Groeifactoren omrekenen naar een andere tijdseenheid

Een groeifactor hoort altijd bij een tijdseenheid. Wil je van een groeifactor per dag naar een groeifactor per week of per uur, dan neem je een macht van de groeifactor. Een groeipercentage reken je daarbij altijd eerst om naar een groeifactor.

15 min

Na deze les kun je

de groeifactor per $n$ tijdseenheden berekenen met $g^n$
een groeifactor omrekenen naar een kleinere tijdseenheid met een breuk als exponent
een groeipercentage omrekenen naar een andere tijdseenheid
een groeipercentage berekenen uit een verdubbelingstijd met een macht

Dit weet je al

Groeifactor en groeipercentage (les 9.1a), verdubbelingstijd (les 9.1b).

Naar een grotere tijdseenheid

Een hoeveelheid groeit met factor 2 per uur. Na 2 uur is er met $2 \cdot 2 = 2^2 = 4$ vermenigvuldigd, na 3 uur met $2^3 = 8$ . Per 3 uur is de groeifactor dus $2^3$ .

\displaystyle g_n = g^n

g

: groeifactor per tijdseenheid,

g_n

: groeifactor per

n

tijdseenheden.

Naar een kleinere tijdseenheid

De regel geldt ook als $n$ een breuk is. Een uur is $\frac{1}{24}$ dag, dus de groeifactor per uur is $g_\text{dag}^{\frac{1}{24}}$ . Controle: $\left(g^{\frac{1}{24}}\right)^{24} = g^1 = g$ . Vierentwintig keer de groeifactor per uur geeft weer de groeifactor per dag.

✎Voorbeeld: per maand naar per jaar, per week naar per dag

a. Een bedrag groeit met 4% per maand. Hoeveel procent is dat per jaar?

Groeifactor per maand: $1{,}04$ .
Een jaar is 12 maanden: $g_\text{jaar} = 1{,}04^{12} \approx 1{,}601$ .
De toename is 60,1% per jaar, dus niet $12 \cdot 4\% = 48\%$ .

b. Een voorraad neemt per week met 30% af. Hoeveel procent is dat per dag?

Groeifactor per week: $0{,}70$ .
Een dag is $\frac{1}{7}$ week: $g_\text{dag} = 0{,}70^{\frac{1}{7}} \approx 0{,}950$ .
De afname is 5,0% per dag.

!Nooit percentages vermenigvuldigen of delen

"4% per maand is 48% per jaar" en "30% per week is $30 : 7 \approx 4{,}3\%$ per dag" zijn allebei fout. Bij exponentiële groei reken je altijd via de groeifactor met een macht.

≈Een verdubbelingstijd met een macht

Verdubbelt een hoeveelheid elke 4 jaar, dan is de groeifactor per 4 jaar gelijk aan 2. Per jaar is dat $2^{\frac{1}{4}} \approx 1{,}189$ , dus 18,9% per jaar. Dit geeft hetzelfde als $g^4 = 2$ oplossen met de GR (les 9.1b), maar je hebt geen vergelijking nodig.

Rond groeifactoren af op drie decimalen, tenzij er iets anders gevraagd wordt.

Even controleren

Snap je het?

Een hoeveelheid neemt per dag met 20% toe. Wat is de groeifactor per uur?

Een hoeveelheid neemt per kwartier met 50% toe. Met hoeveel procent per uur?

Een stof halveert elke 30 jaar. Wat is de groeifactor per jaar?

↗Hoe hangt dit samen?

In de volgende les gebruik je dit om een formule op te stellen als je de hoeveelheid op twee tijdstippen kent.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

$N = b \cdot g^t$	exponentiële groei met groeifactor $g$ per tijdseenheid
$b \cdot g^{t+n} = b \cdot g^t \cdot g^n$	$n$ tijdseenheden later is de exponent $n$ groter
$g_n = g^n$	de hoeveelheid is dus met $g^n$ vermenigvuldigd

Grootheid	Symbool	Eenheid
hoeveelheid	$N$	hangt af van de situatie (aantal, m², euro, ...)
beginwaarde (hoeveelheid op $t = 0$ )	$b$	dezelfde eenheid als $N$
groeifactor per tijdseenheid	$g$	geen eenheid
groeipercentage	$p$	procent (%)
tijd	$t$	jaar, maand, dag, uur, ...
verdubbelingstijd of halveringstijd	de oplossing $t$ van $g^t = 2$ of $g^t = 0{,}5$	dezelfde eenheid als $t$
toename per tijdseenheid (lineair)	$a$	eenheid van $N$ per tijdseenheid

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle g = 1 + \frac{p}{100} \quad\text{(toename)} \qquad g = 1 - \frac{p}{100} \quad\text{(afname)}$	groeifactor bij een groeipercentage	Zelf afleiden	9.1a
$\displaystyle N = b \cdot g^t$	exponentiële groei	Zelf afleiden	9.1a
$\displaystyle g^t = 2 \qquad\qquad g^t = 0{,}5$	verdubbelingstijd en halveringstijd	Zelf afleiden	9.1b
$\displaystyle g_n = g^n$	groeifactor per n tijdseenheden	Zelf afleiden	9.2a
$\displaystyle g = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^{\frac{1}{t_2 - t_1}}$	groeifactor uit twee meetpunten	Zelf afleiden	9.2b
$\displaystyle N = at + b \qquad a = \frac{\Delta N}{\Delta t}$	lineaire formule	Zelf afleiden	9.3a
$\displaystyle \frac{1}{a^p} = a^{-p}$	negatieve exponent	Zelf afleiden	9.4a
$\displaystyle a^{pq} = \left(a^p\right)^q$	macht van een macht	Zelf afleiden	9.4a
$\displaystyle a^{p+q} = a^p \cdot a^q$	som in de exponent	Zelf afleiden	9.4a