Leeromgeving›Wiskunde›5 havo wiskunde A›H11 Formules en variabelen

Hoofdstuk 11 · 74 opdrachten uitgewerkt

Formules en variabelen

Ongelijkheden en gebieden tekenen, herleiden en vrijmaken (ook met wortels en breuken), redeneren met formules (toenemen, afnemen, grenswaarde) en formulevaardigheden met de GR.

Klik een paragraaf open, en daarna de opdracht die je wilt nakijken.

14 opdrachten

Zo pak je het aan

Een lijn px + qy = c tekenen. Bereken twee punten: neem x = 0 en reken y uit, en neem y = 0 en reken x uit. Of een punt op de lijn ligt, controleer je door het in te vullen.

Een ongelijkheid tekenen (theorie A) gaat in drie stappen:

Teken de grenslijn: vervang het ongelijkteken door =.
Kies een testpunt dat niet op de lijn ligt. Meestal is (0, 0) het makkelijkst. Ligt (0, 0) op de lijn, neem dan bijvoorbeeld (0, 1).
Vul het testpunt in. Klopt de ongelijkheid, dan kleur je de kant van het testpunt. Klopt hij niet, dan kleur je de andere kant.

Bij ≤ of ≥ hoort de grenslijn bij het gebied: geef hem dezelfde kleur. Bij meerdere ongelijkheden is het gebied het deel waar ze allemaal gelden.

Ongelijkheden bij een gebied opstellen. Stel per grenslijn de vergelijking op, en bepaal aan welke kant het gebied ligt.

Opdracht V1

a Lijn k: 2x + 5y = 10 gaat door (0, 2) en (5, 0). Lijn l: 3x − y = 0 gaat door (0, 0) en (1, 3). Lijn m: y = 4 is horizontaal en lijn n: x = 3 is verticaal.

b Vul x = −5 en y = 4 in.

k: 2 · −5 + 5 · 4 = 10, dus (−5, 4) ligt op k.
l: 3 · −5 − 4 = −19 ≠ 0, dus niet op l.
m: alle punten met y = 4 liggen op m, dus (−5, 4) ligt op m.
n: alleen punten met x = 3 liggen op n, dus niet op n.

c (2, 7): 3 · 2 − 7 = −1 ≠ 0, dus niet op l. (20, 60): 3 · 20 − 60 = 0, dus wel op l.

Opdracht 1

a Lees af: A(1, 1) en B(2, −1).

A: 2 · 1 + 3 · 1 = 5 < 9.
B: 2 · 2 + 3 · −1 = 1 < 9.

b Bijvoorbeeld (1, 2): 2 · 1 + 3 · 2 = 8 < 9.

c Bijvoorbeeld (3, 2): 2 · 3 + 3 · 2 = 12 > 9.

d Boven lijn k geldt 2x + 3y > 9.

Opdracht 2

De vier halfvlakken. Het gekleurde gebied hoort bij de ongelijkheid, de grenslijn hoort er steeds bij.

a De grenslijn x + 2y = 6 gaat door (0, 3) en (6, 0). Testpunt (0, 0): 0 + 2 · 0 = 0, en dat is niet ≥ 6. Kleur dus de kant zonder (0, 0): het gebied boven en op de lijn.

b De grenslijn x − y = 2 gaat door (0, −2) en (2, 0). Testpunt (0, 0): 0 − 0 = 0 ≤ 2. Dat klopt, dus kleur de kant met (0, 0): het gebied boven en op de lijn.

c De grenslijn x = 3 is de verticale lijn door (3, 0). Kleur het gebied rechts van en op die lijn.

d De grenslijn y = 2 is de horizontale lijn door (0, 2). Kleur het gebied onder en op die lijn.

Opdracht 3

a Het punt (0, 0) ligt op de grenslijn 2x + y = 0. Dan zegt het niets over welke kant je moet kleuren.

b De grenslijn 2x + y = 0 gaat door (0, 0) en (1, −2). Neem testpunt (0, 1): 2 · 0 + 1 = 1, en dat is niet < 0. Kleur dus de andere kant: het gebied links onder de lijn, zonder de lijn zelf.

2x + y < 0. Het testpunt (0, 1) (oranje) voldoet niet, dus het gebied ligt aan de andere kant.

Opdracht 4

a De grenslijn 3x + 4y = 12 gaat door (0, 3) en (4, 0). Testpunt (0, 0): 0 ≤ 12 klopt. Kleur het gebied onder en op de lijn.

b De grenslijn x − y = 0 gaat door (0, 0) en (1, 1). Testpunt (0, 1): 0 − 1 = −1, en dat is niet ≥ 0. Kleur het gebied onder en op de lijn.

c y ≥ 3x: kleur het gebied boven en op de lijn y = 3x.

d y = 4 − x is de lijn door (0, 4) met richtingscoëfficiënt −1. Bij y ≤ 4 − x kleur je het gebied onder en op de lijn. (In het nakijkboekje staat hier "boven", maar de tekening daar laat terecht het gebied eronder zien.)

Opdracht 5

a De punten waarvoor 2 < x + y < 5 geldt, liggen tussen de lijnen k en l: boven l en onder k.

b Kleur de strook tussen de lijnen x + y = 2 en x + y = 5. De lijnen zelf horen er niet bij.

Opdracht 6

a Het rode gebied ligt tussen en op de verticale lijnen x = 2 en x = 4, dus 2 ≤ x ≤ 4. Het ligt ook tussen en op de lijnen x − y = −1 en x − y = −3, dus −3 ≤ x − y ≤ −1. Alleen de punten die aan beide voldoen, vormen het rode gebied.

b Tussen en op de y-as en de lijn x = 2, en tussen en op de lijnen y = 5 en y = 7. Dat is een rechthoek.

c De grenslijn x − y = −1 gaat door (0, 1) en (−1, 0). Testpunt (0, 0): 0 ≥ −1 klopt, dus het gebied ligt onder en op die lijn. Verder links van en op x = 2, en boven en op de x-as. Dat geeft een driehoek met hoekpunten (−1, 0), (2, 0) en (2, 3).

Opdracht 7

De grenslijn 2x + 3y = 6 gaat door (0, 2) en (3, 0). Testpunt (0, 0): 0, en dat is niet ≥ 6. Het gebied ligt dus boven en op deze lijn, en ook tussen en op de lijnen y = 1 en y = 4.

Opdracht 8

De paarse lijn is x = 40. Het gebied ligt op en links van deze lijn, dus x ≤ 40.
De blauwe en de oranje lijn zijn evenwijdig met richtingscoëfficiënt 10 / 20 = 0,5. De blauwe lijn gaat door (0, 20): y = 0,5x + 20, oftewel y − 0,5x = 20. De oranje lijn gaat door (0, 0): y − 0,5x = 0. Het gebied ligt ertussen, dus 0 ≤ y − 0,5x ≤ 20.
De groene lijn gaat door (30, 0) en heeft richtingscoëfficiënt −1: y = −x + 30, oftewel x + y = 30. Het gebied ligt boven en op die lijn, dus x + y ≥ 30.

Opdracht 9

Het gebied ligt tussen en op de grafieken van A = 2 en A = 10, en tussen en op de grafieken van B = 0 en B = 4. B = 0 is de lijn 2x − y = 0, door (0, 0) en (2, 4). B = 4 is de lijn 2x − y = 4, door (2, 0) en (4, 4).

Opdracht 10

a Vertaal elke voorwaarde naar een ongelijkheid.

Maximaal 40 bomen: B + E ≤ 40.
Minimaal 10 en ten hoogste 25 eiken: 10 ≤ E ≤ 25.
Minstens evenveel eiken als beuken: E ≥ B.
Een aantal kan niet negatief zijn: B ≥ 0.

b De grenslijn B + E = 40 gaat door (0, 40) en (40, 0). Testpunt (0, 0): 0 ≤ 40 klopt, dus het gebied ligt onder en op die lijn. Verder tussen en op E = 10 en E = 25, boven en op de lijn E = B, en rechts van de E-as.

Het gebied bij de ongelijkheden. De oranje stippellijn hoort bij vraag c.

c Ga bij E = 15 horizontaal door het gebied. De rand rechts is de lijn E = B, dus B ≤ 15. Men kan nog maximaal 15 beuken planten.

Opdracht 11

a Het meest linkse punt van het gebied in de rechterfiguur ligt bij 180 gram verteerbare koolhydraten.

b In de linkerfiguur zoek je de punten waar verzadigd plus onverzadigd zo groot mogelijk is. Alle punten op het lijnstuk van (5, 85) tot (25, 65) geven samen 90 gram vet. (Langs dat lijnstuk geldt: 5 gram meer verzadigd betekent 5 gram minder onverzadigd.)

c Bij 30 gram onverteerbaar is 7,5 · 30 = 225 gram verteerbaar. Bij 40 gram onverteerbaar is dat 7,5 · 40 = 300 gram. Teken de lijn door (225, 30) en (300, 40). Het gebied rechts van die lijn, binnen het advies, voldoet: daar is verteerbaar meer dan 7,5 keer onverteerbaar.

d Reken de energie per voedingsstof uit.

30 g onverteerbare koolhydraten: 30 · 2 = 60 kcal.
230 − 30 = 200 g verteerbare koolhydraten: 200 · 4 = 800 kcal.
60 g vet: 60 · 9 = 540 kcal.

Uit eiwit komt minimaal 2000 − 60 − 800 − 540 = 600 kcal. Dat is 600 / 4 = 150 gram eiwit.

e Neem zo weinig mogelijk verteerbare koolhydraten (180 g). Binnen het advies mag hij dan 40 g onverteerbare koolhydraten. Neem zoveel mogelijk onverzadigd vet: 85 g onverzadigd en 5 g verzadigd, samen 90 g. Neem ook het maximum aan eiwit: 150 g.

180 \cdot 4 + 40 \cdot 2 + 90 \cdot 9 + 150 \cdot 4 = 720 + 80 + 810 + 600 = 2210 \text{ kcal}

2210 ≥ 2000, dus hij kan aan zijn energiebehoefte voldoen.

Opdracht 12

a 2-3 geeft S = (2 + 1)(3 + 1) = 12. 1-4 geeft S = (1 + 1)(4 + 1) = 10. Omdat 12 > 10, is 2-3 spectaculairder.

b De roosterpunten (met x en y geheel en niet negatief) onder de grafiek van S = 5 zijn (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (2, 0) en (3, 0). De eindstanden zijn 0-0, 0-1, 0-2, 0-3, 1-0, 1-1, 2-0 en 3-0.

c x is het aantal doelpunten van de thuisploeg en y dat van de uitploeg. Samen is dat het totale aantal doelpunten: T = x + y.

d Bij 2-4 en 4-2 is T = 6 en S = 3 · 5 = 15. Dat kan dus.

e Bij gelijkspel geldt y = x. Het snijpunt van y = x met S = 30 is geen roosterpunt. Ook zonder figuur: 4-4 geeft S = 25 en 5-5 geeft S = 36. S = 30 kan dus niet bij gelijkspel.

f Zet de verwachtingen om in ongelijkheden.

Niet meer dan vijf doelpunten: x + y ≤ 5. Testpunt (0, 0) voldoet, dus onder en op de lijn x + y = 5.
Zijn team (de thuisploeg) verliest niet: x ≥ y, dus onder en op de lijn y = x.
5 ≤ S ≤ 10: tussen en op de grafieken van S = 5 en S = 10.

De roosterpunten in het gebied zijn de eindstanden 4-0, 5-0, 2-1, 3-1, 4-1 en 2-2.

Het gebied bij de verwachting van Stijn, met de bijbehorende eindstanden (oranje).

Opdracht C1

De grenslijn 2x + y = 6 gaat door (0, 6) en (3, 0). Testpunt (0, 0): 0, en dat is niet ≥ 6. Het gebied ligt dus boven en op die lijn, tussen en op y = 1 en y = 4, en links van en op x = 5. Zie de rechter figuur bij opdracht 7.

11.1 Grafieken en gebieden nagekeken?

17 opdrachten

Zo pak je het aan

Rekenregels voor wortels (theorie A). Ze werken twee kanten op:

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \qquad \sqrt{a^2} = a

Een factor uit de wortel halen: √(16k) = √16 · √k = 4√k. Gaat de wortel niet mooi op, rond dan af: √(10pq) = √10 · √(pq) ≈ 3,16√(pq).
Een factor onder de wortel brengen: 3√x = √9 · √x = √(9x). Je kwadrateert de factor.
Optellen kan alleen bij dezelfde wortel: 3√(ab) + 4√(ab) = 7√(ab).

Vrijmaken bij breuken (voorkennis):

\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \;\Rightarrow\; A \cdot D = B \cdot C \;\text{(kruislings)} \qquad P = \frac{Q}{R} \;\Rightarrow\; R = \frac{Q}{P} \;\text{(wisseleigenschap)}

Vrijmaken bij wortels (theorie B):

Zet de wortel apart (deel bijvoorbeeld door het getal ervoor).
Kwadrateer het linker- en rechterlid. Gebruik (√a)² = a en (ab)² = a²b².
Maak de variabele verder vrij.

Opdracht 13

a √(3²) = √9 = 3, √(4²) = √16 = 4 en √(5²) = √25 = 5. Kwadrateer je eerst en neem je daarna de wortel, dan krijg je het getal terug waarmee je begon.

b √(4 · 9) = √36 = 6 en √4 · √9 = 2 · 3 = 6. De uitkomsten zijn gelijk.

c √(64/16) = √4 = 2 en √64 / √16 = 8 / 4 = 2. De uitkomsten zijn gelijk.

Opdracht 14

Gebruik steeds √a · √b = √(ab) of √a / √b = √(a/b).

A = \sqrt{3a} \cdot \sqrt{5b} = \sqrt{3a \cdot 5b} = \sqrt{15ab}

B = \frac{\sqrt{10a}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{10a}{5}} = \sqrt{2a}

c Breng eerst de 5 onder de wortel: 5 = √25.

C = 5 \cdot \sqrt{3x} \cdot \sqrt{12y} = \sqrt{25 \cdot 3x \cdot 12y} = \sqrt{900xy}

D = \frac{\sqrt{20x}}{\sqrt{2y}} = \sqrt{\frac{20x}{2y}} = \sqrt{\frac{10x}{y}}

Opdracht 15

De oppervlakte is lengte maal breedte. Schrijf beide oppervlakten als één wortel en vergelijk.

a Opp. I = √(3a) · √(5a) = √(15a²) = √15 · a. Opp. II = √(2a) · √(7a) = √(14a²) = √14 · a. Omdat √15 > √14, is I het grootst.

b Opp. I = 2√b · √(6b) = √4 · √b · √(6b) = √(24b²) = √24 · b. Opp. II = √(5b) · √(5b) = √(25b²) = √25 · b. Omdat √25 > √24, is II het grootst.

c Opp. I = √(3c + 1) · √3 = √(9c + 3). Opp. II = √c · 3 = √c · √9 = √(9c). Omdat 9c + 3 > 9c, is I het grootst.

Opdracht 16

P = 0{,}04\sqrt{225x} = 0{,}04 \cdot \sqrt{225} \cdot \sqrt{x} = 0{,}04 \cdot 15 \cdot \sqrt{x} = 0{,}6\sqrt{x}

b Breng de 3 onder de wortel en voeg alles samen.

Q = \frac{3\sqrt{p} \cdot \sqrt{8p}}{\sqrt{0{,}05p}} = \frac{\sqrt{9 \cdot p \cdot 8p}}{\sqrt{0{,}05p}} = \sqrt{\frac{72p^2}{0{,}05p}} = \sqrt{1440p}

R = 2\sqrt{2p} \cdot \sqrt{8p} = 2\sqrt{16p^2} = 2 \cdot 4 \cdot p = 8p

Opdracht 17

F = \sqrt{5a} \cdot \sqrt{6b} = \sqrt{30ab} = \sqrt{30} \cdot \sqrt{ab} \approx 5{,}48\sqrt{ab}

F = \sqrt{12} \cdot \sqrt{3ab} = \sqrt{36ab} = 6\sqrt{ab}

F = \sqrt{6} \cdot \sqrt{2a} \cdot \sqrt{3b} = \sqrt{36ab} = 6\sqrt{ab}

F = 6\sqrt{3a} \cdot \sqrt{7b} = 6\sqrt{21ab} = 6\sqrt{21} \cdot \sqrt{ab} \approx 27{,}50\sqrt{ab}

e Dezelfde wortel, dus je mag optellen:

F = 3\sqrt{ab} + 4\sqrt{ab} = 7\sqrt{ab}

f Haal eerst de factoren uit de wortels:

F = \sqrt{25ab} - \sqrt{9ab} = 5\sqrt{ab} - 3\sqrt{ab} = 2\sqrt{ab}

Opdracht 18

N = \sqrt{\frac{27x^3y}{3xy}} = \sqrt{9x^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{x^2} = 3x

M = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12a}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{36a}} = \frac{2}{6\sqrt{a}} = \frac{1}{3\sqrt{a}}

Opdracht 19

a Vul g = 9,8 in en haal h uit de wortel:

t = \sqrt{\frac{2h}{9{,}8}} = \sqrt{\frac{2}{9{,}8}} \cdot \sqrt{h} \approx 0{,}45\sqrt{h}

b h = 84 geeft:

t = \sqrt{\frac{2 \cdot 84}{9{,}8}} = 4{,}14\ldots

De steen doet er 4 seconden over.

c Bij een twee keer zo hoge brug:

t = \sqrt{\frac{2 \cdot 2h}{9{,}8}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{2h}{9{,}8}} \approx 1{,}414 \cdot t_{\text{oud}}

De tijd neemt toe met 41,4%. Controle met b: h = 168 geeft t = 5,85..., en (5,85... − 4,14...) / 4,14... · 100% ≈ 41,4%.

Opdracht V2

a Gebruik de wisseleigenschap, en maak daarna y vrij.

x = \frac{4}{y+2} \;\Rightarrow\; y + 2 = \frac{4}{x} \;\Rightarrow\; y = \frac{4}{x} - 2

b Vermenigvuldig kruislings, en werk de haakjes weg.

\frac{y}{2x} = \frac{4x+7}{4} \;\Rightarrow\; 4y = 2x(4x+7) = 8x^2 + 14x \;\Rightarrow\; y = 2x^2 + 3{,}5x

Opdracht 20

a (√3)² = 3, (√4)² = 4 en (√x)² = x.

b Kwadrateer het linker- en rechterlid van y = √x: y² = x, dus x = y².

Opdracht 21

a Zet de wortel apart, kwadrateer en maak S vrij.

5\sqrt{2S} = R \;\Rightarrow\; \sqrt{2S} = 0{,}2R \;\Rightarrow\; 2S = 0{,}04R^2 \;\Rightarrow\; S = 0{,}02R^2

\sqrt{\frac{Q}{1{,}8}} = P \;\Rightarrow\; \frac{Q}{1{,}8} = P^2 \;\Rightarrow\; Q = 1{,}8 \cdot P^2

Opdracht 22

a Deel door 0,5, kwadrateer, en gebruik de wisseleigenschap.

0{,}5\sqrt{\frac{20}{Q}} = B \;\Rightarrow\; \sqrt{\frac{20}{Q}} = 2B \;\Rightarrow\; \frac{20}{Q} = 4B^2 \;\Rightarrow\; Q = \frac{20}{4B^2} = 5 \cdot B^{-2}

b Vermenigvuldig kruislings, zet de wortel apart en kwadrateer.

\frac{5}{H} = \frac{3}{\sqrt{R}} \;\Rightarrow\; 5\sqrt{R} = 3H \;\Rightarrow\; \sqrt{R} = 0{,}6H \;\Rightarrow\; R = 0{,}36H^2

Opdracht 23

a Vul n = 10x en m = 1/3 in, en maak x vrij.

\tfrac{1}{3}\sqrt{10x} = y \;\Rightarrow\; \sqrt{10x} = 3y \;\Rightarrow\; 10x = 9y^2 \;\Rightarrow\; x = 0{,}9y^2

b Vul n = 1,44x² en m = 4x² in.

y = 4x^2\sqrt{1{,}44x^2} = 4x^2 \cdot \sqrt{1{,}44} \cdot \sqrt{x^2} = 4x^2 \cdot 1{,}2 \cdot x = 4{,}8x^3

Opdracht 24

Maak p vrij uit K = √p: kwadrateren geeft p = K². Substitueer dat in n = p + K:

n = K^2 + K = K(K+1)

Opdracht 25

T = \pi \cdot \sqrt{0{,}408 \cdot l} = \pi \cdot \sqrt{0{,}408} \cdot \sqrt{l} \approx 2{,}007\sqrt{l}

Dus a ≈ 2,007.

b 99,4 cm is 0,994 m. T = π · √(0,408 · 0,994) ≈ 2,00, dus ongeveer 2 seconden.

c Maak l vrij: deel door π, kwadrateer en deel door 0,408.

\sqrt{0{,}408 \cdot l} = \frac{T}{\pi} \;\Rightarrow\; 0{,}408 \cdot l = \frac{T^2}{\pi^2} \;\Rightarrow\; l = \frac{1}{0{,}408\pi^2} \cdot T^2 = 0{,}248336\ldots \cdot T^2

Dus b ≈ 0,24834.

d T = 0,5 geeft l = 0,24834 · 0,5² ≈ 0,0621 m. De slinger is 62 mm lang.

Opdracht C2

K = \sqrt{3x} \cdot \sqrt{4y} = \sqrt{12xy}

L = \frac{\sqrt{4pq}}{\sqrt{2p}} = \sqrt{\frac{4pq}{2p}} = \sqrt{2q}

M = \sqrt{1{,}5s} \cdot \sqrt{6s} = \sqrt{9s^2} = 3s

Opdracht C3

N = 1{,}8\sqrt{2{,}5x} = 1{,}8 \cdot \sqrt{2{,}5} \cdot \sqrt{x} \approx 2{,}8\sqrt{x}

b Breng 1,8 onder de wortel: 1,8 = √3,24.

N = \sqrt{3{,}24} \cdot \sqrt{2{,}5x} = \sqrt{8{,}1x}

Opdracht C4

25\sqrt{0{,}002Q} = P \;\Rightarrow\; \sqrt{0{,}002Q} = 0{,}04P \;\Rightarrow\; 0{,}002Q = 0{,}0016P^2 \;\Rightarrow\; Q = 0{,}8P^2

11.2 Herleiden en vrijmaken nagekeken?

9 opdrachten

Zo pak je het aan

Een redenering werkt stap voor stap van binnen naar buiten, tot je bij de hele formule bent. Getallenvoorbeelden of een schets van de grafiek tellen niet als redenering.

Grenswaarde: begin met "Als x (of t) heel groot wordt, dan ...".
Stijgend of dalend: begin met "Als x (of t) toeneemt, dan ...".

Wat de bouwstenen doen, met x > 0 (theorie A):

als x toeneemt	als x heel groot wordt
√x neemt toe	√x wordt heel groot
xⁿ neemt toe als n > 0	xⁿ wordt heel groot als n > 0
xⁿ neemt af als n < 0	xⁿ nadert tot 0 als n < 0
gˣ neemt toe als g > 1, af als 0 < g < 1	gˣ wordt heel groot als g > 1, nadert tot 0 als 0 < g < 1

Daarna gebruik je:

Vermenigvuldigen met een positief getal of er een getal bij optellen verandert de richting niet.
Iets aftrekken dat toeneemt, maakt de uitkomst kleiner.
Een breuk met een positieve teller wordt kleiner als de noemer groter wordt.
Neemt de teller toe en de noemer af, dan neemt de breuk toe.

Opdracht V3

a Als t toeneemt, dan neemt 1,4ᵗ toe, dus dan neemt 2 / 1,4ᵗ af, dus dan neemt 25 − 2 / 1,4ᵗ toe. De grafiek van A is stijgend.

b Als t heel groot wordt, dan nadert 0,79ᵗ tot 0, dus dan wordt 2 + 0,79ᵗ ≈ 2, dus dan wordt 7,5(2 + 0,79ᵗ) ≈ 7,5 · 2 = 15. De grenswaarde is 15.

Opdracht 26

Als x toeneemt (met x > 0):

I: y = 2 − x neemt af, want er wordt steeds meer van 2 afgetrokken.
II: y = −2x neemt af.
III: y neemt toe.
IV: y neemt af.
V: y = √x neemt toe.

Opdracht 27

a Als x toeneemt, dan neemt √x toe, dus dan neemt 3,5 · √x toe en dan neemt 3,5 · √x − 2 ook toe. De grafiek van P is stijgend.

b Als x heel groot wordt, dan wordt x² heel groot, dus dan wordt x² + 1 heel groot en dan nadert 10 / (x² + 1) tot 0. Dan wordt Q ≈ 2 − 0 = 2. De grenswaarde is 2.

c Als x toeneemt, dan neemt 2x toe, dus dan neemt 2x + 3 toe en dan neemt 20 / (2x + 3) af. Dan neemt 20 / (2x + 3) + 50 ook af. De grafiek van R is dalend.

Opdracht 28

a Stijgen of dalen: als x toeneemt, dan neemt √x toe, dus dan neemt 2 + √x toe en dan neemt 80 / (2 + √x) af. Dan neemt 40 + 80 / (2 + √x) ook af. De grafiek van A is dalend.

Grenswaarde: als x heel groot wordt, dan wordt √x heel groot, dus dan wordt 2 + √x heel groot en dan nadert 80 / (2 + √x) tot 0. Dan wordt A ≈ 40 + 0 = 40. De grenswaarde is 40.

b Stijgen of dalen: als x toeneemt, dan neemt 0,65ˣ af, dus dan neemt 333 · 0,65ˣ af en dan neemt 250 + 333 · 0,65ˣ af. De noemer wordt kleiner, dus 18 000 / (250 + 333 · 0,65ˣ) neemt toe. De grafiek van B is stijgend.

Grenswaarde: als x heel groot wordt, dan nadert 0,65ˣ tot 0, dus dan wordt 333 · 0,65ˣ ≈ 0 en 250 + 333 · 0,65ˣ ≈ 250. Dan wordt B ≈ 18 000 / 250 = 72. De grenswaarde is 72.

c Stijgen of dalen: als x toeneemt, dan neemt x tot de macht −0,4 af (negatieve exponent), dus dan neemt 0,85 · x tot de macht −0,4 af en dan neemt 1,02 − 0,85 · x tot de macht −0,4 toe. De grafiek van C is stijgend.

Grenswaarde: als x heel groot wordt, dan nadert x tot de macht −0,4 tot 0, dus dan wordt 0,85 · x tot de macht −0,4 ≈ 0 en C ≈ 1,02 − 0 = 1,02. De grenswaarde is 1,02.

Opdracht 29

a Als L afneemt, dan neemt 6L af en dan neemt 1 / (6L) toe. Dus dan neemt √(1/(6L)) toe en ook 9√(1/(6L)). Dan neemt −2 + 9√(1/(6L)) ook toe. Als L afneemt, neemt K dus toe.

b Als N toeneemt, dan neemt 0,5⁻ᴺ toe, dus M neemt dan toe. Uit de tweede formule volgt dat dan ook 5 / P toeneemt. Een breuk met teller 5 neemt alleen toe als de noemer afneemt. Als N toeneemt, neemt P dus af.

Opdracht 30

a Vul P = 3 en P = 4 in de formule voor C in.

C_3 = 0{,}005 \cdot \left(\tfrac{4}{3}\right)^{0{,}7} = 0{,}00611\ldots \qquad C_4 = 0{,}005 \cdot \left(\tfrac{4}{4}\right)^{0{,}7} = 0{,}005

\frac{0{,}00611\ldots - 0{,}005}{0{,}005} \cdot 100\% \approx 22{,}3\%

Bij 3 bar is C inderdaad ruim 22% groter.

b Als P afneemt, dan neemt 4 / P toe, dus dan neemt (4/P) tot de macht 0,7 toe en dan neemt 0,005 · (4/P) tot de macht 0,7 toe. C neemt dus toe, en bij een hogere C hoort een grotere rolweerstand. Als de bandenspanning afneemt, neemt de rolweerstand dus toe.

c Vul V = 300 in, met de waarden van C uit vraag a.

s_4 = \frac{300}{2180 \cdot 0{,}005} = 27{,}52\ldots \qquad s_3 = \frac{300}{2180 \cdot 0{,}00611\ldots} = 22{,}50\ldots

Het scheelt 27,52... − 22,50... ≈ 5 km/uur.

d Als P toeneemt, dan neemt C af (zie b, andersom). Dan neemt 2180 · C af. V blijft gelijk en is positief, dus V / (2180 · C) neemt dan toe. Als P toeneemt, neemt s dus toe: bij hetzelfde vermogen geeft een hogere bandenspanning een hogere snelheid.

Opdracht 31

a Als x toeneemt, dan neemt 1 − x af. Als x toeneemt, dan neemt √x toe. Van (1 − x) / √x neemt de teller af en de noemer toe, dus (1 − x) / √x neemt af. De grafiek van A is dalend.

b Als x toeneemt, dan neemt x / 22 toe, dus dan neemt 3 + x / 22 toe. Beide factoren x en 3 + x / 22 zijn positief en nemen toe, dus x(3 + x / 22) neemt toe. De grafiek van B is stijgend.

c Als x toeneemt, dan neemt x tot de macht 2,3 toe, dus de teller x tot de macht 2,3 + 1 neemt toe. Als x toeneemt, dan neemt 0,3ˣ af, dus de noemer 20 · 0,3ˣ neemt af. De teller neemt toe en de noemer neemt af, dus de breuk neemt toe. De grafiek van C is stijgend.

Opdracht 32

De formule is P = 0,2 · (500 − Q) · R / (0,5 · S).

Als Q toeneemt, dan neemt 500 − Q af. R blijft gelijk en is positief, dus (500 − Q) · R neemt af: de teller wordt kleiner.

P neemt toe, dus de breuk (500 − Q) · R / (0,5 · S) moet toenemen. Een breuk waarvan de teller afneemt, kan alleen toenemen als de noemer ook afneemt. Dus 0,5 · S neemt af, en daarmee neemt S af.

Opdracht C5

a Stijgen of dalen: als x toeneemt, dan neemt √x toe, dan neemt 2 + √x toe, dan neemt 12 / (2 + √x) af en dan neemt 12 / (2 + √x) + 5 af. De grafiek van y is dalend.

Grenswaarde: als x heel groot wordt, dan wordt √x heel groot, dus 2 + √x wordt heel groot en 12 / (2 + √x) nadert tot 0. Dan wordt y ≈ 0 + 5 = 5. De grenswaarde is 5.

b Als N afneemt, dan neemt 50 − N toe, dan neemt (20/6) · (50 − N) toe en dan neemt 100 − (20/6) · (50 − N) af. Als N afneemt, neemt P dus af.

11.3 Redeneren met formules nagekeken?

19 opdrachten

Zo pak je het aan

In deze paragraaf komen alle vaardigheden door elkaar terug (theorie A en B). Kies per stap de regel die je nodig hebt, en schrijf hem erbij.

Breuken (voorkennis):

Vermenigvuldigen: teller maal teller en noemer maal noemer.
Delen door een breuk: vermenigvuldigen met het omgekeerde.
Optellen of aftrekken: maak eerst de breuken gelijknamig.

Machten (voorkennis):

a^p \cdot a^q = a^{p+q} \quad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \quad (a^p)^q = a^{pq} \quad (ab)^p = a^p b^p \quad a^{-p} = \frac{1}{a^p}

Substitueren en combineren (voorkennis): vervang een variabele door de formule waaraan hij gelijk is, en herleid daarna. Moet een variabele verdwijnen die niet vrij staat, maak die dan eerst vrij.

Met de GR (theorie B): gebruik de opties maximum, minimum, snijpunt en oplossen, en schrijf op wat je invoert.

Opdracht V4

a Maak gelijknamig met noemer 2x:

A = \frac{1}{x} + \frac{y}{2x} = \frac{2}{2x} + \frac{y}{2x} = \frac{2 + y}{2x}

B = \frac{2b}{a} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6b}{4a} = \frac{3b}{2a}

c Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde:

C = \frac{3p}{2} : \frac{5q}{p} = \frac{3p}{2} \cdot \frac{p}{5q} = \frac{3p^2}{10q}

D = \frac{4}{a} - \frac{3}{b} = \frac{4b}{ab} - \frac{3a}{ab} = \frac{4b - 3a}{ab}

E = 5 + \frac{2}{x} = \frac{5x}{x} + \frac{2}{x} = \frac{5x + 2}{x}

F = y \cdot \frac{2}{x} = \frac{2y}{x}

Opdracht V5

P = (-2a^4)^2 \cdot a^3 = 4a^8 \cdot a^3 = 4a^{11}

Q = x^{-2} \cdot \frac{x^7}{x^2} = x^{-2} \cdot x^5 = x^3

R = 3(pq)^6 \cdot p = 3p^6q^6 \cdot p = 3p^7q^6

S = 20(a^5)^2 - (3a^5)^2 = 20a^{10} - 9a^{10} = 11a^{10}

T = (x^{0{,}34} \cdot x^{1{,}04})^{2{,}5} = (x^{1{,}38})^{2{,}5} = x^{3{,}45}

U = \frac{(ab)^{1{,}2}}{a^{0{,}2}} = \frac{a^{1{,}2}b^{1{,}2}}{a^{0{,}2}} = ab^{1{,}2}

Opdracht V6

K = 3{,}2 \cdot \frac{5{,}6}{4 \cdot 1{,}25^t} = 3{,}2 \cdot \frac{5{,}6}{4} \cdot \frac{1}{1{,}25^t} = 4{,}48 \cdot (1{,}25^{-1})^t = 4{,}48 \cdot 0{,}8^t

L = 25^{0{,}5x - 1} = 25^{0{,}5x} \cdot 25^{-1} = (25^{0{,}5})^x \cdot 0{,}04 = 0{,}04 \cdot 5^x

c Splits de breuk:

M = \frac{3y + 4y^{1{,}2}}{2y} = \frac{3y}{2y} + \frac{4y^{1{,}2}}{2y} = 1{,}5 + 2y^{0{,}2}

Opdracht V7

a Substitueer p = 1,5q + 2:

R = 3(1{,}5q + 2) - 4q + 5 = 4{,}5q + 6 - 4q + 5 = 0{,}5q + 11

b Maak b eerst vrij uit 5a − 8b = 160: −8b = −5a + 160, dus b = 0,625a − 20. Substitueer:

C = 2a - 3(0{,}625a - 20) + 64 = 2a - 1{,}875a + 60 + 64 = 0{,}125a + 124

c Substitueer p = −5q³:

K = (-5q^3)^2 + 5q^6 = 25q^6 + 5q^6 = 30q^6

Opdracht 33

M = \frac{5}{t} - 3t = \frac{5}{t} - \frac{3t \cdot t}{t} = \frac{5 - 3t^2}{t}

b Substitueer p = q² − 8q, en splits daarna de breuk:

R = \frac{0{,}5(q^2 - 8q) + 5}{q} = \frac{0{,}5q^2 - 4q + 5}{q} = 0{,}5q - 4 + \frac{5}{q}

N = \frac{423}{5 \cdot 1{,}3^t} = \frac{423}{5} \cdot (1{,}3^{-1})^t \approx 84{,}6 \cdot 0{,}769^t

d Substitueer n = 3 − 2t:

P = 20 + \frac{3 - 2t}{5} = 20 + 0{,}6 - 0{,}4t = -0{,}4t + 20{,}6

e Vereenvoudig eerst binnen de haakjes, en neem dan de macht:

P = \left(\frac{5{,}1x^{1{,}6}}{3x^{1{,}7}}\right)^4 = (1{,}7x^{-0{,}1})^4 = 1{,}7^4 \cdot x^{-0{,}4} \approx 8{,}4x^{-0{,}4}

Opdracht 34

a Schrijf de breuk als getal maal machten, en gebruik de rekenregels voor machten:

N = \frac{3t^{-1{,}12}}{2t} \cdot t^{3{,}15} = 1{,}5 \cdot t^{-1{,}12 - 1} \cdot t^{3{,}15} = 1{,}5 \cdot t^{-2{,}12} \cdot t^{3{,}15} = 1{,}5t^{1{,}03}

b Gebruik de balansmethode. De noemer 6 + K staat op de plek van de onbekende noemer: verwissel die met F.

F = \frac{100}{6 + K} \quad\Rightarrow\quad 6 + K = \frac{100}{F} \quad\Rightarrow\quad K = \frac{100}{F} - 6

c Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde:

M = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{t + 1} \cdot \frac{2t + 1}{5} = \frac{2}{t + 1} \cdot \frac{2t + 1}{5} = \frac{2(2t + 1)}{5(t + 1)} = \frac{4t + 2}{5t + 5}

d Werk de haakjes weg en maak x vrij:

\begin{aligned} 2(x - 5) - 3(y + 1) &= 15 \\ 2x - 10 - 3y - 3 &= 15 \\ 2x &= 3y + 28 \\ x &= 1{,}5y + 14 \end{aligned}

e Maak eerst √N vrij, kwadrateer, en substitueer daarna in B = N − 1:

\begin{aligned} 6 - 0{,}6\sqrt{N} &= 1{,}5A \\ -0{,}6\sqrt{N} &= 1{,}5A - 6 \\ \sqrt{N} &= -2{,}5A + 10 \\ N &= (-2{,}5A + 10)^2 \end{aligned}

Dus B = (−2,5A + 10)² − 1.

f Schrijf het rechterlid als breuk 16/1 en vermenigvuldig kruiselings:

\begin{aligned} \frac{4A}{3(2t - 20)} &= \frac{16}{1} \\ 4A &= 48(2t - 20) \\ 4A &= 96t - 960 \\ A &= 24t - 240 \end{aligned}

g Vul H = 15 en q = 6 in, en maak p vrij:

\begin{aligned} \frac{5p \cdot 6}{12(6 - r)} &= 15 \\ 30p &= 15 \cdot 12(6 - r) = 180(6 - r) \\ p &= 6(6 - r) = 36 - 6r \end{aligned}

Dus p = −6r + 36.

h Vul L = 16 en t = 5 in, en maak y vrij:

\begin{aligned} 5^2 \cdot \frac{5 - x}{5y} + 6 &= 16 \\ 25 \cdot \frac{5 - x}{5y} &= 10 \\ \frac{5 - x}{5y} &= \frac{10}{25} \\ 50y &= 25(5 - x) \\ y &= 0{,}5(5 - x) = -0{,}5x + 2{,}5 \end{aligned}

Opdracht 35

\begin{aligned} A \cdot \left(2 - \frac{x}{50}\right) &= 1 \\ 2 - \frac{x}{50} &= \frac{1}{A} \\ -\frac{x}{50} &= -2 + \frac{1}{A} \\ x &= 100 - \frac{50}{A} \end{aligned}

b Maak gelijknamig met noemer t(t + 1):

N = \frac{5}{t + 1} - \frac{4}{t} = \frac{5t}{t(t + 1)} - \frac{4(t + 1)}{t(t + 1)} = \frac{5t - 4t - 4}{t(t + 1)} = \frac{t - 4}{t^2 + t}

\begin{aligned} 8 - \frac{2y}{x + 6} &= x \\ -\frac{2y}{x + 6} &= x - 8 \\ -2y &= (x - 8)(x + 6) = x^2 - 2x - 48 \\ y &= -\tfrac{1}{2}x^2 + x + 24 \end{aligned}

d Uit 0,5p = q volgt p = 2q. Substitueer en deel door een breuk door te vermenigvuldigen met het omgekeerde:

F = \frac{2}{5} \cdot \frac{1 - 2q - q}{16} : \frac{1 - 2q}{10} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1 - 3q}{16} \cdot \frac{10}{1 - 2q} = \frac{20(1 - 3q)}{80(1 - 2q)} = \frac{1 - 3q}{4 - 8q} = \frac{3q - 1}{8q - 4}

e Gebruik √(ab) = √a · √b:

P = \sqrt{30Q} - \sqrt{5Q} = \sqrt{30} \cdot \sqrt{Q} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{Q} = (5{,}477\ldots - 2{,}236\ldots)\sqrt{Q} \approx 3{,}24\sqrt{Q}

Opdracht 36

a Er geldt t = m/12. Substitueer in de formule van model I:

\begin{aligned} A_{\text{I}} &= -2{,}15\left(\tfrac{1}{12}m\right)^2 + 71 \cdot \tfrac{1}{12}m + 750 \\ &= -2{,}15 \cdot \tfrac{1}{144}m^2 + \tfrac{71}{12}m + 750 \\ &\approx -0{,}01493m^2 + 5{,}92m + 750 \end{aligned}

b Als m heel groot wordt, nadert 1,02⁻ᵐ = 1/1,02ᵐ tot 0. Dan wordt 1 + 1,02⁻ᵐ ≈ 1 + 0 = 1 en de breuk 1500/(1 + 1,02⁻ᵐ) ≈ 1500/1 = 1500. Het verzadigingsniveau is dus 1500 diersoorten.

c Het maximum van model I is 1336 (zie het voorbeeld, vraag b).

\frac{1500 - 1336}{1336} \cdot 100\% \approx 12{,}3\%

Het verzadigingsniveau van model II is 12,3% groter.

d Er moet gelden: model II = 1,1 · model I. Gebruik de formule van model II in jaren uit het voorbeeld.

Voer in y1 = 1500/(1 + 0,788ˣ) en y2 = 1,1 · (−2,15x² + 71x + 750). De optie snijpunt geeft x = 5,7...

Dus in januari van het jaar 2026.

Opdracht 37

a Vul n = 2400, B = 15 en V = 0,05 in:

Q = \sqrt{\frac{2 \cdot 15 \cdot 2400}{0{,}05}} = \sqrt{1\,440\,000} = 1200

De optimale bestelhoeveelheid is 1200 vazen.

b Vul B = 25 en V = 0,80 in:

Q = \sqrt{\frac{2 \cdot 25n}{0{,}80}} = \sqrt{62{,}5n} = \sqrt{62{,}5} \cdot \sqrt{n} = 7{,}90\ldots \cdot \sqrt{n}

Dus c ≈ 7,9.

\begin{aligned} 7{,}90\ldots \cdot \sqrt{n} &= 100 \\ \sqrt{n} &= 12{,}649\ldots \\ n &= 160 \end{aligned}

Er worden 160 strijkplanken per jaar verkocht.

d Vul B = 50 en V = 150 · n⁻¹ in:

Q = \sqrt{\frac{2 \cdot 50n}{150 \cdot n^{-1}}} = \sqrt{\tfrac{2}{3}n^2} = \sqrt{\tfrac{2}{3}} \cdot \sqrt{n^2} = 0{,}8164\ldots \cdot n

Dus d ≈ 0,816.

e Q = d · n is een recht evenredig verband. Wordt n k keer zo groot, dan wordt de optimale bestelhoeveelheid ook k keer zo groot.

Opdracht 38

a 1000 m² hoort bij x = 1 en 1500 m² bij x = 1,5.

x = 1 \;\Rightarrow\; K = 27{,}5 + \frac{15}{1} = 42{,}5 \qquad x = 1{,}5 \;\Rightarrow\; K = 27{,}5 + \frac{15}{1{,}5} = 37{,}5

\frac{37{,}5 - 42{,}5}{42{,}5} \cdot 100\% \approx -11{,}8\%

De kosten per m² dalen met 11,8%.

b Als x toeneemt, neemt 15/x af. Dus ook 27,5 + 15/x neemt af. Het bedrag per m² neemt dus af als de oppervlakte toeneemt.

c Voer in y1 = 27,5 + 15/x en y2 = 29,5. De optie snijpunt geeft x = 7,5.

K neemt af als x toeneemt, dus K ≤ 29,5 geldt bij x ≥ 7,5. De oppervlakte is dus minstens 7500 m² (en volgens de formule hooguit 10 000 m²).

d Bij 2000 m² hoort x = 2, en x = 2 geeft K = 27,5 + 15/2 = 35.

De jaarlijkse kosten zijn 2000 · 35 = 70 000 euro.

e De oppervlakte in m² is 1000x, dus de totale kosten zijn:

J = 1000x \cdot K = 1000x \cdot \left(27{,}5 + \frac{15}{x}\right) = 27\,500x + \frac{15\,000x}{x} = 27\,500x + 15\,000

Dus a = 27 500 en b = 15 000.

Opdracht 39

a Bereken het differentiequotiënt ΔT/Δt op twee intervallen:

\frac{80 - 100}{19 - 0} \approx -1{,}05 \qquad \frac{70 - 80}{31 - 19} \approx -0{,}83

ΔT/Δt is niet steeds gelijk, dus het verband is niet lineair.

b Voer in y1 = 80/1,015ˣ + 20 en kies het venster 0 ≤ x ≤ 120.

De grafiek van T daalt steeds minder snel en nadert de lijn T = 20.

c Vul de tijdstippen uit de tabel in:

\begin{aligned} t = 0 &\Rightarrow T = \frac{80}{1{,}015^0} + 20 = 100 & t = 19 &\Rightarrow T \approx 80{,}3 \\ t = 31 &\Rightarrow T \approx 70{,}4 & t = 65 &\Rightarrow T \approx 50{,}4 \end{aligned}

Dat zijn ongeveer de waarden uit de tabel (100, 80, 70 en 50). Het model klopt dus bij benadering.

d Een uur is 60 minuten:

t = 60 \;\Rightarrow\; T = \frac{80}{1{,}015^{60}} + 20 \approx 53

Na een uur is de temperatuur 53 °C.

e Voer in y1 = 80/1,015ˣ + 20 en y2 = 40. De optie snijpunt geeft x = 93,1...

Na ongeveer 93 minuten.

f Als t heel groot wordt, wordt 1,015ᵗ heel groot. Dan nadert 80/1,015ᵗ tot 0, en dan wordt T ≈ 0 + 20 = 20. De omgevingstemperatuur is dus 20 °C.

g Gebruik 1/gᵗ = (g⁻¹)ᵗ:

V = T - 20 = \frac{80}{1{,}015^t} + 20 - 20 = 80 \cdot 1{,}015^{-t} = 80 \cdot (1{,}015^{-1})^t \approx 80 \cdot 0{,}98522^t

h Los op: 0,98522ᵗ = 0,5. De optie oplossen bij 0,98522ˣ = 0,5 geeft x = 46,55...

De halveringstijd is ongeveer 47 minuten.

i Eén kwartier is 15 minuten, dus t = 15k. Substitueer:

V = 80 \cdot 0{,}98522^{15k} = 80 \cdot (0{,}98522^{15})^k = 80 \cdot 0{,}7998\ldots^k

Dus V = 80 · 0,800ᵏ.

Opdracht 40

a Voer in y1 = 0,252x² − 3,06x + 84,2. De optie minimum geeft y = 74,91...

De minimale temperatuur is 74,9 °F.

\begin{aligned} C &= \frac{F - 32}{1{,}8} \\ F - 32 &= 1{,}8C \\ F &= 1{,}8C + 32 \end{aligned}

c Bij 1 februari hoort m = 1 en bij 1 april hoort m = 3.

\begin{aligned} m = 1 &\Rightarrow F = 0{,}252 \cdot 1^2 - 3{,}06 \cdot 1 + 84{,}2 = 81{,}392 &&\Rightarrow C = \frac{81{,}392 - 32}{1{,}8} = 27{,}44 \\ m = 3 &\Rightarrow F = 0{,}252 \cdot 3^2 - 3{,}06 \cdot 3 + 84{,}2 = 77{,}288 &&\Rightarrow C = \frac{77{,}288 - 32}{1{,}8} = 25{,}16 \end{aligned}

De temperatuur neemt af met 27,44 − 25,16 ≈ 2,3 °C.

d Substitueer de formule van F in C = (F − 32)/1,8 en splits de breuk:

C = \frac{0{,}252m^2 - 3{,}06m + 84{,}2 - 32}{1{,}8} = \frac{0{,}252m^2 - 3{,}06m + 52{,}2}{1{,}8} = 0{,}14m^2 - 1{,}7m + 29

Opdracht 41

Er geldt d = 30,4m, dus m = d/30,4. Substitueer:

\begin{aligned} C &= 0{,}14\left(\tfrac{1}{30{,}4}d\right)^2 - 1{,}7 \cdot \tfrac{1}{30{,}4}d + 29 \\ &= 0{,}14 \cdot \left(\tfrac{1}{30{,}4}\right)^2 \cdot d^2 - \tfrac{1{,}7}{30{,}4}d + 29 \\ &= 0{,}0001514\ldots \cdot d^2 - 0{,}05592\ldots \cdot d + 29 \end{aligned}

Dus a ≈ 1,51 · 10⁻⁴ en b ≈ −5,59 · 10⁻².

Opdracht 42

a In de grafiekenbundel zie je dat bij een hogere waarde van f een lagere waarde van L hoort. Met de formule: als f toeneemt, neemt 25,92f toe, en dan neemt v²/(25,92f) af. Een kortere remweg is veiliger, dus een hoge waarde van f is veiliger.

b Vul v = 50 in:

L = \frac{50^2}{25{,}92f} = \frac{2500}{25{,}92f} = \frac{96{,}45\ldots}{f}

De formule is van de vorm L = a/f, dus er is een omgekeerd evenredig verband tussen L en f.

c Bij een snelheid van v km/uur is L = v²/(25,92f). Neemt de snelheid met 20% toe, dan wordt de snelheid 1,2v:

L = \frac{(1{,}2v)^2}{25{,}92f} = \frac{1{,}44v^2}{25{,}92f} = 1{,}44 \cdot \frac{v^2}{25{,}92f}

De remweg wordt 1,44 keer zo lang. Hij neemt dus toe met 44%.

d Het gebied ligt tussen de lijnen v = 80 en v = 110, en tussen de grafieken van f = 9 en f = 12.

Het gebied bij 9 ≤ f ≤ 12 en 80 ≤ v ≤ 110: tussen de grafieken van f = 12 (onder) en f = 9 (boven).

e Bij de kortste remweg hoort de laagste snelheid en de hoogste waarde van f, dus v = 80 en f = 12. Bij de langste remweg hoort de hoogste snelheid en de laagste waarde van f, dus v = 110 en f = 9.

L_{\text{kort}} = \frac{80^2}{25{,}92 \cdot 12} = 20{,}57\ldots \qquad L_{\text{lang}} = \frac{110^2}{25{,}92 \cdot 9} = 51{,}86\ldots

Het verschil is 51,86... − 20,57... ≈ 31 meter.

f Maak v vrij:

\begin{aligned} \frac{L}{1} &= \frac{v^2}{25{,}92f} \\ v^2 &= 25{,}92Lf \\ v &= \sqrt{25{,}92Lf} = \sqrt{25{,}92} \cdot \sqrt{Lf} \approx 5{,}1\sqrt{Lf} \end{aligned}

Dus c ≈ 5,1.

g De laagste snelheid hoort bij de kortste remweg, dus L = 25 en f = 11,5:

v = 5{,}1\sqrt{25 \cdot 11{,}5} \approx 86

86 − 50 = 36, dus de auto reed minstens 36 km/uur te hard.

Opdracht 43

a Vul L = 16 in: H₅₀ = 0,45 · 16 + 49 = 56,2. Bas heeft 58 > 56,2, dus zijn hoofdomtrek is bovengemiddeld.

b 84% van de jongens heeft een hoofdomtrek kleiner dan H₈₄ en 50% een kleinere dan H₅₀. Dus 84% − 50% = 34% van de jongens zit tussen H₅₀ en H₈₄.

Volgens de vuistregels van de normale verdeling ligt 68% tussen μ − σ en μ + σ, dus 34% tussen μ en μ + σ. Omdat H₅₀ = μ, hoort H₈₄ bij μ + σ: de lijn H₈₄ ligt één standaardafwijking boven H₅₀.

\sigma = H_{84} - H_{50} = 0{,}45L + 50{,}75 - (0{,}45L + 49) = 1{,}75 \text{ cm}

c 50% − 34% = 16%, dus H₁₆ = μ − σ:

H_{16} = H_{50} - 1{,}75 = 0{,}45L + 49 - 1{,}75 = 0{,}45L + 47{,}25

d 95% ligt binnen twee standaardafwijkingen van het gemiddelde: 2 · 1,75 = 3,5 cm onder en boven de lijn H₅₀.

H_{2{,}5} = 0{,}45L + 49 - 3{,}5 = 0{,}45L + 45{,}5 \qquad H_{97{,}5} = 0{,}45L + 49 + 3{,}5 = 0{,}45L + 52{,}5

Het gebied tussen H₂,₅ en H₉₇,₅ voor 12 ≤ L ≤ 16: hier ligt de hoofdomtrek van 95% van de jongens.

e Maak L vrij:

\begin{aligned} 0{,}45L + 49 &= H_{50} \\ 0{,}45L &= H_{50} - 49 \\ L &= 2{,}222\ldots \cdot H_{50} - 108{,}8\ldots \approx 2{,}22H_{50} - 109 \end{aligned}

Dus a ≈ 2,22 en b ≈ −109.

Opdracht 44

a Vul g = 1195 en l = 19,2 in:

J = \frac{1195}{19{,}2^3} = 0{,}168\ldots

0,168... < 0,17, dus Janet is te licht voor een winterslaap.

\begin{aligned} 0{,}21 &= \frac{g}{l^3} \\ g &= 0{,}21l^3 \end{aligned}

c l = 19,2 geeft g = 0,21 · 19,2³ = 1486,35...

\frac{1486{,}35\ldots - 1195}{1195} \cdot 100\% \approx 24{,}4\%

Janet had 24,4% zwaarder moeten zijn.

d Bij een goede conditie ligt J tussen 0,17 en 0,23. Gebruik g = J · l³ met l = 14,5:

g = 0{,}17 \cdot 14{,}5^3 = 518{,}26\ldots \qquad g = 0{,}23 \cdot 14{,}5^3 = 701{,}18\ldots

Het gewicht ligt tussen 519 en 701 gram.

e Voor de grootste schildpad is g/l³ = 0,17. De kleinste schildpad heeft een kleinere l en hetzelfde gewicht g. De teller blijft gelijk en de noemer l³ wordt kleiner, dus de breuk g/l³ wordt groter. Voor de kleinste schildpad is J > 0,17, dus die is niet te licht.

Opdracht 45

a Lineair verband W₂₀ = at + 100 met:

a = \frac{84 - 100}{10 - 0} = -1{,}6

Dus W₂₀ = −1,6t + 100.

t = 26 \;\Rightarrow\; W_{20} = -1{,}6 \cdot 26 + 100 = 58{,}4 \neq 64 \qquad t = 52 \;\Rightarrow\; W_{20} = -1{,}6 \cdot 52 + 100 = 16{,}8 \neq 41

De tabel klopt dus niet met het lineaire model.

c In 52 dagen neemt de hoeveelheid af van 100 tot 41:

g_{52\,\text{dagen}} = \frac{41}{100} \quad\Rightarrow\quad g_{\text{dag}} = \left(\frac{41}{100}\right)^{\frac{1}{52}} \approx 0{,}983

d 0,983⁷ ≈ 0,886..., dus een afname van 11,3% per week.

e De optie oplossen bij 100 · 0,983ˣ = 25 geeft x = 80,85...

Na ongeveer 81 dagen is het medicijn niet meer effectief.

t = 52 \;\Rightarrow\; W_4 = 110 - 5{,}83\sqrt{52 + 2{,}94} = 66{,}78\ldots

Bij 4 °C is na 52 dagen de hoeveelheid werkzame stof nog ongeveer 66,8 (en het medicijn is dus nog effectief).

g Er moet gelden: W₄ = 1,25 · W₂₀. De optie oplossen bij 110 − 5,83√(x + 2,94) = 1,25 · 100 · 0,983ˣ geeft x = 27,71...

Na ongeveer 28 dagen.

h Bij 20 °C is het medicijn na 80,85... dagen niet meer effectief (vraag e). Bij 4 °C: de optie oplossen bij 110 − 5,83√(x + 2,94) = 25 geeft x = 209,62...

HF_{20 \to 4} = \frac{209{,}62\ldots}{80{,}85\ldots} \approx 2{,}6

Opdracht 46

a Bij de vuistregel hoort de formule m = 7h. Los op: 30√h − 1,8h = 7h.

Voer in y1 = 30√x − 1,8x en y2 = 7x. De optie snijpunt geeft x = 11,62...

De hondenleeftijd is 11,6 jaar.

b Het verschil is 30√h − 1,8h − 7h = 30√h − 8,8h.

Voer in y1 = 30√x − 8,8x. De optie maximum geeft x ≈ 2,9 en y ≈ 25,6.

Het verschil is maximaal bij een hondenleeftijd van 2,9 jaar. Het maximale verschil is 25,6 mensenjaren.

c Uit de tabel: bij h = 1 hoort voor middelgrote rassen m = 29.

30\sqrt{1} + a \cdot 1 = 29 \quad\Rightarrow\quad 30 + a = 29 \quad\Rightarrow\quad a = -1

Dus m = 30√h − h. De optie oplossen bij 30√x − x = 67 geeft x = 5,90...

De pensioenleeftijd van deze hond is 5,9 jaar.

Opdracht 47

a Uit de tabel: bij h = 1 hoort voor grote rassen m = 30.

30\sqrt{1} + a \cdot 1 = 30 \quad\Rightarrow\quad a = 0

Dus m = 30√h. De optie oplossen bij 30√x = 100 geeft x = 11,11...

Een hond van een groot ras wordt maximaal 11 jaar.

m_{\text{groot}} - m_{\text{klein}} = 30\sqrt{h} - (30\sqrt{h} - 1{,}8h) = 1{,}8h

Los op: 1,8h = 10, dus h ≈ 5,6. Het verschil is 10 jaar bij een hondenleeftijd van 5,6 jaar.

11.4 Formulevaardigheden nagekeken?

5 opdrachten

Zo pak je het aan

In deze test komt alles uit 11.1 t/m 11.4 terug. Lukt een opgave niet, kijk dan eerst weer naar "Zo pak je het aan" van die paragraaf. Schrijf bij herleiden elke stap op een nieuwe regel, en zet bij een berekening met de GR erbij wat je invoert.

Test 1

a Lees in de figuur af bij L = 60: enige hittestress hoort bij temperaturen tussen ongeveer 23 °C en 30 °C.

Controle met de formule: bij L = 60 is H = 0,8T + 0,6(T − 14,4) + 46,4 = 1,4T + 37,76. H = 70 geeft T ≈ 23,0 en H = 80 geeft T ≈ 30,2.

b De grenslijn tussen ernstige en extreme hittestress gaat door het punt (100, 35). Vul L = 100 en T = 35 in:

H = 0{,}8 \cdot 35 + 0{,}01 \cdot 100 \cdot (35 - 14{,}4) + 46{,}4 = 28 + 20{,}6 + 46{,}4 = 95

Bij de grens hoort H = 95.

c Teken de lijn L + 5T = 180 met een tabel:

L	0	80
T	36	20

Proefpunt (0, 0): 0 + 5 · 0 = 0 ≤ 180, dus het gebied ligt op en onder de lijn L + 5T = 180. Verder op en onder de lijn T = 30.

Test 2

a Gebruik √a · √b = √(ab) en √a/√b = √(a/b):

N = \frac{\sqrt{2x} \cdot \sqrt{10xy}}{\sqrt{5y}} = \frac{\sqrt{20x^2y}}{\sqrt{5y}} = \sqrt{\frac{20x^2y}{5y}} = \sqrt{4x^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2} = 2x

b Maak eerst de wortel vrij en kwadrateer daarna:

\begin{aligned} 1{,}5 \cdot \sqrt{16p} &= 9q \\ \sqrt{16p} &= 6q \\ 16p &= 36q^2 \\ p &= 2{,}25q^2 \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{3M}{4} &= \sqrt{5K} \\ 3M &= 4\sqrt{5K} \\ M &= 1{,}333\ldots \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{K} \approx 2{,}98\sqrt{K} \end{aligned}

Dus a ≈ 2,98.

Test 3

a Vul P = 40 en I = 0,5 in:

r = \frac{\sqrt{40}}{3{,}545\sqrt{0{,}5}} = 2{,}52\ldots

De afstand is ongeveer 2,5 meter, dus 25 dm.

b Vul P = 500 in:

r = \frac{\sqrt{500}}{3{,}545\sqrt{I}} \approx \frac{6{,}3}{\sqrt{I}}

Dus c ≈ 6,3.

c Maak I vrij:

\begin{aligned} 3{,}545r &= \frac{\sqrt{P}}{\sqrt{I}} = \sqrt{\frac{P}{I}} \\ (3{,}545r)^2 &= \frac{P}{I} \\ I &= \frac{P}{3{,}545^2 \cdot r^2} \approx \frac{P}{12{,}567r^2} \end{aligned}

Dus a ≈ 12,567.

Test 4

a Redeneer stap voor stap: als x afneemt, dan neemt √x af, en dan neemt 2 − √x toe. Dus A/(−5) neemt toe. Als A/(−5) toeneemt, dan neemt A af (delen door een negatief getal draait de richting om).

Als x afneemt, dan neemt A af.

b Als x heel groot wordt, nadert 0,2ˣ tot 0. Dan wordt 2 + 0,2ˣ ≈ 2 en 100/(2 + 0,2ˣ) ≈ 100/2 = 50.

Als x heel groot wordt, nadert 25/x tot 0. Dan wordt 16 − 25/x ≈ 16 en √(16 − 25/x) ≈ √16 = 4.

De grenswaarde is 50 − 4 = 46.

Test 5

a Vul S = 45, W = 25 en k = 500 in: 45 = 0,4 · 25 · (u + (24 − u)/500).

Voer in y1 = 45 en y2 = 0,4 · 25 · (x + (24 − x)/500). De optie snijpunt geeft x = 4,460...

De gebruiksduur is 4,460... · 60 ≈ 268 minuten (4 uur en 28 minuten).

b Een machine die de hele dag in stand-by staat, heeft u = 0:

S = 0{,}4W \cdot \left(0 + \frac{24 - 0}{k}\right) = 0{,}4W \cdot \frac{24}{k}

Als k heel groot wordt, nadert 24/k tot 0. Dan wordt S ≈ 0,4W · 0 = 0. De stroomkosten naderen dus tot nul.

c Een machine die continu in gebruik is, heeft u = 24:

S = 0{,}4W \cdot \left(24 + \frac{24 - 24}{k}\right) = 0{,}4W \cdot 24 = 9{,}6W

9,6W = 120 geeft W = 12,5. Het maximale vermogen is 12,5 kilowatt.

d Vul W = 2 en k = 10 in, en werk de haakjes weg:

S = 0{,}4 \cdot 2 \cdot \left(u + \frac{24 - u}{10}\right) = 0{,}8 \cdot (u + 2{,}4 - 0{,}1u) = 0{,}8 \cdot (0{,}9u + 2{,}4) = 0{,}72u + 1{,}92

Kennis- en vaardighedentest nagekeken?

10 opdrachten

Zo pak je het aan

Bij de gemengde opgaven staat niet bij welke paragraaf ze horen. Bepaal bij elke vraag eerst wat er gevraagd wordt: een gebied tekenen (11.1), herleiden of vrijmaken (11.2 en 11.4), redeneren met een formule (11.3) of rekenen met de GR (11.4).

Gemengd 1

a Jan wil maximaal 8 uur per dag werken: U ≤ 8. De klus mag niet langer dan 14 werkdagen duren: D ≤ 14.

b Proefpunt (0, 0) bij D · U ≥ 60: 0 · 0 = 0 en dat is niet ≥ 60. Het gebied ligt dus op en boven de grafiek van D · U = 60. Verder op en onder de lijn D = 14 en op en links van de lijn U = 8.

Het gebied bij D · U ≥ 60, D ≤ 14 en U ≤ 8. In het hoekpunt P is D = 14 en U = 8.

c Als Jan 14 dagen lang 8 uur per dag werkt, is dat 14 · 8 = 112 uur. Meer kan niet binnen de voorwaarden. Hierbij hoort het hoekpunt P(8, 14) in de figuur.

d De voorrijkosten zijn per dag, dus de kosten zijn het laagst bij zo weinig mogelijk dagen. Jan werkt dan 8 uur per dag, dus D = 80/8 = 10 dagen.

De minimale kosten zijn 50 · 10 + 20 · 80 = 2100 euro.

e De voorrijkosten zijn 50 euro per dag, dus samen 50 · D. Jan werkt D dagen U uur, dus in totaal D · U uur. Hij rekent 20 euro per uur, dus 20 · D · U. Samen: K = 50 · D + 20 · D · U.

f Vul K = 2500 en U = 6 in:

\begin{aligned} 50D + 20D \cdot 6 &= 2500 \\ 170D &= 2500 \\ D &\approx 14{,}7 \end{aligned}

De klus zou dan 14,7 dagen duren, en dat is langer dan 14 dagen. Dat is dus niet mogelijk.

Gemengd 2

a Maak gelijknamig met noemer p²:

A = 5p - \frac{6}{p^2} = \frac{5p^3}{p^2} - \frac{6}{p^2} = \frac{5p^3 - 6}{p^2}

b Gebruik 3q − 12 = 3(q − 4) als gemeenschappelijke noemer:

B = \frac{7q}{3q - 12} \cdot (q - 2) - \frac{1}{3} \cdot \frac{5q}{q - 4} = \frac{7q^2 - 14q}{3q - 12} - \frac{5q}{3(q - 4)} = \frac{7q^2 - 14q - 5q}{3q - 12} = \frac{7q^2 - 19q}{3q - 12}

c Maak gelijknamig met noemer 3q:

K = \frac{q}{3} + 4 + \frac{5}{q} = \frac{q^2}{3q} + \frac{12q}{3q} + \frac{15}{3q} = \frac{q^2 + 12q + 15}{3q}

d Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde:

N = \frac{2t^3}{\left(\frac{5}{3t^{-4}}\right)} \cdot t^2 = 2t^3 \cdot \frac{3t^{-4}}{5} \cdot t^2 = 1{,}2 \cdot t^{3 - 4 + 2} = 1{,}2t

e Vermenigvuldig kruiselings:

\begin{aligned} \frac{v + 8}{1} &= \frac{2C}{4 + 2v} \\ 2C &= (v + 8)(4 + 2v) = 2v^2 + 20v + 32 \\ C &= v^2 + 10v + 16 \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{5y - 6}{9x} &= 2\tfrac{2}{3} \\ 5y - 6 &= 24x \\ y &= 4{,}8x + 1{,}2 \end{aligned}

Gemengd 3

N = \frac{1}{12}a \cdot \frac{(2a + 3)a}{4a + 4} = \frac{(2a + 3)a^2}{12(4a + 4)} = \frac{2a^3 + 3a^2}{48a + 48}

b Maak gelijknamig met noemer a − 2:

\begin{aligned} P &= \frac{(a - 5)(a + 6)}{a - 2} + \frac{a(a - 2)}{a - 2} + \frac{a - 2}{a - 2} \\ &= \frac{a^2 + a - 30 + a^2 - 2a + a - 2}{a - 2} = \frac{2a^2 - 32}{a - 2} \end{aligned}

\begin{aligned} Q &= \frac{5}{3p + 2} \\ 3p + 2 &= \frac{5}{Q} \\ 3p &= \frac{5}{Q} - 2 \\ p &= \frac{5}{3Q} - \frac{2}{3} \end{aligned}

\begin{aligned} 4 - \frac{H}{x^2 + 1} &= 11 \\ \frac{H}{x^2 + 1} &= -7 \\ H &= -7(x^2 + 1) = -7x^2 - 7 \end{aligned}

Gemengd 4

\begin{aligned} 3\sqrt{2y} - 8x + 3 &= x \\ 3\sqrt{2y} &= 9x - 3 \\ \sqrt{2y} &= 3x - 1 \\ 2y &= (3x - 1)^2 \\ y &= \tfrac{1}{2}(3x - 1)^2 \end{aligned}

b Maak eerst b vrij uit a = 0,25b + 2: 0,25b = a − 2, dus b = 4a − 8. Substitueer:

F = \frac{0{,}1a}{2a - 1} \cdot (2(4a - 8) + 1) = \frac{0{,}1a}{2a - 1} \cdot (8a - 15) = \frac{0{,}8a^2 - 1{,}5a}{2a - 1}

c Substitueer p = k + 2 en splits de breuk:

G = \frac{k - (k + 2)^2}{k^2} = \frac{k - k^2 - 4k - 4}{k^2} = \frac{-k^2 - 3k - 4}{k^2} = -1 - \frac{3}{k} - \frac{4}{k^2}

Dus a = −1, b = −3 en c = −4.

Gemengd 5

a Vul w = 18 en V = 84 in:

\begin{aligned} -0{,}35A \cdot 18 + 8{,}4A &= 84 \\ 2{,}1A &= 84 \\ A &= 40 \end{aligned}

Er passeren 40 auto's per minuut.

b Vul A = 75 en V = 160 in:

\begin{aligned} -0{,}35 \cdot 75w + 8{,}4 \cdot 75 &= 160 \\ -26{,}25w + 630 &= 160 \\ w &\approx 17{,}9 \end{aligned}

De windsnelheid was 17,9 m/s.

c A = 60 geeft V = −0,35 · 60w + 8,4 · 60, dus V = −21w + 504.

d w = 10 geeft V = −3,5A + 8,4A = 4,9A. Dus A = V/4,9 en a = 1/4,9 ≈ 0,204.

Gemengd 6

a Vul een temperatuur van 75 °F in de formule in:

T_F = 75 \;\Rightarrow\; A = \frac{10 \cdot 75 - 325}{11} = 38{,}63\ldots

Dat is 38,63... keer per 15 seconden. Een uur heeft 4 · 60 = 240 keer 15 seconden, dus 38,63... · 240 ≈ 9273 keer per uur. Dat is meer dan 9000.

\begin{aligned} \frac{A}{1} &= \frac{10T_F - 325}{11} \\ 10T_F - 325 &= 11A \\ T_F &= 1{,}1A + 32{,}5 \end{aligned}

c Volgens vraag b is de temperatuur in °F gelijk aan 1,1A + 32,5 ≈ A + 33. De methode van de scouting komt dus ongeveer overeen met de formule.

d Substitueer de formule van vraag b in de omrekenformule:

\begin{aligned} 1{,}8T_C &= T_F - 32 = 1{,}1A + 32{,}5 - 32 = 1{,}1A + 0{,}5 \\ T_C &\approx 0{,}6A + 0{,}3 \end{aligned}

e Een krekel tjirpt A keer in 15 seconden, dus in 9 seconden 9/15 · A = 0,6A keer. Bij de methode van de scouting hoort dus een temperatuur in °C van 0,6A. Dat scheelt maar 0,3 °C met de formule 0,6A + 0,3 van vraag d. De methode komt dus ongeveer overeen.

Gemengd 7

a Maak p vrij uit 3q − 15p = 5: −15p = −3q + 5, dus −7,5p = −1,5q + 2,5. Substitueer in W:

W = 18 - 7{,}5p + 2q = 18 - 1{,}5q + 2{,}5 + 2q = 0{,}5q + 20{,}5

b Uit x + z = 6 volgt z = −x + 6. Substitueer y en z:

F = 3x(2x + 5) + 4x(-x + 6) + 8 = 6x^2 + 15x - 4x^2 + 24x + 8 = 2x^2 + 39x + 8

c Vul P = 6 en l = 4 in:

\begin{aligned} \frac{2k(3 \cdot 4 + 8)}{4 + 7m} &= 6 \\ 40k &= 6(4 + 7m) = 24 + 42m \\ k &= 1{,}05m + 0{,}6 \end{aligned}

G = 12 - 21 \cdot \frac{6 - 7{,}5h}{63} = 12 - \frac{1}{3}(6 - 7{,}5h) = 12 - 2 + 2{,}5h = 2{,}5h + 10

Gemengd 8

a Bij een omgekeerd evenredig verband hoort P = a/L, dus P · L is constant. Het punt (0, 100) geeft P · L = 0 en het punt (10, 20) geeft P · L = 200. Dat is niet constant. (Bovendien kan a/0 niet.) Er is dus geen omgekeerd evenredig verband.

b Exponentieel model P = 100 · gᴸ. In 10 jaar daalt P van 100 naar 20:

g_{10\,\text{jaar}} = \frac{20}{100} \quad\Rightarrow\quad g_{\text{jaar}} = \left(\frac{20}{100}\right)^{\frac{1}{10}} \approx 0{,}851

Dus P = 100 · 0,851ᴸ.

c P = a/L met L = 4 en P = 37,5 (uit de tabel): a = 4 · 37,5 = 150. Dus P = 150/L.

d Als L toeneemt, neemt 0,83ᴸ af, dus ook 95 · 0,83ᴸ en 95 · 0,83ᴸ + 5. De grafiek is dus dalend.

Als L heel groot wordt, nadert 0,83ᴸ tot 0. Dan wordt P ≈ 0 + 5 = 5. De grenswaarde is 5.

e Vul L = 12 in:

\text{A: } P = 100 \cdot 0{,}851^{12} = 14{,}4\ldots \qquad \text{B: } P = \frac{150}{12} = 12{,}5 \qquad \text{C: } P = 95 \cdot 0{,}83^{12} + 5 = 15{,}1\ldots

Verzekeraar C keert het meest uit: 15,1.../100 · 21 500 ≈ 3300 euro.

Gemengd 9

a Voer in y1 = 100/(1 + 1450 · 2 tot de macht −0,3x) en kies het venster 0 ≤ x ≤ 50.

De grafiek van P: eerst langzaam, dan snel stijgend, en daarna nadert de grafiek de lijn P = 100.

t = 10 \;\Rightarrow\; P = \frac{100}{1 + 1450 \cdot 2^{-0{,}3 \cdot 10}} \approx 0{,}5

Na 10 dagen is 0,5% besmet (geweest).

c Voer in y1 = 100/(1 + 1450 · 2 tot de macht −0,3x) en y2 = 50. De optie snijpunt geeft x ≈ 35.

Na 35 dagen.

d Als t toeneemt, neemt de exponent −0,3t af, dus de macht 2 tot de macht −0,3t neemt af. Dan neemt ook de noemer af:

t \uparrow \;\Rightarrow\; 2^{-0{,}3t} \downarrow \;\Rightarrow\; 1 + 1450 \cdot 2^{-0{,}3t} \downarrow \;\Rightarrow\; \frac{100}{1 + 1450 \cdot 2^{-0{,}3t}} \uparrow

De noemer neemt af, dus de breuk neemt toe. De grafiek van P is dus stijgend.

e Bij 25 maart hoort t = 24:

P = \frac{100}{1 + 1450 \cdot 2^{-0{,}3 \cdot 24}} \approx 9{,}2 \quad\Rightarrow\quad 0{,}092 \cdot 17{,}4 \approx 1{,}6 \text{ miljoen}

Bij 24 april hoort t = 24 + 30 = 54:

P = \frac{100}{1 + 1450 \cdot 2^{-0{,}3 \cdot 54}} \approx 98{,}1 \quad\Rightarrow\quad 0{,}981 \cdot 17{,}4 \approx 17{,}1 \text{ miljoen}

f Gebruik de rekenregel (aᵖ)ᵠ = aᵖᵠ:

2^{-0{,}3t} = (2^{-0{,}3})^t \approx 0{,}812^t \quad\Rightarrow\quad P = \frac{100}{1 + 1450 \cdot 0{,}812^t}

Als t heel groot wordt, nadert 0,812ᵗ tot 0. Dan wordt 1 + 1450 · 0,812ᵗ ≈ 1 en P ≈ 100/1 = 100. De grenswaarde is 100%: uiteindelijk is iedereen besmet (geweest).

g I is P procent van 10 miljoen, dus I = 100 000 · P:

I = 100\,000 \cdot \frac{100}{1 + 1450 \cdot 2^{-0{,}3t}} = \frac{10\,000\,000}{1 + 1450 \cdot 2^{-0{,}3t}}

Dus a = 10 000 000. Een week heeft 7 dagen, dus t = 7w en −0,3t = −0,3 · 7w = −2,1w. Dus c = −2,1.

Gemengd 10

a De som van de huidplooien is 32 + 27 + 26 + 31 = 116 mm. Dat ligt tussen 110 en 120 in de tabel, dus interpoleer lineair. Per 10 mm neemt D af met 1,0135 − 1,0108 = 0,0027.

D = 1{,}0135 - 6 \cdot \frac{0{,}0027}{10} = 1{,}01188 \quad\Rightarrow\quad P = \frac{495}{1{,}01188} - 450 \approx 39{,}2

Het vetpercentage van Alex is 39,2%.

b Voer in y1 = 495/x − 450 en y2 = 31,7. De optie snijpunt geeft x ≈ 1,0276.

Uit de tabel volgt bij D = 1,0276 een som van de huidplooien van 70 mm.

c Bij 110 mm hoort D = 1,0135, dus P = 495/1,0135 − 450 = 38,40... Joep had 0,3840... · 108 = 41,47... kg vet en 108 − 41,47... = 66,52... kg niet-vet.

Bij 70 mm hoort D = 1,0276, dus P = 495/1,0276 − 450 = 31,70... Na het afvallen is 100 − 31,70... = 68,29...% niet-vet. Hij is alleen vet kwijtgeraakt, dus hij heeft nog 66,52... kg niet-vet:

\text{gewicht} = \frac{66{,}52\ldots}{0{,}6829\ldots} = 97{,}40\ldots \text{ kg}

Hij is 108 − 97,40... ≈ 11 kg afgevallen.

d Bij 60 mm hoort D = 1,0324, dus P = 495/1,0324 − 450 = 29,46... Volgens het model heeft Lieke 0,2946... · 60 = 17,67... kg vet.

\frac{17{,}67\ldots - 16{,}8}{17{,}67\ldots} \cdot 100\% \approx 5{,}0\%

Volgens de scan heeft ze 5,0% minder vet.

e 1220 mL = 1,22 L, dus I = 1,22:

D = \frac{75{,}1}{75{,}1 - 2{,}1 - 1{,}22} = 1{,}0462\ldots \quad\Rightarrow\quad P = \frac{495}{1{,}0462\ldots} - 450 \approx 23{,}1

Het vetpercentage van Karel is 23,1%.

f Substitueer de formule van D. Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde:

P = \frac{495}{\left(\dfrac{G_{\text{lucht}}}{G_{\text{lucht}} - G_{\text{water}} - I}\right)} - 450 = 495 \cdot \frac{G_{\text{lucht}} - G_{\text{water}} - I}{G_{\text{lucht}}} - 450

g Als het gewicht onder water toeneemt (en het gewicht buiten het water en I blijven gelijk), dan neemt de teller van de breuk af. De noemer blijft gelijk, dus de breuk neemt af, en dan neemt ook 495 · breuk − 450 af. Bij een groter gewicht onder water hoort dus een lager vetpercentage.

Gemengde opgaven nagekeken?

Grootheid	Symbool	Eenheid
variabelen (horizontale en verticale as)	$x$ , $y$	hangt af van de situatie
getallen in de lijn $px + qy = c$	$p$ , $q$ , $c$	geen eenheid
tijd	$t$	jaar, maand, week, dag, minuut, ...
groeifactor per tijdseenheid	$g$	geen eenheid
exponent in een macht $x^n$	$n$	geen eenheid
constanten in een formule die je moet berekenen	$a$ , $b$ , $c$	hangt af van de formule

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle x = 0 \;\Rightarrow\; y = \frac{c}{q} \qquad y = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{c}{p}$	snijpunten van px + qy = c met de assen	Zelf afleiden	11.1a
$\displaystyle \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$	wortels vermenigvuldigen	Zelf afleiden	11.2a
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$	wortels delen	Zelf afleiden	11.2a
$\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \;\Rightarrow\; A \cdot D = B \cdot C$	kruiselings vermenigvuldigen	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle P = \frac{Q}{R} \;\Rightarrow\; R = \frac{Q}{P}$	wisseleigenschap	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle \sqrt{a} = b \;\Rightarrow\; a = b^2$	wortel wegwerken	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle \text{noemer} \to \text{heel groot} \;\Rightarrow\; \frac{a}{\text{noemer}} \to 0$	een breuk met een groeiende noemer	Zelf afleiden	11.3a
$\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$	delen door een breuk	Zelf afleiden	11.4a
$\displaystyle a^p \cdot a^q = a^{p+q} \qquad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \qquad (a^p)^q = a^{pq} \qquad (ab)^p = a^p b^p \qquad a^{-p} = \frac{1}{a^p}$	rekenregels voor machten	Zelf afleiden	11.4a
$\displaystyle t = \frac{d}{7}$	van weken naar dagen	Zelf afleiden	11.4b

Formules en variabelen

11.1 Grafieken en gebieden

11.2 Herleiden en vrijmaken

11.3 Redeneren met formules

11.4 Formulevaardigheden

Kennis- en vaardighedentest

Gemengde opgaven

Grootheden en eenheden

Formules