Steekproeven en de normale verdeling

Meestal onderzoek je niet de hele groep waar je iets over wilt weten (de populatie), maar een deel daarvan: de steekproef. Om op basis van de steekproef iets over de populatie te zeggen, moet de steekproef aselect en groot genoeg zijn. Bij veel metingen helpen de vuistregels van de normale verdeling.

15 min

Na deze les kun je

populatie, steekproef, populatieomvang en steekproefomvang onderscheiden
de steekproefproportie berekenen
beoordelen of een steekproef aselect is
de vuistregels van de normale verdeling gebruiken

Dit weet je al

Gemiddelde en standaardafwijking, en de normale verdeling uit klas 4.

Populatie en steekproef

De populatie is de hele groep waar je iets over wilt weten. De steekproef is het deel dat je onderzoekt. Het aantal elementen heet de populatieomvang en de steekproefomvang $n$ .

\displaystyle \hat{p} = \frac{\text{aantal met het kenmerk in de steekproef}}{\text{steekproefomvang}}

\hat{p}

: steekproefproportie, een getal tussen 0 en 1. Voor de populatie heet hetzelfde getal de populatieproportie

p

Een steekproef is aselect als elk element uit de populatie een even grote kans heeft om in de steekproef te komen.

!Niet aselect

Mensen vragen in één winkelstraat, alleen lezers van één tijdschrift, alleen de patiënten op één afdeling, of mensen die zich zelf aanmelden: in al die gevallen hebben niet alle elementen van de populatie dezelfde kans. De steekproef is dan niet aselect, en de uitkomst kan te hoog of te laag uitvallen.

De vuistregels bij de normale verdeling

Bij een normale verdeling met gemiddelde $\mu$ en standaardafwijking $\sigma$ geldt:

ongeveer 68% ligt tussen $\mu - \sigma$ en $\mu + \sigma$ ;
ongeveer 95% ligt tussen $\mu - 2\sigma$ en $\mu + 2\sigma$ ;
bijna 100% ligt tussen $\mu - 3\sigma$ en $\mu + 3\sigma$ .

De verdeling is symmetrisch. Daaruit volgt bijvoorbeeld dat 16% boven $\mu + \sigma$ ligt en 2,5% boven $\mu + 2\sigma$ .

De normale verdeling met de percentages die uit de vuistregels volgen.

✎Voorbeeld: jonge boompjes

De hoogte van 2000 jonge boompjes is normaal verdeeld met $\mu = 120$ cm en $\sigma = 8$ cm.

De middelste 95% ligt tussen $120 - 2 \cdot 8 = 104$ en $120 + 2 \cdot 8 = 136$ cm.
Boven $\mu + \sigma = 128$ cm ligt 16%: $0{,}16 \cdot 2000 = 320$ boompjes.
Onder $\mu - 2\sigma = 104$ cm ligt 2,5%: $0{,}025 \cdot 2000 = 50$ boompjes.

≈Terugrekenen naar μ en σ

Weet je dat 95% tussen twee grenzen ligt, dan is het gemiddelde het midden van die grenzen en is de afstand ertussen $4\sigma$ . Ligt 95% tussen 54 en 66, dan is $\mu = 60$ en $4\sigma = 12$ , dus $\sigma = 3$ .

Even controleren

Snap je het?

Bij een steekproef van 250 mensen hebben er 40 een huisdier. Wat is de steekproefproportie?

Normaal verdeeld met $\mu = 50$ en $\sigma = 5$ . Welk percentage ligt boven 60?

Een onderzoeker ondervraagt de bezoekers van een fitnesscentrum over hoeveel Nederlanders sporten. Is de steekproef aselect?

↗Hoe hangt dit samen?

Een steekproef geeft nooit precies het populatiegemiddelde of de populatieproportie. In de volgende les geef je met een betrouwbaarheidsinterval aan waar die waarschijnlijk liggen.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

$\text{proportie} = \frac{\text{deel}}{\text{geheel}}$	een proportie is een deel van het geheel, als getal tussen 0 en 1
$\hat{p} = \frac{\text{aantal met het kenmerk in de steekproef}}{\text{steekproefomvang}}$	in de steekproef is het geheel de steekproefomvang

Grootheid	Symbool	Eenheid
steekproefomvang	$n$	geen eenheid (aantal)
steekproefproportie	$\hat{p}$	geen eenheid (getal tussen 0 en 1)
populatieproportie	$p$	geen eenheid (getal tussen 0 en 1)
steekproefgemiddelde	$\overline{X}$	eenheid van de variabele
steekproefstandaardafwijking	$S$	eenheid van de variabele
populatiegemiddelde	$\mu$	eenheid van de variabele
standaardafwijking (normale verdeling)	$\sigma$	eenheid van de variabele
phi-coëfficiënt	$\varphi$	geen eenheid (tussen −1 en 1)
maximaal verschil in cumulatief percentage	$\max V_\text{cp}$	procentpunt
effectgrootte	$E$	geen eenheid

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle \varphi = \frac{ad - bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)}}$	phi-coëfficiënt bij een 2×2-kruistabel	Examenformuleblad	10.2b
$\displaystyle \max V_\text{cp} > 40 \;\text{groot} \qquad 20 < \max V_\text{cp} \le 40 \;\text{middelmatig} \qquad \max V_\text{cp} \le 20 \;\text{gering}$	maximaal verschil in cumulatief percentage	Examenformuleblad	10.2b
$\displaystyle E = \frac{\overline{X}_1 - \overline{X}_2}{\tfrac{1}{2}(S_1 + S_2)}$	effectgrootte	Examenformuleblad	10.2c
$\displaystyle \hat{p} = \frac{\text{aantal met het kenmerk in de steekproef}}{\text{steekproefomvang}}$	steekproefproportie	Zelf afleiden	10.3a
$\displaystyle \overline{X} \pm 2 \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$	95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde	Examenformuleblad	10.3b
$\displaystyle \hat{p} \pm 2 \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$	95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie	Examenformuleblad	10.3b
$\displaystyle \text{breedte} = 4 \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \qquad \text{breedte} = 4 \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$	breedte van het 95%-betrouwbaarheidsinterval	Zelf afleiden	10.3b