Redeneren met formules

Bij "beredeneer" wil het examen een redenering zien, geen berekening. Je werkt stap voor stap van de variabele naar de uitkomst van de formule. Getallenvoorbeelden of een schets van de grafiek tellen niet als redenering.

20 min

Na deze les kun je

beredeneren of een grafiek stijgend of dalend is
beredeneren wat de grenswaarde is
redeneren bij formules met $g^t$ , $x^n$ en $\sqrt{x}$
redeneren bij een formule met twee variabelen

Dit weet je al

Uit hoofdstuk 9: als $t$ toeneemt, dan neemt $g^t$ toe als $g > 1$ en af als $0 < g < 1$ . Als $t$ heel groot wordt, dan wordt $g^t$ heel groot als $g > 1$ en nadert $g^t$ tot 0 als $0 < g < 1$ .

De bouwstenen

We nemen aan dat $x > 0$ (en $t \geq 0$ ).

Als $x$ toeneemt, dan ...	Als $x$ heel groot wordt, dan ...
neemt $\sqrt{x}$ toe	wordt $\sqrt{x}$ heel groot
neemt $x^n$ toe als $n > 0$	wordt $x^n$ heel groot als $n > 0$
neemt $x^n$ af als $n < 0$	nadert $x^n$ tot 0 als $n < 0$
neemt $\frac{a}{x}$ af (met $a > 0$ )	nadert $\frac{a}{x}$ tot 0

Verder geldt bij elke stap:

iets optellen of aftrekken verandert de richting niet;
met een negatief getal vermenigvuldigen, of het van een getal aftrekken, draait de richting om;
staat iets in de noemer van een breuk met een positieve teller, dan draait de richting ook om.

\displaystyle \text{noemer} \to \text{heel groot} \;\Rightarrow\; \frac{a}{\text{noemer}} \to 0

a

: een vast getal (de teller).

Stap voor stap

Begin bij stijgen of dalen met "Als $x$ toeneemt, dan ...". Begin bij een grenswaarde met "Als $x$ heel groot wordt, dan ...". Schrijf elke stap op en eindig met een conclusie.

✎Voorbeeld: een groeiformule

Gegeven is $A = 50 - 40 \cdot 0{,}7^t$ .

a. Beredeneer of de grafiek stijgt of daalt. Als $t$ toeneemt, dan neemt $0{,}7^t$ af, dus dan neemt $40 \cdot 0{,}7^t$ af, dus dan neemt $50 - 40 \cdot 0{,}7^t$ toe. De grafiek van $A$ is stijgend.

b. Beredeneer wat de grenswaarde is. Als $t$ heel groot wordt, dan nadert $0{,}7^t$ tot 0, dus dan wordt $40 \cdot 0{,}7^t \approx 0$ , dus dan wordt $A \approx 50 - 0 = 50$ . De grenswaarde is 50.

✎Voorbeeld: een wortel in de noemer

Gegeven is $B = 12 + \frac{8}{\sqrt{x}}$ .

a. Als $x$ toeneemt, dan neemt $\sqrt{x}$ toe, dus dan neemt $\frac{8}{\sqrt{x}}$ af, dus dan neemt $B$ af. De grafiek is dalend.

b. Als $x$ heel groot wordt, dan wordt $\sqrt{x}$ heel groot, dus dan nadert $\frac{8}{\sqrt{x}}$ tot 0, dus dan wordt $B \approx 12 + 0 = 12$ . De grenswaarde is 12.

✎Voorbeeld: twee variabelen

Gegeven is $F = \frac{200}{p \cdot q}$ , met $p$ en $q$ positief. Beredeneer wat er met $F$ gebeurt als $p$ toeneemt en $q$ gelijk blijft.

Als $p$ toeneemt en $q$ gelijk blijft, dan neemt $p \cdot q$ toe. De teller 200 blijft gelijk en de noemer neemt toe, dus $F$ neemt af.

!Een getallenvoorbeeld is geen redenering

"Bij $x = 1$ is $B = 20$ en bij $x = 100$ is $B = 12{,}8$ , dus dalend" is geen redenering: twee getallen zeggen niets over alle tussenliggende waarden. Gebruik getallen hooguit om je redenering te controleren.

≈Een negatieve exponent is een breuk

$x^{-1{,}5} = \frac{1}{x^{1{,}5}}$ . Als $x$ toeneemt, wordt de noemer $x^{1{,}5}$ groter en de breuk dus kleiner. Zo zie je waarom $x^n$ afneemt als $n < 0$ .

Even controleren

Snap je het?

Beredeneer of de grafiek van $N = 30 \cdot 1{,}2^t + 5$ stijgt of daalt.

Beredeneer wat de grenswaarde is van $C = \frac{60}{3 + 0{,}5^t}$ .

Gegeven is $D = 9 - 4x^{-0{,}5}$ . Stijgt of daalt de grafiek?

↗Hoe hangt dit samen?

In paragraaf 11.4 komt alles samen: herleiden met breuken en machten, substitueren, redeneren en rekenen met de GR, steeds in een context.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

$\frac{a}{10} \;,\; \frac{a}{1000} \;,\; \frac{a}{1\,000\,000}$	de noemer wordt steeds groter
$\frac{a}{\text{noemer}} \to 0$	je deelt een vast getal in steeds meer stukken: de uitkomst nadert tot 0

Grootheid	Symbool	Eenheid
variabelen (horizontale en verticale as)	$x$ , $y$	hangt af van de situatie
getallen in de lijn $px + qy = c$	$p$ , $q$ , $c$	geen eenheid
tijd	$t$	jaar, maand, week, dag, minuut, ...
groeifactor per tijdseenheid	$g$	geen eenheid
exponent in een macht $x^n$	$n$	geen eenheid
constanten in een formule die je moet berekenen	$a$ , $b$ , $c$	hangt af van de formule

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle x = 0 \;\Rightarrow\; y = \frac{c}{q} \qquad y = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{c}{p}$	snijpunten van px + qy = c met de assen	Zelf afleiden	11.1a
$\displaystyle \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$	wortels vermenigvuldigen	Zelf afleiden	11.2a
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$	wortels delen	Zelf afleiden	11.2a
$\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \;\Rightarrow\; A \cdot D = B \cdot C$	kruiselings vermenigvuldigen	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle P = \frac{Q}{R} \;\Rightarrow\; R = \frac{Q}{P}$	wisseleigenschap	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle \sqrt{a} = b \;\Rightarrow\; a = b^2$	wortel wegwerken	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle \text{noemer} \to \text{heel groot} \;\Rightarrow\; \frac{a}{\text{noemer}} \to 0$	een breuk met een groeiende noemer	Zelf afleiden	11.3a
$\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$	delen door een breuk	Zelf afleiden	11.4a
$\displaystyle a^p \cdot a^q = a^{p+q} \qquad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \qquad (a^p)^q = a^{pq} \qquad (ab)^p = a^p b^p \qquad a^{-p} = \frac{1}{a^p}$	rekenregels voor machten	Zelf afleiden	11.4a
$\displaystyle t = \frac{d}{7}$	van weken naar dagen	Zelf afleiden	11.4b