Een formule opstellen bij exponentiële groei

Weet je bij exponentiële groei de hoeveelheid op twee tijdstippen, dan kun je de formule $N = b \cdot g^t$ opstellen. Je berekent eerst de groeifactor per tijdseenheid, en daarna pas de beginwaarde.

15 min

Na deze les kun je

de groeifactor per tijdseenheid berekenen uit twee meetpunten
de beginwaarde $b$ berekenen door een meetpunt in te vullen
goed omgaan met het moment $t = 0$ en met afronden

Dit weet je al

Groeifactoren omrekenen naar een andere tijdseenheid (les 9.2a).

Eerst de groeifactor

Stel dat op $t = 2$ geldt $N = 500$ en op $t = 6$ geldt $N = 1200$ . In de $6 - 2 = 4$ tijdseenheden daartussen is de hoeveelheid met $\frac{1200}{500} = 2{,}4$ vermenigvuldigd. Dat is de groeifactor per 4 tijdseenheden. Per tijdseenheid is het $2{,}4^{\frac{1}{4}}$ .

\displaystyle g = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^{\frac{1}{t_2 - t_1}}

N_1

: hoeveelheid op tijdstip

t_1

N_2

: hoeveelheid op een later tijdstip

t_2

g

: groeifactor per tijdseenheid.

Dan de beginwaarde

Vul daarna één meetpunt in $N = b \cdot g^t$ in en los $b$ op. Dat is terugrekenen naar $t = 0$ : delen door de groeifactor, zo vaak als er tijdseenheden tussen $t = 0$ en het meetpunt zitten.

✎Voorbeeld: een formule uit twee meetpunten

Een hoeveelheid groeit exponentieel. Op $t = 2$ is $N = 500$ en op $t = 6$ is $N = 1200$ . Stel de formule op en rond $b$ af op gehelen.

Groeifactor: $g = \left(\frac{1200}{500}\right)^{\frac{1}{4}} = 1{,}2446...$
Vul $t = 2$ en $N = 500$ in: $b \cdot 1{,}2446...^2 = 500$ .
Dus $b = \dfrac{500}{1{,}2446...^2} \approx 323$ .
De formule is $N = 323 \cdot 1{,}245^t$ .

!Tussendoor niet afronden

Reken $b$ uit met de onafgeronde groeifactor (gebruik Ans of sla hem op in de GR). Met $1{,}245$ in plaats van $1{,}2446...$ krijg je een andere $b$ . Rond pas af in de eindformule.

!Waar ligt t = 0?

Lees goed welk moment $t = 0$ is. Is $t = 0$ in 2020 en is het eerste meetpunt in 2024, dan vul je $t = 4$ in, niet $t = 0$ . De beginwaarde $b$ is de hoeveelheid op $t = 0$ , ook als je die niet hebt gemeten.

≈Halveren in de opgave

Een halveringstijd of verdubbelingstijd geeft ook een groeifactor, zonder dat je twee meetpunten nodig hebt. "Halveert elke 15 jaar" betekent $g = 0{,}5^{\frac{1}{15}}$ . Daarna vul je één meetpunt in om $b$ te vinden.

Even controleren

Snap je het?

Op $t = 1$ is $N = 800$ en op $t = 4$ is $N = 2000$ . Bereken de groeifactor per tijdseenheid.

Bereken bij de vorige vraag de beginwaarde, afgerond op gehelen.

Waarom bereken je eerst $g$ en daarna $b$ , en niet andersom?

↗Hoe hangt dit samen?

Niet elke groei is exponentieel. In de volgende les leer je herkennen of een situatie of een tabel bij lineaire of bij exponentiële groei hoort.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

$\frac{N_2}{N_1}$	de groeifactor over de periode van $t_1$ tot $t_2$
$t_2 - t_1$	zoveel tijdseenheden duurt die periode
$g = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^{\frac{1}{t_2 - t_1}}$	per tijdseenheid: neem de macht $\frac{1}{t_2 - t_1}$ (les 9.2a)

Grootheid	Symbool	Eenheid
hoeveelheid	$N$	hangt af van de situatie (aantal, m², euro, ...)
beginwaarde (hoeveelheid op $t = 0$ )	$b$	dezelfde eenheid als $N$
groeifactor per tijdseenheid	$g$	geen eenheid
groeipercentage	$p$	procent (%)
tijd	$t$	jaar, maand, dag, uur, ...
verdubbelingstijd of halveringstijd	de oplossing $t$ van $g^t = 2$ of $g^t = 0{,}5$	dezelfde eenheid als $t$
toename per tijdseenheid (lineair)	$a$	eenheid van $N$ per tijdseenheid

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle g = 1 + \frac{p}{100} \quad\text{(toename)} \qquad g = 1 - \frac{p}{100} \quad\text{(afname)}$	groeifactor bij een groeipercentage	Zelf afleiden	9.1a
$\displaystyle N = b \cdot g^t$	exponentiële groei	Zelf afleiden	9.1a
$\displaystyle g^t = 2 \qquad\qquad g^t = 0{,}5$	verdubbelingstijd en halveringstijd	Zelf afleiden	9.1b
$\displaystyle g_n = g^n$	groeifactor per n tijdseenheden	Zelf afleiden	9.2a
$\displaystyle g = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^{\frac{1}{t_2 - t_1}}$	groeifactor uit twee meetpunten	Zelf afleiden	9.2b
$\displaystyle N = at + b \qquad a = \frac{\Delta N}{\Delta t}$	lineaire formule	Zelf afleiden	9.3a
$\displaystyle \frac{1}{a^p} = a^{-p}$	negatieve exponent	Zelf afleiden	9.4a
$\displaystyle a^{pq} = \left(a^p\right)^q$	macht van een macht	Zelf afleiden	9.4a
$\displaystyle a^{p+q} = a^p \cdot a^q$	som in de exponent	Zelf afleiden	9.4a