = 12, K = 18, ...) bij een rechte lijn. Teken elke lijn met twee punten (A = 0 en B = 0) en controleer met een proefpunt aan welke kant het gebied ligt.

Opdracht 21

a Bij K = 500 is F = 150 en bij K = 2500 is F = 450. Als K met 2000 toeneemt, neemt F met 300 toe, dus per eenheid van K neemt F toe met 300/2000 = 0,15.

1250 is 750 meer dan 500:

F = 150 + 750 \cdot 0{,}15 = 262{,}5

b De lijn gaat door (500, 150) en (2500, 450):

\begin{aligned} F &= aK + b \quad\text{met}\quad a = \frac{\Delta F}{\Delta K} = \frac{450 - 150}{2500 - 500} = 0{,}15 \\ 0{,}15 \cdot 500 + b &= 150 \\ 75 + b &= 150 \\ b &= 75 \end{aligned}

Dus F = 0,15K + 75.

c De meting bij K = 1600 geeft F = 250. Het model geeft:

F = 0{,}15 \cdot 1600 + 75 = 315

De meetwaarde wijkt 315 − 250 = 65 af van de waarde volgens het model.

d Evenredig, dus F = aK. Door (1500, 300):

1500a = 300 \;\Rightarrow\; a = 0{,}2 \qquad K = 1600 \;\Rightarrow\; F = 0{,}2 \cdot 1600 = 320

e In 6,29 − 3,78 = 2,51 seconden komt er 60 − 30 = 30 meter bij, dus per seconde 30/2,51 = 11,95... meter.

t = 9 is 9 − 6,29 = 2,71 seconden na t = 6,29:

d = 60 + 2{,}71 \cdot 11{,}95\ldots \approx 92{,}4

Na 9 seconden heeft de atleet ongeveer 92,4 meter afgelegd.

f Per meter komt er 2,51/30 = 0,0836... seconden bij. d = 100 is 40 meter na d = 60:

t = 6{,}29 + 40 \cdot 0{,}0836\ldots \approx 9{,}64

Bij 100 meter hoort een tijd van 9,64 seconden.

g Teken de drie grenslijnen. Neem steeds W = 0 en V = 0:

grenslijn	W = 0	V = 0
5W + 15V = 20	V = 1⅓	W = 4
5W + 15V = 30	V = 2	W = 6
5W + 15V = 40	V = 2⅔	W = 8

Proefpunt (0, 0) geeft C = 0 ≤ 20, dus het gebied zonder waarschuwing ligt aan de kant van de oorsprong.

I = geen waarschuwing (C ≤ 20), II = code geel, III = code oranje, IV = code rood (C > 40).

Opdracht 22

In 5 jaar kwamen er 1 299 650 − 805 594 = 494 056 Museumkaarthouders bij, dus per jaar 494 056/5 = 98 811,2.

Na 1 januari 2016 moeten er meer dan 2 000 000 − 1 299 650 = 700 350 bijkomen:

\frac{700\,350}{98\,811{,}2} = 7{,}08\ldots \text{ jaar}

7,08... jaar na 1 januari 2016 valt in 2023. In 2023 zijn er voor het eerst meer dan 2 miljoen Museumkaarthouders.

Opdracht 23

a In de formule wordt de concentratie blauw asbest gedeeld door 300, en die van wit asbest door 2000. Bij dezelfde concentratie levert blauw asbest dus een grotere bijdrage aan F. Blauw asbest is gevaarlijker.

b Ontruimen bij F > 1. Los op:

\begin{aligned} \frac{C_{\text{wit}}}{2000} + \frac{75}{300} &= 1 \\ \frac{C_{\text{wit}}}{2000} &= 0{,}75 \\ C_{\text{wit}} &= 1500 \end{aligned}

F neemt toe als de concentratie wit asbest toeneemt. Ontruimen wordt dus geadviseerd bij een concentratie wit asbest groter dan 1500.

c Vermenigvuldig links en rechts met 6000:

\frac{C_{\text{wit}}}{2000} + \frac{C_{\text{blauw}}}{300} = 1 \quad\Rightarrow\quad 3 \cdot C_{\text{wit}} + 20 \cdot C_{\text{blauw}} = 6000

Op de puntjes staan 3 en 20.

d De grenzen zijn de lijnen F = 0,3 en F = 1:

grenslijn	wit = 0	blauw = 0
F = 0,3	blauw = 90	wit = 600
F = 1	blauw = 300	wit = 2000

Proefpunt (0, 0) geeft F = 0 < 0,3, dus het gebied met zeer klein risico ligt bij de oorsprong.

De drie risicogebieden, met horizontaal de concentratie wit asbest en verticaal de concentratie blauw asbest.

Opdracht 24

Kies twee punten op de grafiek in de kindertijd, bijvoorbeeld (3, 98) en (10, 143).

\begin{aligned} L &= at + b \quad\text{met}\quad a = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{143 - 98}{10 - 3} = 6{,}42\ldots \\ 6{,}42\ldots \cdot 3 + b &= 98 \\ 19{,}28\ldots + b &= 98 \\ b &= 78{,}71\ldots \end{aligned}

Dus L = 6,4t + 78,7.

Opdracht 25

Van 65 tot 80 jaar (15 jaar) komen er 9 − 5 = 4 huisartsconsulten per persoon bij, dus per jaar 4/15 = 0,266...

92 jaar is 12 jaar na 80 jaar:

9 + 12 \cdot 0{,}266\ldots = 12{,}2 \approx 12

Voor 92-jarigen zijn dat 12 huisartsconsulten per persoon per jaar.

Opdracht 26

a De vleugeloppervlakte wordt 795 − 25 = 770 m². Lees in de figuur af bij S = 9 en A = 770: het brandstofverbruik is 205 000 kg.

De besparing is 212 500 − 205 000 = 7500 kg brandstof.

b Lees op de verticale lijn A = 760 twee punten af, bijvoorbeeld (6; 242 500) en (7; 220 000).

\begin{aligned} V &= aS + b \quad\text{met}\quad a = \frac{\Delta V}{\Delta S} = \frac{220\,000 - 242\,500}{7 - 6} = -22\,500 \\ -22\,500 \cdot 7 + b &= 220\,000 \\ -157\,500 + b &= 220\,000 \\ b &= 377\,500 \end{aligned}

Dus V = −22 500S + 377 500.

Opdracht 27

Lees in de tabel af bij een windsnelheid van 25 km/u:

werkelijke temperatuur (°C)	0	−25
gevoelstemperatuur (°C)	−6	−34

Bij een daling van de werkelijke temperatuur met 25 °C daalt de gevoelstemperatuur met 28 °C, dus per graad met 28/25 = 1,12 °C.

−26,8 °C is 1,8 °C kouder dan −25 °C:

-34 - 1{,}8 \cdot 1{,}12 = -36{,}0\ldots \approx -36

De gevoelstemperatuur was −36 °C.

Opdracht 28

a Op 1 juli 2018 (t = 0) is het percentage 25,93. De helft daarvan is 12,965.

De optie oplossen bij −0,61x + 25,93 = 12,965 geeft x = 21,25...

21,25... jaar na 1 juli 2018 valt in het jaar 2039, dus vóór de start van 2040. De bewering is juist.

b Lees af: bij 1995 hoort t = 5 en een percentage van 29, bij 2004 hoort t = 14 en een percentage van 26.

\begin{aligned} P_v &= at + b \quad\text{met}\quad a = \frac{26 - 29}{14 - 5} = -0{,}3333\ldots \\ -0{,}3333\ldots \cdot 5 + b &= 29 \\ b &= 30{,}6666\ldots \end{aligned}

De getallen zijn −0,333 en 30,667.

c De twee formules hebben een ander beginpunt voor t. Pas formule 2 aan zodat t ook het aantal jaren vanaf 1 juli 2018 is. 1 juli 2018 is 28 jaar na 1 juli 1990:

P_v(28) = -0{,}33 \cdot 28 + 30{,}67 = 21{,}43 \quad\Rightarrow\quad P_v = -0{,}33t + 21{,}43 \;\;(t \text{ vanaf 1 juli 2018})

De optie oplossen bij −0,33x + 21,43 = −0,61x + 25,93 geeft x = 16,07...

16,07... jaar na 1 juli 2018 valt in 2034.

Opdracht 29

Neem t het aantal jaren na 2060. Het geboortecijfer G daalt in 20 jaar van 14,0 naar 12,8, het sterftecijfer S stijgt van 9,8 naar 10,6:

G = \frac{12{,}8 - 14{,}0}{20}t + 14{,}0 = -0{,}06t + 14 \qquad S = \frac{10{,}6 - 9{,}8}{20}t + 9{,}8 = 0{,}04t + 9{,}8

De bevolkingsgroei stopt als G = S. De optie oplossen bij −0,06x + 14 = 0,04x + 9,8 geeft x = 42.

De bevolkingsgroei stopt naar verwachting in 2102.

Opdracht 30

a Print Soms: 35 pagina's vallen binnen de 50 gratis pagina's, dus de kosten zijn 3 euro.

Print Gratis: 35 − 15 = 20 extra pagina's, dus 20/10 = 2 euro.

\frac{3 - 2}{3} \cdot 100\% \approx 33\%

De kosten zijn 33% lager.

b Het laagste bedrag betaal je als je elke maand precies 50 pagina's afdrukt: 12 · 3 = 36 euro.

Het hoogste bedrag betaal je als je alle 600 pagina's in één maand afdrukt. Dan zijn er in die maand 600 − 50 = 550 extra pagina's:

12 \cdot 3 + \frac{550}{10} = 36 + 55 = 91 \text{ euro}

Het maximale verschil is 91 − 36 = 55 euro.

c - Vast bedrag: 10 euro. Bij 0 afgedrukte pagina's lees je bij de grafiek van Print Vaak 10 euro af. - Gratis pagina's: 300. De grafiek stijgt pas na 300 afgedrukte pagina's. - Pagina's per euro: 20. Van 300 naar 400 pagina's stijgen de kosten van 10 naar 15 euro. Per pagina is dat (15 − 10)/(400 − 300) = 0,05 euro, dus voor 1 euro kun je 1/0,05 = 20 extra pagina's afdrukken.

12.2 Lineaire verbanden nagekeken?

15 opdrachten

Zo pak je het aan

Zo pak je het aan

Exponentiële groei. N = b · gᵗ, met b de beginhoeveelheid en g de groeifactor per tijdseenheid. Een toename van 12% geeft g = 1,12, een afname van 28% geeft g = 0,72.
Andere tijdseenheid. Is g de groeifactor per tijdseenheid, dan is gⁿ de groeifactor per n tijdseenheden. Andersom: uit de groeifactor per dag volgt de groeifactor per uur als g tot de macht 1/24. Reken altijd via groeifactoren, nooit rechtstreeks met percentages.
Exponentieel verband nagaan. Bereken bij gelijke stappen in de tabel de quotiënten van opeenvolgende waarden. Zijn die (ongeveer) gelijk, dan is het verband exponentieel.
Formule opstellen. Bij twee punten: groeifactor per tijdsverschil = nieuw/oud, en daarna de groeifactor per tijdseenheid met de macht 1/Δt. Vul daarna één punt in om b te berekenen.
Verdubbelingstijd en halveringstijd. Los gᵗ = 2 of gᵗ = 0,5 op met de GR. Andersom: bij een verdubbelingstijd van 50 jaar is de groeifactor per jaar 2 tot de macht 1/50.
Logaritmisch papier. Een rechte lijn hoort bij exponentiële groei. Evenwijdige lijnen hebben dezelfde groeifactor.

Opdracht 31

g_{\text{jaar}} = 1{,}0125 \quad\Rightarrow\quad g_{20\,\text{jaar}} = 1{,}0125^{20} \approx 1{,}282

In 20 jaar neemt de hoeveelheid toe met 28,2%.

g_{\text{jaar}} = 0{,}994 \quad\Rightarrow\quad g_{100\,\text{jaar}} = 0{,}994^{100} \approx 0{,}548

In 100 jaar neemt de hoeveelheid af met 45,2%.

c Los op: 1,0135ᵗ = 2. De optie oplossen bij 1,0135ˣ = 2 geeft x = 51,6...

Na 52 jaar is de hoeveelheid verdubbeld.

d Los op: 0,9995ᵗ = 0,5. De optie oplossen bij 0,9995ˣ = 0,5 geeft x = 1385,9...

De halveringstijd is 1386 jaar.

g_{20\,\text{jaar}} = 2 \quad\Rightarrow\quad g_{\text{jaar}} = 2^{\frac{1}{20}} \approx 1{,}035

Het groeipercentage is 3,5% per jaar.

g_{577\,\text{jaar}} = 0{,}5 \quad\Rightarrow\quad g_{\text{jaar}} = 0{,}5^{\frac{1}{577}} \approx 0{,}99880

De hoeveelheid neemt jaarlijks af met 0,120%.

g A neemt steeds met 3 toe. Bereken de quotiënten van opeenvolgende waarden van B:

\frac{1{,}5 \cdot 10^6}{10^8} = 0{,}015 \qquad \frac{2{,}3 \cdot 10^4}{1{,}5 \cdot 10^6} \approx 0{,}0153 \qquad \frac{340}{2{,}3 \cdot 10^4} \approx 0{,}0148 \qquad \frac{5{,}1}{340} = 0{,}015

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel is in overeenstemming met een exponentieel verband.

h Met t = 0 op 1 januari 2000 hoort bij 2005 t = 5 en bij 2018 t = 18. Dat is een verschil van 13 jaar.

\begin{aligned} g_{13\,\text{jaar}} &= \frac{10\,640}{3680} \quad\Rightarrow\quad g_{\text{jaar}} = \left(\frac{10\,640}{3680}\right)^{\frac{1}{13}} = 1{,}0850\ldots \\ b \cdot 1{,}0850\ldots^5 &= 3680 \\ b &= \frac{3680}{1{,}0850\ldots^5} = 2446{,}2\ldots \approx 2450 \end{aligned}

Dus H = 2450 · 1,085ᵗ.

i Lees op het werkblad af: bij t = 3 hoort N = 90 en bij t = 10 hoort N = 3000.

\begin{aligned} g_{7\,\text{jaar}} &= \frac{3000}{90} \quad\Rightarrow\quad g_{\text{jaar}} = \left(\frac{3000}{90}\right)^{\frac{1}{7}} = 1{,}650\ldots \\ b \cdot 1{,}650\ldots^3 &= 90 \\ b &= \frac{90}{1{,}650\ldots^3} = 20{,}0\ldots \end{aligned}

Dus b ≈ 20 en g ≈ 1,65.

j Teken elke lijn met twee punten:

t	0	10
N₁ = 2000 · 0,55ᵗ	2000	5,1

t	0	8
N₂ = 250 · 0,55ᵗ	250	2,1

De grafieken van N₁ en N₂ op logaritmisch papier: twee evenwijdige rechte lijnen.

De lijnen zijn evenwijdig, omdat de groeifactoren gelijk zijn (allebei 0,55). Bij elke stap van t wordt N bij beide formules met hetzelfde getal vermenigvuldigd, en op logaritmisch papier is dat een even grote stap omlaag.

Opdracht 32

In 2018 − 1965 = 53 jaar daalt het gemiddelde aantal kinderen per vrouw van 5,0 naar 2,4:

g_{53\,\text{jaar}} = \frac{2{,}4}{5{,}0} \quad\Rightarrow\quad g_{\text{jaar}} = \left(\frac{2{,}4}{5{,}0}\right)^{\frac{1}{53}} = 0{,}986\ldots

2035 is 17 jaar na 2018:

2{,}4 \cdot 0{,}986\ldots^{17} \approx 1{,}9

In 2035 is het gemiddelde aantal kinderen per vrouw 1,9.

Opdracht 33

Lees af: na 20 minuten is het vermogen 14 W en na 85 minuten 1 W. Dat is 65 minuten later.

g_{65\,\text{minuten}} = \frac{1}{14} \quad\Rightarrow\quad g_{\text{minuut}} = \left(\frac{1}{14}\right)^{\frac{1}{65}} = 0{,}960\ldots

Het geleverde vermogen neemt met 4% per minuut af.

Opdracht 34

Neem gelijke stappen voor L, bijvoorbeeld L = 0, 1 en 2:

L = 0: \; A = 10^{1} = 10 \qquad L = 1: \; A = 10^{0{,}97} = 9{,}33\ldots \qquad L = 2: \; A = 10^{0{,}88} = 7{,}58\ldots

\frac{9{,}33\ldots}{10} = 0{,}933\ldots \qquad \frac{7{,}58\ldots}{9{,}33\ldots} = 0{,}812\ldots

De quotiënten zijn niet (ongeveer) gelijk. Het verband tussen L en A is dus niet exponentieel.

Opdracht 35

a Van A (440 Hz) naar de volgende A (880 Hz) zijn het 12 stappen:

g_{12\,\text{tonen}} = \frac{880}{440} = 2 \quad\Rightarrow\quad g_{1\,\text{toon}} = 2^{\frac{1}{12}} = 1{,}059\ldots

De D-toon ligt 5 stappen boven de A van 440 Hz:

440 \cdot 1{,}059\ldots^5 = 587{,}32\ldots \approx 587{,}3

De frequentie van de D-toon is 587,3 Hz.

b In de figuur ligt de laagste frequentie van de klarinet tussen 100 en 200 Hz, en de hoogste tussen 1000 en 2000 Hz. Een octaaf lager wordt de frequentie gehalveerd, een octaaf hoger verdubbeld.

D-tonen: 587,3 Hz, 293,7 Hz, 146,8 Hz, ... De D tussen 100 en 200 Hz is 587,3/2² ≈ 147 Hz.
A-tonen: 880 Hz, 1760 Hz, ... De A tussen 1000 en 2000 Hz is 880 · 2 = 1760 Hz.

De laagste frequentie is 147 Hz en de hoogste frequentie is 1760 Hz.

Opdracht 36

a Van 2010 tot 2014 (4 jaar) steeg de prijs van 44 naar 64 cent:

g_{4\,\text{jaar}} = \frac{64}{44} \quad\Rightarrow\quad g_{\text{jaar}} = \left(\frac{64}{44}\right)^{\frac{1}{4}} = 1{,}0982\ldots

Het jaarlijkse groeipercentage was 9,8%.

b Lees af: in 2010 werden 4,1 miljard brieven/kaarten bezorgd en in 2016 2,2 miljard. De afname per jaar was:

\frac{4{,}1 - 2{,}2}{6} = 0{,}316\ldots \text{ miljard}

2020 is 4 jaar na 2016:

2{,}2 - 4 \cdot 0{,}316\ldots \approx 0{,}9

In 2020 zouden er 0,9 miljard brieven/kaarten bezorgd worden.

Opdracht 37

a Los op: 1,015ᵗ = 2. De optie oplossen bij 1,015ˣ = 2 geeft x = 46,555...

De verdubbelingstijd is 46,56 jaar.

b Interpoleer tussen P = 2,5 en P = 3,0. Als P met 0,5 toeneemt, neemt V af met 28,07 − 23,45 = 4,62. Per 0,1 is dat 4,62/5 = 0,924.

P = 2,9 is 4 stappen van 0,1 na P = 2,5:

V = 28{,}07 - 4 \cdot 0{,}924 = 24{,}374

Jan vindt een verdubbelingstijd van ongeveer 24,37 jaar.

c De grafiek van V is afnemend dalend. Trek je een rechte lijn tussen twee punten van de grafiek, dan ligt die lijn tussen die punten altijd boven de grafiek.

Bij een afnemend dalende grafiek ligt het lijnstuk tussen twee punten boven de grafiek.

Lineair interpoleren geeft dus altijd een hogere verdubbelingstijd dan de precieze verdubbelingstijd.

d Volgens de vuistregel is de verdubbelingstijd 69/3,0 = 23 jaar. In de tabel staat 23,45 jaar.

Het verschil is 23,45 − 23 = 0,45 jaar, dat is 0,45 · 12 = 5,4 ≈ 5 maanden.

e Uit verdubbelingstijd = 69/rendement volgt met de wisseleigenschap rendement = 69/verdubbelingstijd.

De vuistregel wordt: "Deel het getal 69 door de verdubbelingstijd in jaren. De uitkomst is het rendement (in procenten) dat nodig is om het vermogen in die tijd te verdubbelen."

Opdracht 38

a Lees in de figuur bij Vlissingen af bij W = 4: f = 500. Dat is 500 keer per 10 000 jaar, dus 5 keer per 100 jaar.

b Van W = 3 naar W = 5 (2 meter) daalt f van 600 naar 1:

g_{2\,\text{meter}} = \frac{1}{600} \quad\Rightarrow\quad g_{\text{meter}} = \left(\frac{1}{600}\right)^{\frac{1}{2}} \approx 0{,}0408

c Los op: 0,041ᵂ = 0,5 (de halveringsafstand). De optie oplossen bij 0,041ˣ = 0,5 geeft x = 0,21...

De waterhoogte moet 0,2 meter hoger worden.

d Tien keer zo groot betekent op de logaritmische schaal één macht van 10 hoger. Zoek in de figuur de waterhoogte waarbij de lijn van Vlissingen precies één macht van 10 (één grote stap op de verticale as) boven de lijn van Hoek van Holland ligt.

Bij W = 4 is de afstand groter dan één macht van 10 (500 tegen ongeveer 25), bij W = 5 kleiner (ongeveer 6 tegen 1). Lees af: de afstand is precies één macht van 10 bij een waterhoogte van ongeveer 4,6 meter.

Opdracht 39

Van t = 1,2 naar t = 1,9 (0,7 s) verdubbelt A van 5 naar 10. Van t = 1,9 naar t = 3,0 (1,1 s) verdubbelt A van 10 naar 20. Bereken de groeifactor per seconde:

\left(\frac{10}{5}\right)^{\frac{1}{0{,}7}} = 2{,}691\ldots \qquad \left(\frac{20}{10}\right)^{\frac{1}{1{,}1}} = 1{,}877\ldots

De groeifactoren per seconde zijn niet gelijk. Er kan dus geen sprake zijn van exponentiële groei.

Opdracht 40

a Lees af: in 1970 was het jaargemiddelde 325 ppm en in 1995 was dat 360 ppm. Keeling voorspelde voor 1995 (25 jaar na 1970):

325 \cdot 1{,}003^{25} = 350{,}2\ldots \text{ ppm} \qquad \frac{360 - 350{,}2\ldots}{360} \cdot 100\% \approx 3\%

De voorspelling wijkt 3% af.

b Neem t het aantal jaren na 2000:

g_{15\,\text{jaar}} = \frac{400{,}8}{369{,}5} \quad\Rightarrow\quad g_{\text{jaar}} = \left(\frac{400{,}8}{369{,}5}\right)^{\frac{1}{15}} = 1{,}0054\ldots

Los op: 369,5 · 1,0054...ᵗ > 500. Voer in y1 = 369,5 · 1,0054...ˣ. De optie tabel geeft: bij x = 55 is y1 = 497,8... en bij x = 56 is y1 = 500,5...

In 2056 is het jaargemiddelde voor het eerst hoger dan 500 ppm.

c In 15 jaar kwam er 400,8 − 369,5 = 31,3 ppm bij, dus per jaar 31,3/15 = 2,086... ppm.

Vanaf 2000 moet er nog 500 − 369,5 = 130,5 ppm bij:

\frac{130{,}5}{2{,}086\ldots} = 62{,}5\ldots \text{ jaar}

In 2063 is het jaargemiddelde voor het eerst hoger dan 500 ppm.

d De grafiek van het lineaire verband is constant dalend. De grafiek van het exponentiële verband is afnemend dalend: die daalt in het begin sterker en later minder sterk. Beide grafieken beginnen in 2015 en eindigen in 2050 bij dezelfde waarde, dus de exponentiële grafiek ligt daartussen onder de lineaire grafiek.

Bij het exponentiële verband wordt 375 ppm dus het eerst bereikt.

Opdracht 41

a Manier 1 is een lineaire afname (constant dalend), manier 2 een exponentiële afname (afnemend dalend). Beide gaan van hetzelfde beginpunt in 2011 naar hetzelfde eindpunt in 2016. De exponentiële afname daalt in het begin sterker, dus daartussen ligt de grafiek van de lineaire afname boven die van de exponentiële afname.

Bij manier 1 ontvingen de musea in 2014 het grootste bedrag aan subsidies.

b De totale inkomsten zijn S + E = 508 · 0,99ᵗ + 516 + 40t. De subsidies zijn 25% daarvan als:

508 \cdot 0{,}99^t = 0{,}25 \cdot (508 \cdot 0{,}99^t + 516 + 40t)

Voer in y1 = 508 · 0,99ˣ en y2 = 0,25 · (508 · 0,99ˣ + 516 + 40x). De optie snijpunt geeft x = 18,6...

18,6... jaar na 2016 valt in 2035. In 2035 zijn de inkomsten uit subsidies voor het eerst minder dan 25% van de totale inkomsten.

Opdracht 42

a Van 1990 tot 2011 (21 jaar) groeide de wereldbevolking van 5,3 naar 7 miljard:

g_{21\,\text{jaar}} = \frac{7}{5{,}3} \quad\Rightarrow\quad g_{\text{jaar}} = \left(\frac{7}{5{,}3}\right)^{\frac{1}{21}} \approx 1{,}013

Het jaarlijkse groeipercentage is 1,3%.

b Er komen jaarlijks 80 miljoen = 0,08 miljard mensen bij. Vanaf 2011 moeten er nog 9 − 7 = 2 miljard bij:

\frac{2}{0{,}08} = 25 \text{ jaar}

Volgens het eerste scenario is de wereldbevolking in 2036 tot 9 miljard toegenomen.

c Lees af: in 2050 is het groeipercentage 0,4%, dus de groeifactor per jaar is 1,004. 2100 is 50 jaar na 2050:

8{,}9 \cdot 1{,}004^{50} = 10{,}8\ldots \text{ miljard}

Dat is minder dan 12 miljard. Een wereldbevolking van 12 miljard wordt daarmee niet gehaald.

Opdracht 43

a Een stijging van 1050% geeft groeifactor 1 + 10,50 = 11,5:

\frac{325}{11{,}5} = 28{,}2\ldots

In 2013 was het totale mobiele dataverbruik 28 miljoen GB.

b Van 2013 tot 2017 (4 jaar) groeide het verbruik van 1,6 naar 12,0 GB:

g_{4\,\text{jaar}} = \frac{12{,}0}{1{,}6} \quad\Rightarrow\quad g_{\text{jaar}} = \left(\frac{12{,}0}{1{,}6}\right)^{\frac{1}{4}} = 1{,}65\ldots

Het jaarlijkse groeipercentage is 65%.

Opdracht 44

a Van 1960 tot 1985 (25 jaar) steeg het aantal van 13 naar 81:

g_{25\,\text{jaar}} = \frac{81}{13} \quad\Rightarrow\quad g_{\text{jaar}} = \left(\frac{81}{13}\right)^{\frac{1}{25}} \approx 1{,}076

Het jaarlijkse groeipercentage is 7,6%.

b In de figuur is te zien dat het totaal aantal misdrijven per 1000 inwoners in 2002 hoger was dan in 1985. Het aantal vermogensmisdrijven per 1000 inwoners was in die jaren vrijwel gelijk. Het deel vermogensmisdrijven is dan een even groot aantal van een groter totaal. Het percentage was in 2002 dus lager dan in 1985.

Opdracht 45

a Stel eerst een formule op voor de appelteeltoppervlakte. Bij 2003 hoort t = 3 en bij 2015 hoort t = 15:

\begin{aligned} T_a &= at + b \quad\text{met}\quad a = \frac{7600 - 10\,296}{15 - 3} = -224\tfrac{2}{3} \\ -224\tfrac{2}{3} \cdot 3 + b &= 10\,296 \\ -674 + b &= 10\,296 \\ b &= 10\,970 \end{aligned}

Dit is de formule voor de appelteeltoppervlakte, met t het aantal gehele jaren na 2000.

Voer in y1 = 6000 + 200x en y2 = −224⅔x + 10 970. De optie tabel geeft: - bij x = 11 is y1 = 8200 en y2 = 8498,6...; - bij x = 12 is y1 = 8400 en y2 = 8274.

In 2012 was de perenteeltoppervlakte voor het eerst groter dan de appelteeltoppervlakte.

b Een afname van 19,4% per vijf jaar geeft groeifactor 0,806 per vijf jaar:

g_{5\,\text{jaar}} = 0{,}806 \quad\Rightarrow\quad g_{\text{jaar}} = 0{,}806^{\frac{1}{5}} \approx 0{,}958

De appelteeltoppervlakte neemt dan met 4,2% per jaar af.

12.3 Exponentiële verbanden nagekeken?

14 opdrachten

Zo pak je het aan

Zo pak je het aan

Haakjes wegwerken. a(b + c) = ab + ac en (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Breuken. Een getal voor een breuk mag je met de teller combineren: (2p + 5)/1,5 · 18 = 18/1,5 · (2p + 5) = 12(2p + 5).
Rekenregels voor machten en wortels. Zie het blok hieronder.
Vrijmaken. Werk stap voor stap met de balansmethode. Bij een breuk aan beide kanten vermenigvuldig je kruislings. Bij een wortel maak je eerst de wortel vrij en kwadrateer je daarna beide leden.
Redeneren. Werk van binnen naar buiten: "als ... toeneemt, dan neemt ... toe, dus neemt ... af". Kijk bij een breuk naar teller en noemer apart. Gebruik geen getallenvoorbeelden.

a^p \cdot a^q = a^{p+q} \qquad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \qquad (a^p)^q = a^{pq} \qquad (ab)^p = a^p b^p \qquad \frac{1}{a^p} = a^{-p}

(\sqrt{A})^2 = A \qquad \sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B} \qquad \sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}

Opdracht 46

a Werk de haakjes weg en tel de termen samen:

\begin{aligned} M &= K - L = 2p\left(\frac{p}{16} + 0{,}6\right) - (1{,}8 - 0{,}14p^2) \\ &= \frac{2p^2}{16} + 1{,}2p - 1{,}8 + 0{,}14p^2 \\ &= 0{,}125p^2 + 1{,}2p - 1{,}8 + 0{,}14p^2 \\ &= 0{,}265p^2 + 1{,}2p - 1{,}8 \end{aligned}

b Substitueer H = 0,04q²:

F = \frac{12{,}6G}{0{,}04q^2} = \frac{12{,}6}{0{,}04} \cdot G \cdot q^{-2} = 315 \cdot G \cdot q^{-2}

Dus a = 315 en b = −2.

c Substitueer N = 75n en gebruik (ab)ᵖ = aᵖbᵖ:

M = 2{,}5 \cdot (75n)^{0{,}6} \cdot p^{0{,}8} = 2{,}5 \cdot 75^{0{,}6} \cdot n^{0{,}6} \cdot p^{0{,}8} \approx 33{,}3 \cdot n^{0{,}6} \cdot p^{0{,}8}

Dus a ≈ 33,3 en b = 0,6.

\begin{aligned} Z\left(2 - \frac{R}{50}\right) &= 3 \\ 2 - \frac{R}{50} &= \frac{3}{Z} \\ -\frac{R}{50} &= -2 + \frac{3}{Z} \\ R &= -50\left(-2 + \frac{3}{Z}\right) \\ R &= 100 - \frac{150}{Z} \end{aligned}

e Schrijf 1000 en 100 als machten van 10:

K = 1000 \cdot \left(\frac{1}{100}\right)^q = 10^3 \cdot \left(\frac{1}{10^2}\right)^q = 10^3 \cdot (10^{-2})^q = 10^3 \cdot 10^{-2q} = 10^{3 - 2q}

f R = 30 en Q = 15 geeft:

BL = \frac{(180 - 30) \cdot 15}{0{,}75K^2} = \frac{150 \cdot 15}{0{,}75} \cdot K^{-2} = 3000 \cdot K^{-2}

Dus a = 3000 en b = −2.

g Als A toeneemt, dan neemt de teller 3A toe. Als B afneemt (met B > 0), dan neemt B² af, dus neemt de noemer B² + 2 af.

De teller neemt toe en de noemer neemt af, dus de breuk D = 3A/(B² + 2) neemt toe.

h Als A toeneemt, dan neemt 300 − A af. Omdat A tussen 100 en 200 ligt, blijft 300 − A positief. De teller wordt dus kleiner.

E neemt toe, dus de breuk (300 − A)/(12B) neemt toe. Met een kleinere teller kan dat alleen als de noemer 12B afneemt. Dus B neemt af.

Opdracht 47

Redeneer van de natte temperatuur naar L:

T_{\text{nat}} \downarrow \;\Rightarrow\; 27 - T_{\text{nat}} \uparrow \;\Rightarrow\; \frac{330}{45} \cdot (27 - T_{\text{nat}}) \uparrow \;\Rightarrow\; 100 - \frac{330}{45} \cdot (27 - T_{\text{nat}}) \downarrow

Als de natte temperatuur kleiner wordt, dan wordt 27 min de natte temperatuur groter. Dan wordt 330/45 maal dat verschil ook groter, en dan wordt 100 min die uitkomst kleiner. Dus hoe lager de natte temperatuur, hoe lager de luchtvochtigheid L.

Opdracht 48

a Als F toeneemt, dan neemt 1/F af. Dan neemt 1 − 1/F toe, en dan neemt ook 100 · (1 − 1/F) toe. Als F toeneemt, neemt P dus toe: er wordt een groter percentage uv A-straling geblokkeerd. De bescherming neemt toe.

b Los op: 100 · (1 − 1/F) = 98. De optie oplossen bij 100 · (1 − 1/x) = 98 geeft x = 50.

P neemt toe als F toeneemt, dus de crème houdt minimaal 98% tegen vanaf factor 50.

\begin{aligned} 100 \cdot \left(1 - \frac{1}{F}\right) &= P \\ 100 - \frac{100}{F} &= P \\ 100 - P &= \frac{100}{F} \\ F &= \frac{100}{100 - P} \end{aligned}

F = 30 \;\Rightarrow\; P = 100 - \frac{100}{30} = 96{,}66\ldots \qquad F = 15 \;\Rightarrow\; P = 100 - \frac{100}{15} = 93{,}33\ldots

96,66.../93,33... = 1,035..., dus nee: het percentage bij factor 30 is niet twee keer zo groot als bij factor 15.

Opdracht 49

Substitueer A = 1,75 + 0,05l in de formule voor U:

U = 60 + 10 \cdot (1{,}75 + 0{,}05l) = 60 + 17{,}5 + 0{,}5l = 0{,}5l + 77{,}5

Dus U = 0,5 · l + 77,5.

Opdracht 50

a Als M groter wordt, dan wordt −M kleiner, dus wordt 10⁻ᴹ kleiner. S wordt dus kleiner.

Als S kleiner wordt, dan moet 10 tot de macht (E − 85)/50 ook kleiner worden, dus wordt de exponent (E − 85)/50 kleiner. Dan wordt E − 85 kleiner, en dus wordt E kleiner.

\begin{aligned} \frac{-M}{1} &= \frac{E - 85}{50} \\ E - 85 &= -50M \\ E &= -50M + 85 \end{aligned}

Opdracht 51

Als L groter wordt, dan wordt L² groter en ook 0,03L². Dan wordt 1 − 0,03L² kleiner, en dus wordt 10 tot de macht 1 − 0,03L² kleiner.

Als het leeftijdsverschil L groter wordt, wordt de aantrekkingskracht A dus kleiner. De formule is daarmee in overeenstemming.

Opdracht 52

a De Vampire bedient 80 bezoekers per 4 minuten (240 seconden), dus S = 240/80 = 3. Verder is r = 0,98:

W = \frac{0{,}98 \cdot 3}{2(1 - 0{,}98)} = 73{,}5

De gemiddelde wachttijd is 73,5 minuten.

b S = 6, r = 0,95 en a = 0,10 geeft:

W_p = \frac{0{,}95 \cdot 6}{2(1 - 0{,}10 \cdot 0{,}95)} = 3{,}149\ldots \qquad W_z = \frac{0{,}95 \cdot 6}{2(1 - 0{,}95)(1 - 0{,}10 \cdot 0{,}95)} = 62{,}983\ldots

Het verschil is 62,983... − 3,149... ≈ 60 minuten.

c Er moet gelden: de wachttijd zonder voorsteekpas is 80 minuten.

\frac{0{,}95 \cdot 6}{2(1 - 0{,}95)(1 - a \cdot 0{,}95)} = 80

Voer in y1 = 0,95 · 6/(2(1 − 0,95)(1 − 0,95x)) en y2 = 80. De optie snijpunt geeft x = 0,3026...

De wachttijd wordt groter als a groter wordt, dus rond af naar beneden: maximaal 30,2% van de bezoekers mag een voorsteekpas hebben.

W_z = \frac{0{,}95 \cdot 6}{2(1 - 0{,}95)(1 - a \cdot 0{,}95)} = \frac{5{,}7}{0{,}10(1 - 0{,}95a)} = \frac{5{,}7}{0{,}10 - 0{,}095a}

Op de puntjes staat 0,095.

Opdracht 53

a S = a · V met a constant: S is recht evenredig met V. P = g · S/1000 met g constant: P is recht evenredig met S.

Als V twee keer zo groot wordt, wordt S dus ook twee keer zo groot, en dan wordt P ook twee keer zo groot. De portieprijs wordt dus wel twee keer zo groot.

b a = 2,6 en g = 150 geeft:

\begin{aligned} \frac{1000 \cdot G}{2{,}6 \cdot 150} &= A \\ 1000 \cdot G &= 2{,}6 \cdot 150 \cdot A = 390A \\ G &= 0{,}39 \cdot A \end{aligned}

Op de puntjes staat 0,39.

Opdracht 54

a w = 21 en S = 33,5 in formule 1 geeft:

33{,}5 = \frac{21}{b} \;\Rightarrow\; b = \frac{21}{33{,}5} = 0{,}62\ldots \qquad A = 21 \cdot 0{,}62\ldots \approx 13

De vleugeloppervlakte is 13 m².

b S = 5,6 in formule 1 geeft b = w/5,6. A = 15,1 in formule 3 geeft b = 15,1/w. Er moet dus gelden:

\frac{w}{5{,}6} = \frac{15{,}1}{w}

Voer in y1 = x/5,6 en y2 = 15,1/x. De optie snijpunt geeft x = 9,195...

De spanwijdte is 9,2 meter.

Opdracht 55

a L = 60, b = 0,1 en P = 20 geeft:

\begin{aligned} T &= \frac{0{,}5 \cdot 0{,}1 \cdot 60^2}{n + 1} + n \cdot 20 = \frac{180}{n + 1} + 20n \\ &= \frac{180}{n + 1} + \frac{20n(n + 1)}{n + 1} = \frac{180 + 20n^2 + 20n}{n + 1} = \frac{20n^2 + 20n + 180}{n + 1} \end{aligned}

b Voer in y1 = (20x² + 20x + 180)/(x + 1). De optie minimum geeft x = 2.

Het optimale aantal is 2 pitstops.

c Er moet gelden N = 3:

-1 + 45\sqrt{\frac{3}{20P}} = 3

Voer in y1 = −1 + 45√(3/(20x)) en y2 = 3. De optie snijpunt geeft x = 18,98...

Het gemiddelde tijdverlies per pitstop moet 24,8 − 18,98... ≈ 5,8 seconden korter zijn.

d Als P kleiner wordt, dan wordt 20P kleiner, dus wordt 3/(20P) groter. Dan wordt de wortel daarvan groter, en ook 45 keer die wortel. Dan wordt −1 + 45√(3/(20P)) groter.

Als het gemiddelde tijdverlies per pitstop afneemt, neemt N dus toe.

Opdracht 56

W = 40 geeft, met √(A/B) = √A/√B:

v = 3{,}13 \cdot \sqrt{\frac{m}{40}} = 3{,}13 \cdot \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{40}} = \frac{3{,}13}{\sqrt{40}} \cdot \sqrt{m} \approx 0{,}49 \cdot \sqrt{m}

Dus v = 0,49 · √m.

Opdracht 57

a De hartslag in rust R is voor beide mannen gelijk. Als M groter wordt, dan wordt M/R groter, en dus ook Z = 15 · M/R. Als Z groter wordt, dan wordt v = Z/3,74 groter.

De man met de hogere maximale hartslag kan dus met een hogere gemiddelde snelheid lopen, en loopt de marathon dus in een snellere tijd.

b M = 190 en R = 60 geeft:

Z = 15 \cdot \frac{190}{60} = 47{,}5 \qquad v = \frac{47{,}5}{3{,}74} = 12{,}70\ldots \text{ km/uur}

\frac{42{,}195}{12{,}70\ldots} = 3{,}32\ldots \text{ uur} = 3{,}32\ldots \cdot 60 \approx 199 \text{ minuten}

Jan loopt de marathon in 199 minuten (3 uur en 19 minuten).

c Substitueer M = 205,8 − 0,685 · L:

v = \frac{15(205{,}8 - 0{,}685 \cdot L)}{3{,}74R} = \frac{3087 - 10{,}275 \cdot L}{3{,}74R} = \frac{825{,}4\ldots - 2{,}74\ldots \cdot L}{R}

Dus a ≈ 825,4 en b ≈ 2,7.

Opdracht 58

a Voor p < 50 is Print Soms goedkoper (3 tegen 5 euro). Tussen 50 en 100 pagina's kost Print Regelmatig 5 euro, dus er moet gelden: 0,1p − 2 > 5.

Voer in y1 = 0,1x − 2 en y2 = 5. De optie snijpunt geeft x = 70.

Bij 70 pagina's zijn de kosten gelijk. Vanaf 71 pagina's zijn de afdrukkosten bij Print Regelmatig lager dan bij Print Soms. (Voor p ≥ 100 neemt het verschil verder toe: Print Soms stijgt met 0,1 euro per pagina, Print Regelmatig met 1/15 euro.)

b a en b zijn positief. Als p toeneemt, dan neemt b/p af, dus neemt a − b/p toe.

De afdrukkosten per pagina nemen toe als het aantal pagina's toeneemt.

c Substitueer de formule van Print Regelmatig voor p ≥ 100 en splits de breuk:

G_R = \frac{K_R}{p} = \frac{\frac{1}{15}p - 1\frac{2}{3}}{p} = \frac{1}{15} - \frac{1\frac{2}{3}}{p}

Dus a = 1/15 ≈ 0,07 en b = 1⅔ ≈ 1,67.

Opdracht 59

\begin{aligned} \frac{27\,000}{q} \cdot B &= 60q \\ \frac{27\,000B}{q} &= \frac{60q}{1} \\ 27\,000B &= 60q^2 \\ 450B &= q^2 \\ q &= \sqrt{450B} = \sqrt{450} \cdot \sqrt{B} \approx 21 \cdot \sqrt{B} \end{aligned}

Dus q = 21 · √B.

12.4 Herleiden en redeneren nagekeken?

11 opdrachten

Zo pak je het aan

Zo pak je het aan

Gebruik bij deze paragraaf het examenformuleblad (boek blz. 254–255), net als op het centraal examen.

Soorten variabelen. Kwalitatief (geen hoeveelheid): nominaal (geen ordening) of ordinaal (wel ordening). Kwantitatief (een hoeveelheid): discreet of continu.
Centrum- en spreidingsmaten. Gemiddelde, mediaan en modus; spreidingsbreedte, interkwartielafstand Q₃ − Q₁ en standaardafwijking σ. Bij een links-scheve verdeling is het gemiddelde kleiner dan de mediaan.
Verschil tussen twee groepen (examenformuleblad). Kies de methode bij de gegevens:
twee gemiddelden en standaardafwijkingen: de effectgrootte E (|E| ≤ 0,4 gering, 0,4 < |E| ≤ 0,8 middelmatig, |E| > 0,8 groot);
Q₁, mediaan en Q₃ van beide groepen: boxplots vergelijken;
een 2×2-kruistabel: phi (|phi| ≤ 0,2 gering, 0,2 < |phi| ≤ 0,4 middelmatig, |phi| > 0,4 groot);
cumulatieve percentages bij een klassenindeling of een ordinale variabele: max Vcp (≤ 20 gering, 20 < max Vcp ≤ 40 middelmatig, > 40 groot).
Normale verdeling. Vuistregels: 68% tussen μ − σ en μ + σ, 95% tussen μ − 2σ en μ + 2σ, en dus 2,5% onder μ − 2σ.
Betrouwbaarheidsintervallen (examenformuleblad). Voor een proportie p̂ ± 2√(p̂(1 − p̂)/n) en voor een gemiddelde X̄ ± 2 · S/√n.

Opdracht 60

a Lees de frequenties af: 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20, 25, 15, 3 en 1 bij 0 t/m 10 punten (samen 100).

Modus: de hoogste staaf, 7 punten.
Mediaan: tot en met 5 punten zijn het 1 + 2 + 3 + 5 + 10 + 15 = 36 leerlingen, tot en met 6 punten 36 + 20 = 56. De 50e en 51e leerling hebben 6 punten, dus de mediaan is 6 punten.
Gemiddelde: de verdeling is links-scheef (een lange staart naar links), dus het gemiddelde is kleiner dan de mediaan. (Met de afgelezen frequenties: 590/100 = 5,9.)

De volgorde is gemiddelde, mediaan, modus.

b Tot en met 4 punten zijn het 21 leerlingen, tot en met 5 punten 36. De 25e leerling heeft dus 5 punten: Q₁ = 5. De mediaan is 6.

Alleen boxplot C heeft Q₁ = 5 en mediaan 6.

c Er zijn niet alle gebruikers van het openbaar vervoer in Amsterdam ondervraagd, maar alleen volwassenen die met het openbaar vervoer naar het Rijksmuseum kwamen. De steekproef is dus niet representatief voor alle gebruikers.

woont in Amsterdam	voelt zich veilig: ja	voelt zich veilig: nee	totaal
ja	130	30	160
nee	810	80	890
totaal	940	110	1050

Het gaat om frequenties bij twee variabelen met twee categorieën, dus gebruik phi:

\text{phi} = \frac{130 \cdot 80 - 30 \cdot 810}{\sqrt{160 \cdot 940 \cdot 110 \cdot 890}} \approx -0{,}115

Omdat −0,2 ≤ phi ≤ 0,2 is het verschil gering.

e 'Woont in Amsterdam' en 'voelt zich veilig' zijn allebei kwalitatief: de waarden (ja of nee) zijn geen hoeveelheden.

Opdracht 61

a Bij een normale verdeling is de verdeling symmetrisch en is het gemiddelde gelijk aan de mediaan.

Groep A: gemiddelde 512 = mediaan (50e percentiel) 512, en de percentielen liggen symmetrisch rond 512 (bijvoorbeeld 491 en 533 liggen allebei 21 van 512 af).
Groep B: gemiddelde 521, maar mediaan 520. De percentielen liggen ook niet symmetrisch (508 ligt 12 onder 520, 529 maar 9 erboven).

De scores van groep B zijn niet normaal verdeeld.

b Manier 1, effectgrootte (gemiddelden en standaardafwijkingen):

E = \frac{521 - 512}{\frac{1}{2}(7{,}5 + 13{,}0)} \approx 0{,}878

Omdat E > 0,8 is het verschil groot.

Manier 2, boxplots vergelijken (uit de tabel: 25e, 50e en 75e percentiel): - A: Q₁ = 503, mediaan = 512, Q₃ = 521; - B: Q₁ = 515, mediaan = 520, Q₃ = 523.

De boxen overlappen (515 tot 521 hoort bij allebei). De mediaan van A (512) ligt buiten de box van B, want 512 < 515. Volgens het examenformuleblad is het verschil dan middelmatig.

De twee manieren geven dus een verschillende conclusie (groot en middelmatig). Dat kan: elke methode kijkt naar andere gegevens.

c Volgens de vuistregels heeft 2,5% een score van μ − 2σ = 521 − 2 · 7,5 = 506 of lager. Dat zijn 0,025 · 1030 ≈ 26 leerlingen.

In de tabel hebben 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 6 = 26 leerlingen een score van 506 of lager. Dat komt overeen.

d De middelste 95% ligt tussen μ − 2σ en μ + 2σ, dus 4σ = 536 − 502 = 34 en σ = 8,5.

e p̂ = 268/1117 en n = 1117:

\hat{p} \pm 2\sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} = \frac{268}{1117} \pm 2\sqrt{\frac{\frac{268}{1117} \cdot \left(1 - \frac{268}{1117}\right)}{1117}} \approx 0{,}240 \pm 0{,}026

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval is 24,0% ± 2,6%, oftewel [21,4%; 26,5%].

\bar{X} \pm 2 \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} = 170 \pm 2 \cdot \frac{40}{\sqrt{1117}} \approx 170 \pm 2{,}4

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval is 170 ± 2,4 minuten, oftewel [167,6; 172,4] minuten.

Opdracht 62

a - Uitspraak I. Teken de verticale lijn bij 45,0 seconden op de 500 meter. Rechts van die lijn liggen 4 punten, dus 4 van de 86 schaatssters deden er langer over. Dat is 4/86 ≈ 4,7%, minder dan 10%. Meer dan 90% reed dus sneller dan 45,0 seconden. Uitspraak I is juist. - Uitspraak II. Teken de horizontale lijn bij 81,5 seconden op de 1000 meter. Boven die lijn liggen (veel) meer dan de helft van de punten, dus de mediaan is groter dan 81,5 seconden. Uitspraak II is onjuist. - Uitspraak III. De drie schaatssters met de kortste tijd op de 1000 meter (de drie laagste punten) zijn niet de drie meest linkse punten: een van de schaatssters met ongeveer 39,2 seconden op de 500 meter heeft een tijd van ruim 77 seconden op de 1000 meter. Uitspraak III is onjuist.

b Volgens het examenformuleblad is het verschil groot als de boxen elkaar niet overlappen, zoals bij 1500 m en 10 000 m. Dat geldt ook voor de tweetallen: - 1500 m en 5000 m (de box van 1500 m eindigt bij ongeveer 43,5, die van 5000 m begint bij 44); - 3000 m en 10 000 m; - 5000 m en 10 000 m (de boxen raken elkaar hooguit bij 48).

c 500 meter. In het spreidingsdiagram is de snelste tijd op de 500 meter 37,5 seconden. Dat is minder dan 39,23 seconden, dus de recordtijd van Sáblíková is op de 500 meter niet de beste.

1500 meter. Omgerekend naar 500 meter:

\frac{60 + 53{,}44}{1500} \cdot 500 = 37{,}8\ldots \text{ seconden}

In de boxplot van 1500 m is de snelste omgerekende tijd ongeveer 37,3 seconden. Dat is minder dan 37,8..., dus ook op de 1500 meter is haar recordtijd niet de beste.

d De omgerekende tijden van Farestveit zijn:

5000 \text{ m: } \frac{8 \cdot 60 + 6{,}64}{5000} \cdot 500 = 48{,}6\ldots \qquad 10\,000 \text{ m: } \frac{16 \cdot 60 + 54{,}71}{10\,000} \cdot 500 = 50{,}7\ldots

In de boxplots lees je af: 48,6... ligt op de 5000 meter rechts van de box (Q₃ ≈ 48), dus daar hoort ze bij de langzaamste 25%. 50,7... ligt op de 10 000 meter in de box, dus daar hoort ze bij de middelste 50%. Vergeleken met de andere schaatssters presteert ze dus beter op de 10 000 meter.

Opdracht 63

a p̂ = 1530/3260 en n = 3260:

\hat{p} \pm 2\sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} = \frac{1530}{3260} \pm 2\sqrt{\frac{\frac{1530}{3260} \cdot \left(1 - \frac{1530}{3260}\right)}{3260}} \approx 0{,}47 \pm 0{,}02

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval is 0,47 ± 0,02, oftewel [0,45; 0,49].

b Twee van de volgende drie manieren: - Effectgrootte: je hebt van beide groepen naast het gemiddelde ook de standaardafwijking nodig. - Boxplots vergelijken: je hebt van beide groepen Q₁, de mediaan en Q₃ nodig. - Max Vcp: je hebt van beide groepen een (relatieve) (cumulatieve) frequentietabel of frequentiepolygoon nodig.

c Bij A en C is de verdeling symmetrisch, en dan is het gemiddelde ongeveer gelijk aan de mediaan. Hier is het gemiddelde (112 euro) veel groter dan de mediaan (65 euro). Dat past bij een rechts-scheve verdeling met een lange staart naar rechts. Het is dus verdeling B.

d Bijvoorbeeld: van 17- en 18-jarigen zitten er (bijna) geen in havo/vwo klas 3 of vmbo klas 3 en 4. Dan kun je de inkomens van alle onderwijsniveaus niet (goed) met elkaar vergelijken.

e Relatieve frequenties bij een ordinale variabele met meer dan twee categorieën, dus gebruik max Vcp. Maak de cumulatieve percentages:

	jongens (cum.)	meisjes (cum.)	Vcp
nooit / zelden	16%	8%	8
meestal niet	81%	69%	12
meestal wel	100%	98%	2
vaak / altijd	100%	100%	0

De max Vcp = 12. Omdat max Vcp ≤ 20 is het verschil gering.

Alternatief: voeg de bovenste twee en de onderste twee rijen samen. Bij jongens hebben 0,81 · 600 = 486 geen spijt en 114 wel spijt, bij meisjes 0,69 · 600 = 414 geen spijt en 186 wel spijt.

\text{phi} = \frac{486 \cdot 186 - 414 \cdot 114}{\sqrt{900 \cdot 300 \cdot 600 \cdot 600}} \approx 0{,}139

Omdat −0,2 ≤ phi ≤ 0,2 is het verschil gering.

Opdracht 64

a De breedte van het interval is 7,35 − 7,13 = 0,22, en dat is 2 · 2 · S/√n = 4 · S/√674. Los op:

4 \cdot \frac{S}{\sqrt{674}} = 0{,}22 \quad\Rightarrow\quad S = \frac{0{,}22 \cdot \sqrt{674}}{4} = 1{,}4278\ldots

De standaardafwijking is 1,428.

b - Leerlingenraad: de schoolscores van Het Gelder zijn op alle onderwerpen in 2018 lager dan in 2017. - Schoolleiding: de ranking van Het Gelder is op alle onderwerpen in 2018 beter (een lager plaatsnummer) dan in 2017.

c Bij een normale verdeling is het gemiddelde gelijk aan de mediaan. De mediaan van 265 scholen hoort bij ranking 133. Een school met een score lager dan het gemiddelde zou dan een ranking hoger dan 133 moeten hebben.

Het Gelder heeft op 'activiteiten' een score van 7,68. Dat is lager dan het gemiddelde van 7,75, maar de ranking is 105, dus hoger op de lijst dan de mediaan. De scores kunnen dus niet normaal verdeeld zijn.

d Frequenties bij een variabele met twee categorieën, dus gebruik phi:

\text{phi} = \frac{569 \cdot 81 - 105 \cdot 369}{\sqrt{674 \cdot 938 \cdot 186 \cdot 450}} \approx 0{,}032

Omdat −0,2 ≤ phi ≤ 0,2 is het verschil gering.

e Relatieve frequenties bij een ordinale variabele met meer dan twee categorieën, dus gebruik max Vcp:

	leerlingen (cum.)	ouders (cum.)	Vcp
zeer oneens	1%	2%	1
oneens	2%	5%	3
zowel eens als oneens	9%	17%	8
eens	58%	62%	4
zeer eens	100%	100%	0

Kiezen ouders 'zowel eens als oneens' in plaats van 'eens', dan stijgt bij de ouders alleen het cumulatieve percentage bij 'zowel eens als oneens'. Voor een middelmatig verschil moet max Vcp groter zijn dan 20, dus moet de Vcp daar met meer dan 12 toenemen.

Dat zijn meer dan 0,12 · 500 = 60 ouders. Minimaal 61 ouders hadden anders moeten kiezen.

Opdracht 65

a De steekproef is waarschijnlijk niet representatief, omdat hij niet aselect is: er is alleen op een dinsdagochtend tussen 7 en 9 uur gemeten. Automobilisten die op andere dagen of tijden over deze weg rijden, hadden geen kans om in de steekproef te komen. Een verbetering is om op verschillende dagen van de week en op verschillende tijden te meten.

b De modale klasse op de Noordsingel is 41–45 km/uur (22 auto's). De snelheidslimiet van 30 km/uur ligt niet in de modale klasse.

c Te hard rijden betekent meer dan 30 km/uur. Dat zijn alle auto's behalve de 2 + 7 = 9 in de klassen 21–25 en 26–30:

\hat{p} = \frac{100 - 2 - 7}{100} = 0{,}91 \qquad \hat{p} \pm 2\sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} = 0{,}91 \pm 2\sqrt{\frac{0{,}91 \cdot 0{,}09}{100}} \approx 0{,}91 \pm 0{,}06

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval is 91% ± 6%, oftewel [85%; 97%].

d - Boxplot: niet geschikt. Op de Monsterweg houdt 111/169 ≈ 66% zich aan de limiet. Een boxplot laat alleen 0%, 25%, 50%, 75% en 100% zien, dus 66% lees je er niet uit af. - Spreidingsdiagram: niet geschikt. Daarmee laat je een verband tussen twee variabelen zien, en hier is er maar één variabele (de snelheid). - Cumulatieve relatieve frequentiepolygoon: geschikt. Daarin lees je bij 50 km/uur direct af welk percentage niet harder reed.

e Frequenties bij een variabele met twee categorieën, dus gebruik phi:

	hield zich aan de limiet	hield zich niet aan de limiet	totaal
zonder matrixborden	111	58	169
met matrixborden	183	30	213
totaal	294	88	382

\text{phi} = \frac{111 \cdot 30 - 183 \cdot 58}{\sqrt{169 \cdot 294 \cdot 88 \cdot 213}} \approx -0{,}239

Omdat −0,4 ≤ phi < −0,2 is het verschil middelmatig.

Opdracht 66

variabele	soort
regio	kwalitatief, nominaal (de regio's hebben geen logische ordening)
mate van urgentie	kwalitatief, ordinaal (hoog, laag, geen: er is een logische ordening)
aantal ambulanceritten per jaar per regio	kwantitatief, discreet (een aantal, alleen gehele getallen)
responstijd	kwantitatief, continu (een tijd, alle tussenliggende waarden zijn mogelijk)

b De A1-ritten hebben over het algemeen een kortere responstijd, dus bij de A1-ritten hoort de linker polygoon: die bereikt eerder hoge cumulatieve percentages.

Lees bij de linker polygoon af: bij 25% hoort Q₁ = 7 minuten en bij 75% hoort Q₃ = 11,5 minuten.

De interkwartielafstand is 11,5 − 7 = 4,5 minuten.

Opdracht 67

a - Geslacht: geen ordinale variabele, want meisje en jongen hebben geen logische ordening. - Schoolniveau: wel ordinaal, want vmbo, havo en vwo hebben een logische ordening. - Gezinswelvaart: wel ordinaal, want laag, midden en hoog hebben een logische ordening.

b Meisjes: p̂ = 0,764 en n = 2736. Jongens: p̂ = 0,842 en n = 2835.

\begin{aligned} \text{meisjes: } & 0{,}764 + 2\sqrt{\frac{0{,}764 \cdot 0{,}236}{2736}} = 0{,}780\ldots \quad \text{(bovengrens)} \\ \text{jongens: } & 0{,}842 - 2\sqrt{\frac{0{,}842 \cdot 0{,}158}{2835}} = 0{,}828\ldots \quad \text{(ondergrens)} \end{aligned}

De bovengrens bij de meisjes is kleiner dan de ondergrens bij de jongens. De intervallen overlappen elkaar niet.

c Frequenties bij een variabele met twee categorieën, dus gebruik phi:

	havo	vwo	totaal
wel lid	1188	981	2169
niet lid	424	233	657
totaal	1612	1214	2826

\text{phi} = \frac{1188 \cdot 233 - 981 \cdot 424}{\sqrt{2169 \cdot 657 \cdot 1612 \cdot 1214}} \approx -0{,}083

Omdat −0,2 ≤ phi ≤ 0,2 is het verschil gering.

d Met S₁ = S₂ = S:

E = \frac{4{,}6 - 3{,}8}{\frac{1}{2}(S + S)} = \frac{0{,}8}{S}

Middelmatig betekent 0,4 < E ≤ 0,8.

\frac{0{,}8}{S} = 0{,}8 \;\Rightarrow\; S = 1 \qquad \frac{0{,}8}{S} = 0{,}4 \;\Rightarrow\; S = 2

E neemt af als S toeneemt, dus het verschil is middelmatig voor 1 ≤ S < 2.

Opdracht 68

a Leerkrachten verdienden 14% minder, dus hun uurloon is 86% van dat van de andere werknemers:

0{,}86 \cdot \text{uurloon} = 26 \quad\Rightarrow\quad \text{uurloon} = \frac{26}{0{,}86} = 30{,}2\ldots \approx 30

Het gemiddelde bruto-uurloon was 30 euro.

b De variabelen zijn kwalitatief, omdat de waarden (nooit, soms, vaak, altijd) geen getallen zijn. Ze zijn ordinaal, omdat de waarden een logische volgorde hebben.

c De breedte van het interval is 0,62 − 0,58 = 0,04 en p̂ = 0,6. De breedte is 2 · 2 · √(p̂(1 − p̂)/n), dus los op:

\begin{aligned} 4 \cdot \sqrt{\frac{0{,}6 \cdot 0{,}4}{n}} &= 0{,}04 \\ \sqrt{\frac{0{,}24}{n}} &= 0{,}01 \\ \frac{0{,}24}{n} &= 0{,}0001 \\ n &= 2400 \end{aligned}

In de steekproef van 2017 zaten 2400 mannen.

d Lees af welk percentage voltijds werkt:

	voltijd 2003	voltijd 2017
mannen	75%	60%
vrouwen	30%	25%

Het totale percentage hangt af van de verhouding mannen en vrouwen in de steekproef. Bijvoorbeeld: - de steekproef van 2003 bestaat uit 10 mannen en 90 vrouwen: 0,1 · 75 + 0,9 · 30 = 34,5% werkt voltijds; - de steekproef van 2017 bestaat uit 90 mannen en 10 vrouwen: 0,9 · 60 + 0,1 · 25 = 56,5% werkt voltijds.

Dan werkt in 2017 juist een hoger percentage voltijds dan in 2003.

e Steekproefgemiddelden en steekproefstandaardafwijkingen, dus gebruik de effectgrootte:

E = \frac{31{,}2 - 27{,}2}{\frac{1}{2}(8{,}3 + 7{,}6)} \approx 0{,}503

Omdat 0,4 < E ≤ 0,8 is het verschil middelmatig. De conclusie is juist.

Opdracht 69

a p̂ = 194/452 en n = 452:

\hat{p} \pm 2\sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} = \frac{194}{452} \pm 2\sqrt{\frac{\frac{194}{452} \cdot \left(1 - \frac{194}{452}\right)}{452}} \approx 0{,}43 \pm 0{,}05

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval is 43% ± 5%, oftewel [38%; 48%].

b Basisschool: de helft van 302 = 151 gaat niet naar het toilet. Middelbare school: 0,6 · 150 = 90 gaat niet naar het toilet. Frequenties bij een variabele met twee categorieën, dus gebruik phi:

	basisschool	middelbare school	totaal
niet naar toilet	151	90	241
wel naar toilet	151	60	211
totaal	302	150	452

\text{phi} = \frac{151 \cdot 60 - 90 \cdot 151}{\sqrt{241 \cdot 302 \cdot 150 \cdot 211}} \approx -0{,}094

Omdat −0,2 ≤ phi ≤ 0,2 is het verschil gering.

c Bij het vermoeden hoort een negatieve samenhang (een dalende trendlijn): bij een lage hygiënescore horen relatief veel ziekmeldingen, bij een hoge hygiënescore relatief weinig.

Een mogelijke puntenwolk: van linksboven naar rechtsonder.

d Nee. De reactiemogelijkheden zijn kwalitatief (geen getallen), dus je kunt er geen gemiddelde van berekenen.

e 'Weet niet' staat in de grafiek vóór 'helemaal mee oneens', alsof het een nog sterkere vorm van oneens is. Daardoor lijkt het of deze leraren het er (helemaal) mee oneens zijn. Een betere manier is om 'weet niet' uit de grafiek weg te laten en de percentages van de andere reacties daarop aan te passen (bijvoorbeeld 11/73 in plaats van 11%).

Opdracht 70

a Voor 1998 is p̂ = 0,0215 en n = 3437:

2\sqrt{\frac{0{,}0215 \cdot (1 - 0{,}0215)}{3437}} = 0{,}0049\ldots \qquad 0{,}0215 - 0{,}0049\ldots = 0{,}0165\ldots

De ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval is 1,65...%. Het steekproefpercentage van 2004 (1,58%) ligt daaronder, dus het ligt niet in het 95%-betrouwbaarheidsinterval van 1998.

b Reken de percentages om naar aantallen: 0,0215 · 3437 ≈ 74 en 0,0158 · 1456 ≈ 23. Frequenties bij een variabele met twee categorieën, dus gebruik phi:

	1998	2004	totaal
wel ingebroken	74	23	97
niet ingebroken	3363	1433	4796
totaal	3437	1456	4893

\text{phi} = \frac{74 \cdot 1433 - 23 \cdot 3363}{\sqrt{97 \cdot 3437 \cdot 1456 \cdot 4796}} \approx 0{,}019

Omdat −0,2 ≤ phi ≤ 0,2 is het verschil gering.

12.5 Statistiek nagekeken?

104 opdrachten

Zo pak je het aan

Bij de gemengde opgaven staat niet bij welk onderwerp ze horen. Bepaal bij elke opgave eerst wat er gevraagd wordt: procenten, verhoudingen of eenheden (12.1), een lineair verband (12.2), een exponentieel verband (12.3), herleiden of redeneren (12.4), of statistiek met het examenformuleblad (12.5). Volg daarna de werkwijze van die paragraaf.

Gemengd 1

P = \sqrt{5} \cdot \sqrt{3\tfrac{1}{3}a} \cdot \sqrt{6b} = \sqrt{5 \cdot 3\tfrac{1}{3} \cdot 6 \cdot a \cdot b} = \sqrt{100ab} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{ab} = 10\sqrt{ab}

Gemengd 2

31{,}25 \cdot 1{,}085 \cdot 0{,}847 \approx 28{,}72

De winst in 2020 was 28,72 miljoen euro.

Gemengd 3

\begin{aligned} G &= 10(2n - 1)^2 \cdot n - 2(2n - 1) \\ &= 10n(4n^2 - 4n + 1) - 4n + 2 \\ &= 40n^3 - 40n^2 + 10n - 4n + 2 \\ &= 40n^3 - 40n^2 + 6n + 2 \end{aligned}

Gemengd 4

De breedte van het interval is 4 · √(p̂(1 − p̂)/n). Los op:

4\sqrt{\frac{0{,}28 \cdot 0{,}72}{n}} = 0{,}06 \quad\Rightarrow\quad \frac{0{,}2016}{n} = 0{,}000225 \quad\Rightarrow\quad n = 896

Hoe groter n, hoe smaller het interval. De minimale steekproefomvang is 896.

Gemengd 5

\text{phi} = \frac{83 \cdot 12 - 41 \cdot 106}{\sqrt{124 \cdot 118 \cdot 189 \cdot 53}} \approx -0{,}277

Omdat −0,4 ≤ phi < −0,2 is het verschil middelmatig.

Gemengd 6

\text{beuken} : \text{eiken} = 1 : 3 = 2 : 6 \qquad \text{eiken} : \text{sparren} = 2 : 5 = 6 : 15

Dus beuken : sparren = 2 : 15.

Gemengd 7

\begin{aligned} 6a - 5b &= 18 \\ -5b &= -6a + 18 \\ b &= 1{,}2a - 3{,}6 \end{aligned}

Gemengd 8

\begin{aligned} B &= aV + b \quad\text{met}\quad a = \frac{\Delta B}{\Delta V} = \frac{202{,}66 - 172{,}98}{148 - 120} = 1{,}06 \\ 1{,}06 \cdot 120 + b &= 172{,}98 \\ b &= 45{,}78 \end{aligned}

Dus B = 1,06V + 45,78.

Gemengd 9

N = 0{,}06 \cdot (200p^{0{,}8})^{1{,}4} = 0{,}06 \cdot 200^{1{,}4} \cdot p^{0{,}8 \cdot 1{,}4} \approx 100 \cdot p^{1{,}12}

Gemengd 10

49 minuten en 40 seconden is 49/60 + 40/3600 = 0,827... uur.

\frac{9{,}8}{0{,}827\ldots} \approx 11{,}84

De gemiddelde snelheid is 11,84 km/uur.

Gemengd 11

Los op: 1,073ᵗ = 2. De optie oplossen bij 1,073ˣ = 2 geeft x = 9,83...

De verdubbelingstijd is 9 jaar en 0,83... · 12 ≈ 10 maanden, dus 9 jaar en 10 maanden (118 maanden).

Gemengd 12

\begin{aligned} 3 - 0{,}6\sqrt{x - 2} &= 2{,}4y \\ -0{,}6\sqrt{x - 2} &= 2{,}4y - 3 \\ \sqrt{x - 2} &= -4y + 5 \\ x - 2 &= (-4y + 5)^2 \\ x &= (-4y + 5)^2 + 2 = 16y^2 - 40y + 27 \end{aligned}

Gemengd 13

a Van 2003 tot 2014 (11 jaar) komen er 1165 − 840 = 325 bij, dus per jaar 325/11. 2010 is 7 jaar na 2003:

840 + 7 \cdot \frac{325}{11} \approx 1047

b Van 2014 tot 2020 (6 jaar) komen er 1390 − 1165 = 225 bij, dus per jaar 225/6. 2025 is 5 jaar na 2020:

1390 + 5 \cdot \frac{225}{6} = 1577{,}5 \approx 1578

c Van 1995 tot 2003 (8 jaar) komen er 840 − 520 = 320 bij, dus per jaar 320/8 = 40. 760 is 240 meer dan 520, dat is 240/40 = 6 jaar na 1995. Het aantal was 760 in 2001.

Gemengd 14

(2a - 1)^2 - 4(3a - 1) = 4a^2 - 2a - 2a + 1 - 12a + 4 = 4a^2 - 16a + 5

Gemengd 15

a nominaal (merken hebben geen logische ordening) b ordinaal (S, M, L, ... hebben een logische ordening) c nominaal (kleuren hebben geen logische ordening)

Gemengd 16

\frac{145 - 115}{115} \cdot 100\% \approx 26{,}1\%

Gemengd 17

y = −⅓x + b. De lijn gaat door A(0, 9), dus b = 9. Dus k: y = −⅓x + 9.

Gemengd 18

Van t = 3 tot t = 11 (8 jaar) neemt N af van 326 tot 77:

\begin{aligned} g_{8\,\text{jaar}} &= \frac{77}{326} \quad\Rightarrow\quad g_{\text{jaar}} = \left(\frac{77}{326}\right)^{\frac{1}{8}} = 0{,}8349\ldots \\ b \cdot 0{,}8349\ldots^3 &= 326 \\ b &= \frac{326}{0{,}8349\ldots^3} \approx 560 \end{aligned}

Dus N = 560 · 0,835ᵗ.

Gemengd 19

a De modale klasse is [76, 78⟩ (frequentie 40).

b De mediaan is het gemiddelde van het 75e en het 76e getal. Tot en met [74, 76⟩ zijn het 5 + 13 + 16 = 34 getallen, tot en met [76, 78⟩ 34 + 40 = 74, tot en met [78, 80⟩ 112. Het 75e en 76e getal liggen in [78, 80⟩.

c Het gemiddelde ligt ongeveer bij 78 cm. Ongeveer 68% van de 150 jongens (ongeveer 100) moet binnen één standaardafwijking van het gemiddelde liggen. Tussen 75 en 81 cm liggen ongeveer 8 + 40 + 38 + 12 ≈ 98 jongens. Dus de standaardafwijking is 3,0 cm. (Met de klassenmiddens: σ ≈ 3,0.)

d De cumulatieve frequentie van [74, 76⟩ is 5 + 13 + 16 = 34:

\frac{34}{150} \cdot 100\% \approx 22{,}7\%

Gemengd 20

g_{3\,\text{jaar}} = 2 \quad\Rightarrow\quad g_{\text{jaar}} = 2^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}260

Het groeipercentage is 26,0% per jaar.

Gemengd 21

A = \sqrt{2p} \cdot \sqrt{2\tfrac{1}{2}q} = \sqrt{2p \cdot 2\tfrac{1}{2}q} = \sqrt{5pq}

B = \frac{\sqrt{30xy}}{\sqrt{2y}} = \sqrt{\frac{30xy}{2y}} = \sqrt{15x}

Gemengd 22

a Als t toeneemt, dan neemt t² toe, dus neemt t² + 1 toe. Dan neemt 100/(t² + 1) af, dus neemt 50 + 100/(t² + 1) af. De grafiek van N is dalend.

b Als x toeneemt, dan neemt x + 10 toe, dus neemt 57/(x + 10) af. Dan neemt 300 − 57/(x + 10) toe. De grafiek van y is stijgend.

Gemengd 23

N = \frac{562}{25 \cdot 1{,}3^t} = \frac{562}{25} \cdot 1{,}3^{-t} = 22{,}48 \cdot (1{,}3^{-1})^t \approx 22{,}48 \cdot 0{,}769^t

De groeifactor ligt tussen 0 en 1, dus de grafiek van N is afnemend dalend.

Gemengd 24

Bij een rechts-scheve verdeling ligt de box links, met een korte linker snorhaar en een lange rechter snorhaar. De mediaan ligt links in de box.

Een boxplot bij een rechts-scheve verdeling.

Gemengd 25

Noem x het aantal kaartjes van 15 euro en y het aantal kaartjes van 20 euro.

\begin{aligned} x + y = 705 &\;\Rightarrow\; y = 705 - x \\ 15x + 20y = 11\,500 &\;\Rightarrow\; y = -0{,}75x + 575 \end{aligned}

De optie oplossen bij 705 − x = −0,75x + 575 geeft x = 520, dus y = 705 − 520 = 185.

Er zijn 185 kaartjes van 20 euro verkocht.

Gemengd 26

\begin{aligned} q = 10 - 4p &\;\Rightarrow\; 4p = 10 - q \;\Rightarrow\; p = 2{,}5 - 0{,}25q \\ R &= 2(2{,}5 - 0{,}25q) - 3q + 50 = 5 - 0{,}5q - 3q + 50 = -3{,}5q + 55 \end{aligned}

Gemengd 27

p = 0,36 en 450 leerlingen wonen verder weg, dus het totaal is 450/0,36 = 1250 leerlingen.

De steekproefproportie is p̂ = 12/25 = 0,48.

Gemengd 28

\bar{X} \pm 2 \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} = 38\,500 \pm 2 \cdot \frac{14\,300}{\sqrt{80}} \approx 38\,500 \pm 3200

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval is 38 500 ± 3200 km, oftewel [35 300; 41 700].

Gemengd 29

F = \frac{50m^{0{,}54}}{17(12m^{0{,}6})^{1{,}4}} = \frac{50m^{0{,}54}}{17 \cdot 12^{1{,}4} \cdot m^{0{,}84}} = \frac{50}{17 \cdot 12^{1{,}4}} \cdot m^{0{,}54 - 0{,}84} \approx 0{,}09m^{-0{,}3}

Gemengd 30

a Als t toeneemt, dan neemt 0,91ᵗ af, dus neemt 20 · 0,91ᵗ af en ook 1 + 20 · 0,91ᵗ. De noemer neemt af, dus de breuk 1500/(1 + 20 · 0,91ᵗ) neemt toe. De grafiek van N is stijgend.

b Als t toeneemt, dan neemt 0,98ᵗ af, dus neemt 1 − 0,98ᵗ toe. Dan neemt 20(1 − 0,98ᵗ) toe en ook 10 + 20(1 − 0,98ᵗ). De grafiek van N is stijgend.

Gemengd 31

De optie oplossen bij 3(0,5x − 2) = 0,6x + 12 geeft x = 20. Dan is y = 0,6 · 20 + 12 = 24.

Het snijpunt is (20, 24).

Gemengd 32

N = 0{,}15(0{,}8a + 4) - 0{,}05(2a - 3) = 0{,}12a + 0{,}6 - 0{,}1a + 0{,}15 = 0{,}02a + 0{,}75

Gemengd 33

(a^{-2})^4 \cdot a^5 = a^{-8} \cdot a^5 = a^{-3}

Gemengd 34

Het gebied ligt tussen en op de lijnen x = 1 en x = 5, en tussen en op de lijnen 2x − y = 2 en 2x − y = 10.

2x − y = 2	x = 0	x = 2
y	−2	2

2x − y = 10	x = 5	x = 7
y	0	4

Het gebied waarvoor 1 ≤ x ≤ 5 en 2 ≤ 2x − y ≤ 10.

Gemengd 35

\frac{750 - 820}{820} \cdot 100\% \approx -8{,}5\%

De afname is 8,5%.

Gemengd 36

\frac{649}{0{,}0564} \approx 11\,507

Gemengd 37

De boxen overlappen elkaar (van ongeveer 38 000 tot 41 000 euro). De mediaan van A (25 000) ligt buiten de box van B, en de mediaan van B (45 000) ligt buiten de box van A. Het verschil is middelmatig.

Gemengd 38

P = (4a - 1) \cdot \frac{2b}{4a - 1} = \frac{(4a - 1) \cdot 2b}{4a - 1} = 2b

A = 5p \cdot \frac{3}{q} \cdot \frac{1 - q}{q} = \frac{15p(1 - q)}{q^2} = \frac{15p - 15pq}{q^2}

Gemengd 39

a continu (een lengte, alle tussenliggende waarden zijn mogelijk) b discreet (een aantal) c continu (een frequentie, alle tussenliggende waarden zijn mogelijk)

Gemengd 40

Splits de breuk:

F = \frac{2a^2}{2a} - \frac{3a}{2a} + \frac{4}{2a} + 4a + 1\tfrac{1}{2} = a - 1\tfrac{1}{2} + \frac{2}{a} + 4a + 1\tfrac{1}{2} = 5a + \frac{2}{a}

Gemengd 41

Gemiddelden en standaardafwijkingen, dus gebruik de effectgrootte:

E = \frac{112 - 85}{\frac{1}{2}(38 + 24)} \approx 0{,}871

Omdat E > 0,8 is het verschil groot.

Gemengd 42

\begin{aligned} N &= at + b \quad\text{met}\quad a = \frac{\Delta N}{\Delta t} = \frac{63 - 52}{12 - 8} = 2{,}75 \\ 2{,}75 \cdot 8 + b &= 52 \;\Rightarrow\; b = 30 \end{aligned}

Dus N = 2,75t + 30.

Gemengd 43

\begin{aligned} 6x - 33 &= -4(x - 12) + 15 \\ 6x - 33 &= -4x + 63 \\ 10x &= 96 \\ x &= 9{,}6 \end{aligned}

Gemengd 44

M = 200 \cdot 4 + \frac{200 \cdot 74}{25 \cdot 0{,}95^t} = 800 + 592 \cdot 0{,}95^{-t} = 800 + 592 \cdot (0{,}95^{-1})^t \approx 800 + 592 \cdot 1{,}05^t

Gemengd 45

\begin{aligned} 1\tfrac{1}{4}(6t - 1) &= 2\tfrac{1}{2}t + 6 \\ 7{,}5t - 1{,}25 &= 2{,}5t + 6 \\ 5t &= 7{,}25 \\ t &= 1{,}45 \end{aligned}

Gemengd 46

y = ax met a · 12 = 69, dus a = 5,75 en y = 5,75x. Bij x = 42 hoort y = 5,75 · 42 = 241,5.

Gemengd 47

\begin{aligned} g_{8\,\text{dagen}} &= \frac{161}{101} \quad\Rightarrow\quad g_{\text{dag}} = \left(\frac{161}{101}\right)^{\frac{1}{8}} = 1{,}0600\ldots \\ b \cdot 1{,}0600\ldots^4 &= 101 \;\Rightarrow\; b = \frac{101}{1{,}0600\ldots^4} \approx 80 \end{aligned}

Dus N = 80 · 1,060ᵗ.

Gemengd 48

A = 5x^{-1{,}15} \cdot 3x^{4{,}25 - 2} = 15 \cdot x^{-1{,}15 + 2{,}25} = 15x^{1{,}1}

Dus a = 15 en b = 1,1.

Gemengd 49

a Spreidingsbreedte 58 − 10 = 48, interkwartielafstand 42 − 20 = 22. Dat is 48/22 ≈ 2,2 keer zo groot.

b Tussen Q₁ en de mediaan ligt 25%: 0,25 · 1060 = 265 waarnemingsgetallen.

c Elk kwart ligt tussen twee grenzen. Het kleinst mogelijke gemiddelde krijg je als alle getallen van een kwart op de ondergrens liggen, het grootst mogelijke als ze op de bovengrens liggen:

0{,}25 \cdot (10 + 20 + 24 + 42) = 24 \qquad 0{,}25 \cdot (20 + 24 + 42 + 58) = 36

Het gemiddelde ligt dus tussen 24 en 36. Leonie heeft gelijk.

d Het gemiddelde is ongeveer 30. De getallen liggen gemiddeld ongeveer 14 van 30 af (de middelste helft ligt tussen 20 en 42). De standaardafwijking is ongeveer 14.

Gemengd 50

\begin{aligned} \frac{12}{n} &= 8 - A \\ n &= \frac{12}{8 - A} \end{aligned}

Gemengd 51

\begin{aligned} y &= ax + b \quad\text{met}\quad a = \frac{55 - 70}{20 - 8} = -1{,}25 \\ -1{,}25 \cdot 8 + b &= 70 \;\Rightarrow\; b = 80 \end{aligned}

Dus l: y = −1,25x + 80.

Gemengd 52

30 689 km² = 30 689 · 10⁶ m².

\frac{30\,689 \cdot 10^6}{11{,}46 \cdot 10^6} \approx 2678

De oppervlakte per inwoner is 2678 m².

Gemengd 53

\begin{aligned} F &= 5p^2 - 2(p - 3)^2 + 10 \\ &= 5p^2 - 2(p^2 - 6p + 9) + 10 \\ &= 5p^2 - 2p^2 + 12p - 18 + 10 \\ &= 3p^2 + 12p - 8 \end{aligned}

Gemengd 54

a Als x heel groot wordt, dan wordt x² + 1 heel groot, dus nadert 50/(x² + 1) tot 0. Dan wordt y ≈ 100 + 0 = 100. De grenswaarde is 100.

b Als t heel groot wordt, dan wordt t + 2 heel groot, dus nadert 30/(t + 2) tot 0. Dan wordt N ≈ 50 − 0 = 50. De grenswaarde is 50.

Gemengd 55

1200 \pm 2 \cdot \frac{85}{\sqrt{625}} = 1200 \pm 6{,}8

Het interval is 1200 ± 6,8, oftewel [1193,2; 1206,8].

25{,}62 \pm 2 \cdot 1{,}45 = 25{,}62 \pm 2{,}9

Het interval is 25,62 ± 2,9, oftewel [22,72; 28,52].

Gemengd 56

\frac{3015}{1{,}184} \approx 2546

Gemengd 57

a Als t heel groot wordt, dan nadert 0,96ᵗ tot 0, dus 14 · 0,96ᵗ ≈ 0 en 3 + 14 · 0,96ᵗ ≈ 3. Dan wordt N ≈ 600/3 = 200. Het verzadigingsniveau is 200.

b Als t heel groot wordt, dan nadert 0,81ᵗ tot 0, dus 3 − 0,81ᵗ ≈ 3. Dan wordt N ≈ 450 · 3 = 1350. Het verzadigingsniveau is 1350.

Gemengd 58

K = \frac{x + 2x - 1}{4x - (2x - 1)} = \frac{3x - 1}{4x - 2x + 1} = \frac{3x - 1}{2x + 1}

Gemengd 59

Frequenties bij een ordinale variabele met meer dan twee categorieën, dus gebruik max Vcp:

hinder	stad (cum.)	stad (cum. %)	platteland (cum.)	platteland (cum. %)	Vcp
1	16	2	112	17,5	15,5
2	72	9	240	37,5	28,5
3	184	23	560	87,5	64,5
4	304	38	608	95	57
5	800	100	640	100	0

De max Vcp = 64,5. Omdat max Vcp > 40 is het verschil groot.

Gemengd 60

N = 3\sqrt{2a} \cdot \sqrt{5b} = 3\sqrt{10ab} = 3\sqrt{10} \cdot \sqrt{ab} \approx 9{,}49\sqrt{ab}

Gemengd 61

C krijgt 7 − 3 = 4 delen meer dan B. Vier delen is 25 euro, dus één deel is 6,25 euro. In totaal zijn er 2 + 3 + 7 = 12 delen: 12 · 6,25 = 75 euro.

Gemengd 62

0{,}83 \pm 2\sqrt{\frac{0{,}83 \cdot 0{,}17}{280}} \approx 0{,}83 \pm 0{,}045

Het interval is 0,83 ± 0,045, oftewel [0,785; 0,875].

\frac{83}{112} \pm 2\sqrt{\frac{\frac{83}{112} \cdot \left(1 - \frac{83}{112}\right)}{52}} \approx 0{,}741 \pm 0{,}121

Het interval is 0,741 ± 0,121, oftewel [0,620; 0,863].

Gemengd 63

Los op: 0,942ᵗ = 0,5. De optie oplossen bij 0,942ˣ = 0,5 geeft x = 11,60...

De halveringstijd is 11 jaar en 0,60... · 12 ≈ 7 maanden, dus 11 jaar en 7 maanden (139 maanden).

Gemengd 64

\begin{aligned} \frac{2x}{3y} &= \frac{5}{7} \\ 15y &= 14x \\ y &= \tfrac{14}{15}x \end{aligned}

Gemengd 65

\frac{14{,}80 - 20{,}60}{6 - 2} = -1{,}45 \qquad \frac{10{,}45 - 14{,}80}{9 - 6} = -1{,}45 \qquad \frac{3{,}20 - 10{,}45}{14 - 9} = -1{,}45

De afname per dag is steeds gelijk, dus de tabel past bij een lineair verband.

-1{,}45 \cdot 2 + b = 20{,}60 \;\Rightarrow\; b = 23{,}50

Dus N = −1,45t + 23,50.

Gemengd 66

q = 400 \;\Rightarrow\; W = -0{,}01 \cdot 400^2 + 7{,}5 \cdot 400 - 650 = 750

De winst is 750 honderd euro = 75 000 euro, dat is 75 000/400 = 187,50 euro per artikel.

b Voer in y1 = −0,01x² + 7,5x − 650. De optie maximum geeft x = 375 en y = 756,25.

De maximale jaarlijkse winst is 75 625 euro.

Gemengd 67

a 0,65 − 0,06 = 0,59 en 0,65 + 0,06 = 0,71, dus [0,59; 0,71]. De ±-waarde is 2σ, dus σ = 0,06/2 = 0,03.

b Het midden is (1280 + 1340)/2 = 1310 en de halve breedte is (1340 − 1280)/2 = 30, dus 1310 ± 30. De halve breedte is 2 keer de standaardafwijking van het steekproefgemiddelde (S/√n), dus die is 30/2 = 15.

Gemengd 68

1 liter = 1 dm³. Reken om naar dm en dm²:

67{,}13 \text{ km}^2 = 67{,}13 \cdot 10^8 \text{ dm}^2 \qquad 55 \text{ mm} = 0{,}55 \text{ dm}

67{,}13 \cdot 10^8 \cdot 0{,}55 \approx 3{,}69 \cdot 10^9

Er viel 3,69 · 10⁹ liter regen.

Gemengd 69

g_{8\,\text{uur}} = 0{,}891 \quad\Rightarrow\quad g_{50\,\text{uur}} = 0{,}891^{\frac{50}{8}} \approx 0{,}486

De afname per 50 uur is 51,4%.

b 8 uur is 24 keer 20 minuten:

g_{20\,\text{min}} = 0{,}891^{\frac{1}{24}} \approx 0{,}995

De afname per 20 minuten is 0,5%.

Gemengd 70

\begin{aligned} B &= \frac{6x^2 - (2x - 1)^2}{(2x - 1)^2 + 1} = \frac{6x^2 - (4x^2 - 4x + 1)}{4x^2 - 4x + 1 + 1} \\ &= \frac{2x^2 + 4x - 1}{4x^2 - 4x + 2} \end{aligned}

Gemengd 71

\frac{78}{140} \pm 2\sqrt{\frac{\frac{78}{140} \cdot \left(1 - \frac{78}{140}\right)}{140}} \approx 0{,}557 \pm 0{,}084

Het interval is 0,557 ± 0,084, oftewel [0,473; 0,641].

Gemengd 72

N = \frac{18}{6} \cdot (2x - 3) + 3x - 5 = 6x - 9 + 3x - 5 = 9x - 14

Gemengd 73

a Voer in y1 = 90 000x/(x² + 900). De optie maximum geeft x = 30 en y = 1500.

Na 30 dagen werd het maximum bereikt: 1500 patiënten.

b Voer ook in y2 = 1400. De optie snijpunt geeft x = 20,6... en x = 43,6...

Er lagen meer dan 1400 patiënten op de ic gedurende 43,6... − 20,6... ≈ 23 dagen.

Gemengd 74

Omgekeerd evenredig, dus prijs · aantal is constant: 0,80 · 135 = 108.

1{,}10 \cdot q = 108 \;\Rightarrow\; q = \frac{108}{1{,}10} \approx 98

Hij verkoopt 98 meloenen per dag.

Gemengd 75

5 jaar en 4 maanden is 5⅓ jaar.

g_{5\frac{1}{3}\,\text{jaar}} = 0{,}5 \quad\Rightarrow\quad g_{\text{jaar}} = 0{,}5^{\frac{1}{5\frac{1}{3}}} = 0{,}5^{\frac{3}{16}} \approx 0{,}878

De afname is 12,2% per jaar.

Gemengd 76

K = \frac{24}{8} \cdot \frac{x(x + 4)}{x - 4} = \frac{3(x^2 + 4x)}{x - 4} = \frac{3x^2 + 12x}{x - 4}

Gemengd 77

y = -\tfrac{1}{3}x + b \quad\text{en}\quad -\tfrac{1}{3} \cdot 6 + b = 9 \;\Rightarrow\; b = 11

Dus l: y = −⅓x + 11.

Gemengd 78

Een dag heeft 24 · 60 · 60 = 86 400 seconden:

45\,486 \cdot 86\,400 \approx 3{,}9 \cdot 10^9

Dat is 3,9 · 10⁹ dollar per dag.

Gemengd 79

N = \frac{200}{133} \cdot 0{,}6^{-t} = \frac{200}{133} \cdot (0{,}6^{-1})^t \approx 1{,}504 \cdot 1{,}667^t

Gemengd 80

\begin{aligned} y &= ax + b \quad\text{met}\quad a = \frac{30 - 18}{10 - 2} = 1{,}5 \\ 1{,}5 \cdot 2 + b &= 18 \;\Rightarrow\; b = 15 \end{aligned}

Dus k: y = 1,5x + 15.

Gemengd 81

g_{\text{dag}} = 1{,}086 \quad\Rightarrow\quad g_{\text{week}} = 1{,}086^7 \approx 1{,}782

De toename per week is 78,2%.

g_{10\,\text{uur}} = 1{,}086^{\frac{10}{24}} \approx 1{,}035

De toename per 10 uur is 3,5%.

Gemengd 82

Maak y vrij: −3y = −2x + 10, dus y = ⅔x − 3⅓. Substitueer:

\begin{aligned} T &= 6x\left(\tfrac{2}{3}x - 3\tfrac{1}{3}\right) - 20x + 15\left(\tfrac{2}{3}x - 3\tfrac{1}{3}\right) \\ &= 4x^2 - 20x - 20x + 10x - 50 = 4x^2 - 30x - 50 \end{aligned}

Dus a = 4, b = −30 en c = −50.

Gemengd 83

\frac{6{,}5}{14{,}6} = 0{,}445\ldots \text{ uur} = 0{,}445\ldots \cdot 60 = 26{,}71\ldots \text{ minuten}

Dat is 26 minuten en 0,71... · 60 ≈ 43 seconden: 26 minuten en 43 seconden.

Gemengd 84

\frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{20 - 5}{30 - 0} = 0{,}5 \qquad \frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{53 - 20}{60 - 30} = 1{,}1

De toenamen per seconde zijn niet gelijk, dus het verband is niet lineair.

b Bij gelijke stappen van 30 seconden:

g_{30\,\text{s}} = \frac{20}{5} = 4 \qquad g_{30\,\text{s}} = \frac{53}{20} = 2{,}65

De groeifactoren zijn niet gelijk, dus het verband is niet exponentieel.

t = 30 \;\Rightarrow\; T = -0{,}00011 \cdot 30^3 + 0{,}02 \cdot 30^2 + 5 = 20{,}03 \approx 20 \qquad t = 100 \;\Rightarrow\; T = 95

Beide waarden kloppen met de tabel.

d Voer in y1 = −0,00011x³ + 0,02x² + 5 en y2 = 85. De optie snijpunt geeft x ≈ 88.

Na 88 seconden is de temperatuur 85 °C.

Gemengd 85

\begin{aligned} A &= at + b \quad\text{met}\quad a = \frac{22 - 78}{28 - 12} = -3{,}5 \\ -3{,}5 \cdot 12 + b &= 78 \;\Rightarrow\; b = 120 \end{aligned}

Dus A = −3,5t + 120.

Gemengd 86

Maak l vrij: 2l = −k + 40, dus l = −0,5k + 20. Substitueer:

N = 2k - 3(-0{,}5k + 20) + 50 = 2k + 1{,}5k - 60 + 50 = 3{,}5k - 10

Gemengd 87

122 = 128 − 6 = μ − σ en 140 = 128 + 2 · 6 = μ + 2σ. Met de vuistregels ligt daartussen 34% + 34% + 13,5% = 81,5%.

0{,}815 \cdot 6000 = 4890

4890 kiwi's hebben een gewicht tussen 122 en 140 gram.

Gemengd 88

5a^3 \cdot 4a^2 = 20a^5

(-4a^3)^2 - 8a^5 - 10a^6 = 16a^6 - 8a^5 - 10a^6 = 6a^6 - 8a^5

\frac{16x^2y^3}{24xy} = \tfrac{2}{3}xy^2

Gemengd 89

Voer in y1 = 2,56x + 30 en y2 = 83 − 5(x − 10). De optie snijpunt geeft x = 13,624...

De grafiek van y1 ligt rechts van het snijpunt boven die van y2, dus x > 13,62.

Gemengd 90

Bij een links-scheve verdeling liggen de meeste waarnemingen rechts. De kromme stijgt eerst langzaam en daarna snel, en het punt bij 50% ligt ver naar rechts.

Een cumulatieve verdelingskromme bij een links-scheve verdeling.

Gemengd 91

\text{klas 1} : \text{klas 2 en 3} = 6 : 11 \qquad \text{klas 1} : \text{bovenbouw} = 3 : 5 = 6 : 10

Dus klas 1 : klas 2 en 3 : bovenbouw = 6 : 11 : 10. Dat zijn 27 delen, en één deel is 1350/27 = 50 leerlingen.

In de bovenbouw zitten 10 · 50 = 500 leerlingen.

Gemengd 92

p̂ ligt midden in het interval:

\hat{p} = \frac{0{,}177 + 0{,}323}{2} = 0{,}25 \qquad 0{,}25 \cdot 140 = 35

Er zijn 35 scooters opgevoerd.

Gemengd 93

A = \frac{4x}{x - 1} \cdot (2(4x + 5) - 3) = \frac{4x}{x - 1} \cdot (8x + 7) = \frac{32x^2 + 28x}{x - 1}

Gemengd 94

A = \frac{15x^2}{3x} - \frac{4}{3x} = \frac{15x^2 - 4}{3x}

B = \frac{21}{6x} - \frac{10}{6x} = \frac{11}{6x}

D = \frac{5a^4}{a^2} - \frac{3}{a^2} = \frac{5a^4 - 3}{a^2}

E = \frac{2}{p} + \frac{15pq}{2p^2} = \frac{2}{p} + \frac{15q}{2p} = \frac{4}{2p} + \frac{15q}{2p} = \frac{4 + 15q}{2p}

Gemengd 95

a Lees af: bij t = 2 hoort N = 20 en bij t = 8 hoort N = 500.

\begin{aligned} g_{6\,\text{jaar}} &= \frac{500}{20} = 25 \quad\Rightarrow\quad g_{\text{jaar}} = 25^{\frac{1}{6}} = 1{,}7099\ldots \\ b \cdot 1{,}7099\ldots^2 &= 20 \;\Rightarrow\; b = \frac{20}{1{,}7099\ldots^2} \approx 7 \end{aligned}

Dus N = 7 · 1,710ᵗ.

b Lees af: bij t = 3 hoort N = 800 en bij t = 7 hoort N = 60.

\begin{aligned} g_{4\,\text{jaar}} &= \frac{60}{800} = 0{,}075 \quad\Rightarrow\quad g_{\text{jaar}} = 0{,}075^{\frac{1}{4}} = 0{,}5233\ldots \\ b \cdot 0{,}5233\ldots^3 &= 800 \;\Rightarrow\; b = \frac{800}{0{,}5233\ldots^3} \approx 5580 \end{aligned}

Dus N = 5580 · 0,523ᵗ.

Gemengd 96

De steekproefproporties zijn normaal verdeeld met μ = 0,23 en

\sigma = \sqrt{\frac{0{,}23 \cdot 0{,}77}{283}} \approx 0{,}025

0,18 = μ − 2σ en 0,28 = μ + 2σ. Volgens de vuistregels ligt daartussen 95% van de steekproefproporties.

Gemengd 97

a Als n toeneemt, dan neemt 30 000/n af, dus neemt 450 + 30 000/n af. De grafiek van K is dalend. Dat klopt met de praktijk: de vaste kosten van het schip worden over meer passagiers verdeeld.

b Als n heel groot wordt, dan nadert 30 000/n tot 0, dus wordt K ≈ 450 + 0 = 450. De grenswaarde is 450 euro: dat zijn de kosten per passagier als er heel veel passagiers meegaan.

c Per passagier moet de winst 100 000/2500 = 40 euro zijn. De kosten per passagier zijn:

K = 450 + \frac{30\,000}{2500} = 462

De prijs per passagier is 462 + 40 = 502 euro.

Gemengd 98

a Als x toeneemt, dan neemt 5/x af, dus neemt 20 − 5/x toe: stijgend. Als x heel groot wordt, nadert 5/x tot 0, dus y ≈ 20. De grenswaarde is 20.

b Als x toeneemt, dan neemt de teller 12 · 0,6ˣ af en de noemer √x toe, dus de breuk neemt af: dalend. Als x heel groot wordt, nadert de teller tot 0 en wordt de noemer heel groot, dus y ≈ 0. De grenswaarde is 0.

c Als x toeneemt, dan neemt x² + 2 toe, dus neemt 80/(x² + 2) af en neemt 25 − 80/(x² + 2) toe: stijgend. Als x heel groot wordt, nadert 80/(x² + 2) tot 0, dus y ≈ 25. De grenswaarde is 25.

Gemengd 99

a De stappen in de tabel zijn niet gelijk, dus bereken de groeifactor per dag voor elke stap:

\left(\frac{345}{446}\right)^{\frac{1}{5}} \approx 0{,}950 \qquad \left(\frac{281}{345}\right)^{\frac{1}{4}} \approx 0{,}950 \qquad \left(\frac{241}{281}\right)^{\frac{1}{3}} \approx 0{,}950

De groeifactoren per dag zijn bij benadering gelijk, dus de tabel past bij een exponentieel verband.

b \cdot 0{,}950^3 = 446 \;\Rightarrow\; b = \frac{446}{0{,}950^3} \approx 520

Dus N = 520 · 0,950ᵗ.

Gemengd 100

2 micrometer = 2 · 10⁻³ mm = 2 · 10⁻⁶ m.

\frac{2 \cdot 10^{-6}}{50} = 4 \cdot 10^{-8}

De diameter van het virusdeeltje is 4 · 10⁻⁸ m.

Gemengd 101

\begin{aligned} 4a - 1 &= \frac{3}{P} \\ 4a &= \frac{3}{P} + 1 \\ a &= \frac{3}{4P} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4P} + \frac{P}{4P} = \frac{P + 3}{4P} \end{aligned}

Gemengd 102

a Bij omgekeerd evenredigheid is A · B constant. Maar 40 · 2 = 80, 26,7 · 3 = 80,1, 17,8 · 4 = 71,2 en 7,9 · 6 = 47,4. De producten zijn niet gelijk, dus A is niet omgekeerd evenredig met B.

b B = 2 en A = 40:

\frac{90}{c^2} = 40 \;\Rightarrow\; c^2 = \frac{90}{40} = 2{,}25 \;\Rightarrow\; c = 1{,}5 \qquad B = 5 \;\Rightarrow\; A = \frac{90}{1{,}5^5} \approx 11{,}9

Gemengd 103

Soort A groeit lineair, soort B exponentieel:

N_A = 25t + 1560 \qquad N_B = 1450 \cdot 1{,}078^t

Voer in y1 = 1450 · 1,078ˣ en y2 = 2 · (25x + 1560). De optie snijpunt geeft x = 12,66...

Na 12,7 jaar zijn er twee keer zoveel dieren van soort B als van soort A.

Gemengd 104

Voer in y1 = (350 − 2x)/6,13 en y2 = (5x + 380)/8,27. De optie snijpunt geeft x = 11,974...

K daalt en L stijgt als p toeneemt, dus K < L geldt rechts van het snijpunt: p > 11,97.

Gemengde opgaven nagekeken?