Formulevaardigheden met de GR

In de laatste paragraaf komen alle vaardigheden uit dit hoofdstuk samen in één opgave over een model. Je kiest steeds zelf: kan ik dit exact herleiden, of gebruik ik de GR?

20 min

Na deze les kun je

met de GR een maximum, minimum of snijpunt van een model vinden
een vergelijking met de GR oplossen en het antwoord in de context geven
een formule omzetten naar een andere tijdseenheid door te substitueren
de uitkomst afronden zoals de vraag het wil

Dit weet je al

Wortels herleiden (11.2a), vrijmaken (11.2b), redeneren (11.3a) en substitueren (11.4a).

De GR gebruiken

Schrijf altijd op wat je invoert en welke optie je gebruikt.

Je zoekt	Invoer	Optie
de grootste of kleinste waarde	$y_1$ = formule	maximum of minimum
wanneer het model een waarde bereikt	$y_1$ = formule en $y_2$ = waarde	snijpunt (of oplossen)
wanneer twee modellen gelijk zijn	$y_1$ = model 1 en $y_2$ = model 2	snijpunt (of oplossen)

Op de GR is de variabele altijd $x$ . Schrijf het antwoord daarna weer met de letter uit de opgave, zoals $t$ .

✎Voorbeeld: een plant

Voor de hoogte $H$ in cm van een plant geldt het model $H = 24\sqrt{t} - 2t$ , met $t$ de tijd in weken.

a. Wat is de grootste hoogte volgens het model? Voer in $y_1 = 24\sqrt{x} - 2x$ . De optie maximum geeft $x = 36$ en $y = 72$ . De grootste hoogte is 72 cm, na 36 weken.

b. Tussen welke tijdstippen is de plant hoger dan 60 cm? Rond af op gehelen. Voer in $y_1 = 24\sqrt{x} - 2x$ en $y_2 = 60$ . De optie snijpunt geeft $x = 12{,}6...$ en $x = 71{,}3...$ . De plant is hoger dan 60 cm tussen ongeveer week 13 en week 71.

De grafiek van H = 24√t − 2t met de top (36, 72) en de snijpunten met de lijn H = 60.

Een andere tijdseenheid

Wil je de tijd in een andere eenheid, dan schrijf je eerst het verband tussen de twee tijdvariabelen op. Daarna substitueer je en herleid je.

\displaystyle t = \frac{d}{7}

t

: tijd in weken,

d

: tijd in dagen.

Controleer zo'n verband altijd met één getal: $d = 7$ moet $t = 1$ geven, en dat klopt.

✎Voorbeeld: de plant per dag

Schrijf het model in de vorm $H = a\sqrt{d} + bd$ , met $d$ de tijd in dagen. Rond $a$ en $b$ af op drie decimalen.

Substitueer $t = \frac{d}{7}$ en gebruik de rekenregels voor wortels:

$H = 24\sqrt{\frac{d}{7}} - 2 \cdot \frac{d}{7} = \frac{24}{\sqrt{7}} \cdot \sqrt{d} - \frac{2}{7}d \approx 9{,}071\sqrt{d} - 0{,}286d$

Dus $a \approx 9{,}071$ en $b \approx -0{,}286$ .

!De verkeerde kant op omrekenen

Een week is 7 dagen, maar dat betekent niet $t = 7d$ . Controleer met een getal: bij $d = 7$ (een week) geeft $t = 7d$ de waarde 49 weken. Dat is fout. Het goede verband is $t = \frac{d}{7}$ .

≈Exact of met de GR?

Vraagt de opgave "toon aan", "herleid" of "druk uit in", dan moet het exact, met de regels uit dit hoofdstuk. Vraagt de opgave "bereken" bij een vergelijking die je niet makkelijk vrijmaakt, zoals $24\sqrt{t} - 2t = 60$ , dan gebruik je de GR.

Even controleren

Snap je het?

Een tweede plant groeit volgens $G = 3t + 10$ ( $t$ in weken). Na hoeveel weken zijn de twee planten even hoog (de tweede keer)? Rond af op één decimaal.

Een model gebruikt $t$ in jaren. Je wilt de tijd $m$ in maanden. Welke substitutie gebruik je?

Na hoeveel weken is de hoogte $H = 24\sqrt{t} - 2t$ volgens het model weer 0? Bereken dit exact.

↗Hoe hangt dit samen?

Hiermee is hoofdstuk 11 af. In de gemengde opgaven en de kennis- en vaardighedentest oefen je alle vaardigheden door elkaar. Bepaal bij elke vraag eerst: tekenen, herleiden, redeneren of de GR?

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

$d = 7t$	een week heeft 7 dagen, dus het aantal dagen is 7 keer zo groot
$t = \frac{d}{7}$	deel links en rechts door 7

Grootheid	Symbool	Eenheid
variabelen (horizontale en verticale as)	$x$ , $y$	hangt af van de situatie
getallen in de lijn $px + qy = c$	$p$ , $q$ , $c$	geen eenheid
tijd	$t$	jaar, maand, week, dag, minuut, ...
groeifactor per tijdseenheid	$g$	geen eenheid
exponent in een macht $x^n$	$n$	geen eenheid
constanten in een formule die je moet berekenen	$a$ , $b$ , $c$	hangt af van de formule

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle x = 0 \;\Rightarrow\; y = \frac{c}{q} \qquad y = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{c}{p}$	snijpunten van px + qy = c met de assen	Zelf afleiden	11.1a
$\displaystyle \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$	wortels vermenigvuldigen	Zelf afleiden	11.2a
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$	wortels delen	Zelf afleiden	11.2a
$\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \;\Rightarrow\; A \cdot D = B \cdot C$	kruiselings vermenigvuldigen	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle P = \frac{Q}{R} \;\Rightarrow\; R = \frac{Q}{P}$	wisseleigenschap	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle \sqrt{a} = b \;\Rightarrow\; a = b^2$	wortel wegwerken	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle \text{noemer} \to \text{heel groot} \;\Rightarrow\; \frac{a}{\text{noemer}} \to 0$	een breuk met een groeiende noemer	Zelf afleiden	11.3a
$\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$	delen door een breuk	Zelf afleiden	11.4a
$\displaystyle a^p \cdot a^q = a^{p+q} \qquad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \qquad (a^p)^q = a^{pq} \qquad (ab)^p = a^p b^p \qquad a^{-p} = \frac{1}{a^p}$	rekenregels voor machten	Zelf afleiden	11.4a
$\displaystyle t = \frac{d}{7}$	van weken naar dagen	Zelf afleiden	11.4b