Verdubbelingstijd en halveringstijd

Bij exponentiële groei duurt een verdubbeling altijd even lang, hoe groot de hoeveelheid ook is. Die vaste tijd heet de verdubbelingstijd. Bij een afname heet de vaste tijd waarin de hoeveelheid halveert de halveringstijd.

15 min

Na deze les kun je

de verdubbelingstijd en de halveringstijd berekenen bij een gegeven groeifactor
uitleggen waarom de beginwaarde daarbij niet uitmaakt
uit een verdubbelings- of halveringstijd de groeifactor en het groeipercentage berekenen
een tijd in jaren omzetten naar jaren en maanden, of uren en minuten

Dit weet je al

De formule $N = b \cdot g^t$ en het verband tussen groeifactor en groeipercentage (les 9.1a).

De verdubbelingstijd

Een hoeveelheid groeit met 6% per jaar. Na hoeveel jaar is hij verdubbeld? Je zoekt de $t$ waarvoor $b \cdot 1{,}06^t = 2b$ . Deel links en rechts door $b$ , dan blijft over: $1{,}06^t = 2$ . De beginwaarde valt weg.

\displaystyle g^t = 2 \qquad\qquad g^t = 0{,}5

t

: de verdubbelingstijd (links) of de halveringstijd (rechts),

g

: groeifactor per tijdseenheid.

≈Waarom de beginwaarde niet uitmaakt

Omdat $b$ wegvalt, hangt de verdubbelingstijd alleen af van de groeifactor. Het maakt dus ook niet uit wanneer je begint met tellen: van 100 naar 200 duurt even lang als van 3000 naar 6000.

✎Voorbeeld: verdubbelen en halveren

a. Een spaarbedrag groeit met 6% per jaar. Bereken de verdubbelingstijd.

Los op: $1{,}06^t = 2$ . De optie oplossen geeft $x = 11{,}89...$
De verdubbelingstijd is ongeveer 11,9 jaar.

b. De hoeveelheid van een medicijn in het bloed neemt per uur met 20% af. Bereken de halveringstijd in minuten nauwkeurig.

Een afname van 20% geeft $g = 0{,}8$ . Los op: $0{,}8^t = 0{,}5$ . De optie oplossen geeft $x = 3{,}106...$
Dat is 3 uur en $0{,}106... \cdot 60 \approx 6$ minuten, dus 3 uur en 6 minuten (of 186 minuten).

!6% per jaar is niet 100 : 6 jaar

Wie denkt "verdubbelen is 100% erbij, dus $100 : 6 \approx 17$ jaar", rekent alsof er elk jaar 6% van de beginwaarde bijkomt. Maar elk jaar komt er 6% van de hoeveelheid op dat moment bij, en die wordt steeds groter. Daarom gaat het sneller: 11,9 jaar.

Van verdubbelingstijd naar groeifactor

Soms weet je de verdubbelingstijd en zoek je het groeipercentage. Verdubbelt een hoeveelheid elke 12 jaar, dan geldt voor de groeifactor per jaar: $g^{12} = 2$ . Los dat op met de GR: voer in $y_1 = x^{12}$ en $y_2 = 2$ . De optie snijpunt geeft $x = 1{,}0594...$ , dus $g \approx 1{,}059$ . Dat is een groei van 5,9% per jaar.

Op dezelfde manier geeft een halveringstijd van 30 jaar $g^{30} = 0{,}5$ , dus $g \approx 0{,}977$ . Dat is een afname van 2,3% per jaar.

!Omrekenen naar maanden en minuten

Het deel achter de komma is een deel van de tijdseenheid. $4{,}25$ jaar is 4 jaar en $0{,}25 \cdot 12 = 3$ maanden. $2{,}4$ uur is 2 uur en $0{,}4 \cdot 60 = 24$ minuten. Vermenigvuldig dus met 12 of met 60, niet met 100.

Even controleren

Snap je het?

Een bevolking groeit met 3,5% per jaar. Hoe groot is de verdubbelingstijd? Rond af op gehele jaren.

Een hoeveelheid neemt per dag met 10% af. Bereken de halveringstijd in dagen, afgerond op één decimaal.

Een hoeveelheid van 50 verdubbelt in 8 jaar. Hoe lang duurt het voordat een hoeveelheid van 500 met dezelfde groeifactor is verdubbeld?

↗Hoe hangt dit samen?

Tot nu toe ging de groeifactor steeds over één tijdseenheid. In de volgende les reken je een groeifactor per dag om naar een groeifactor per week of per uur.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

$b \cdot g^t = 2 \cdot b$	na de verdubbelingstijd is de hoeveelheid twee keer de beginwaarde
$g^t = 2$	deel links en rechts door $b$ : de beginwaarde valt weg
$g^t = 0{,}5$	bij halveren is de hoeveelheid na de halveringstijd de helft: $b \cdot g^t = 0{,}5 \cdot b$

Grootheid	Symbool	Eenheid
hoeveelheid	$N$	hangt af van de situatie (aantal, m², euro, ...)
beginwaarde (hoeveelheid op $t = 0$ )	$b$	dezelfde eenheid als $N$
groeifactor per tijdseenheid	$g$	geen eenheid
groeipercentage	$p$	procent (%)
tijd	$t$	jaar, maand, dag, uur, ...
verdubbelingstijd of halveringstijd	de oplossing $t$ van $g^t = 2$ of $g^t = 0{,}5$	dezelfde eenheid als $t$
toename per tijdseenheid (lineair)	$a$	eenheid van $N$ per tijdseenheid

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle g = 1 + \frac{p}{100} \quad\text{(toename)} \qquad g = 1 - \frac{p}{100} \quad\text{(afname)}$	groeifactor bij een groeipercentage	Zelf afleiden	9.1a
$\displaystyle N = b \cdot g^t$	exponentiële groei	Zelf afleiden	9.1a
$\displaystyle g^t = 2 \qquad\qquad g^t = 0{,}5$	verdubbelingstijd en halveringstijd	Zelf afleiden	9.1b
$\displaystyle g_n = g^n$	groeifactor per n tijdseenheden	Zelf afleiden	9.2a
$\displaystyle g = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^{\frac{1}{t_2 - t_1}}$	groeifactor uit twee meetpunten	Zelf afleiden	9.2b
$\displaystyle N = at + b \qquad a = \frac{\Delta N}{\Delta t}$	lineaire formule	Zelf afleiden	9.3a
$\displaystyle \frac{1}{a^p} = a^{-p}$	negatieve exponent	Zelf afleiden	9.4a
$\displaystyle a^{pq} = \left(a^p\right)^q$	macht van een macht	Zelf afleiden	9.4a
$\displaystyle a^{p+q} = a^p \cdot a^q$	som in de exponent	Zelf afleiden	9.4a