Allerlei formules herleiden

In veel opgaven staat: "herleid tot de vorm ...", "schrijf als één breuk" of "combineer de formules tot ...". De gevraagde vorm vertelt je waar je naartoe werkt. In deze les zet je de regels voor breuken, machten en substitueren op een rij.

20 min

Na deze les kun je

breuken optellen, vermenigvuldigen en delen
een breuk splitsen in losse termen
formules herleiden met de rekenregels voor machten
twee formules combineren door te substitueren

Dit weet je al

Vrijmaken met de balansmethode, kruiselings vermenigvuldigen en de wisseleigenschap (les 11.2b).

Breuken

Optellen of aftrekken: maak eerst de noemers gelijk. $\frac{3}{x} + \frac{x}{4} = \frac{12}{4x} + \frac{x^2}{4x} = \frac{12 + x^2}{4x}$
Vermenigvuldigen: teller maal teller en noemer maal noemer.
Delen door een breuk: vermenigvuldigen met het omgekeerde. $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
Splitsen: een breuk met een som in de teller mag je splitsen. $\frac{6x + 9}{3x} = \frac{6x}{3x} + \frac{9}{3x} = 2 + \frac{3}{x}$

\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

b

c

d

: niet gelijk aan 0.

Machten

\displaystyle a^p \cdot a^q = a^{p+q} \qquad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \qquad (a^p)^q = a^{pq} \qquad (ab)^p = a^p b^p \qquad a^{-p} = \frac{1}{a^p}

a

b

: positief;

p

q

: willekeurige getallen.

✎Voorbeeld: machten herleiden

a. Herleid $N = \frac{(2t^3)^2}{8t^4}$ tot de vorm $N = at^n$ . $N = \frac{4t^6}{8t^4} = 0{,}5t^2$

b. Schrijf $N = \frac{500}{4 \cdot 1{,}25^t}$ in de vorm $N = b \cdot g^t$ . $N = 125 \cdot \frac{1}{1{,}25^t} = 125 \cdot (1{,}25^{-1})^t = 125 \cdot 0{,}8^t$

Substitueren en combineren

Bij substitueren vervang je een variabele door de formule waaraan hij gelijk is. Moet een variabele verdwijnen die nog niet vrij staat, maak die dan eerst vrij.

✎Voorbeeld: combineren tot een lineaire formule

Gegeven zijn $W = 3a + b$ en $2a + 5b = 20$ . Schrijf $W$ in de vorm $W = pb + q$ .

Maak $a$ vrij: $2a = 20 - 5b$ , dus $a = 10 - 2{,}5b$ .
Substitueer: $W = 3(10 - 2{,}5b) + b = 30 - 7{,}5b + b$ .
Dus $W = -6{,}5b + 30$ .

!Haakjes bij het substitueren

Vervang je een variabele door een formule met een plus of min, zet die formule dan tussen haakjes. Bij $P = 4q - 3r$ en $r = 2q + 1$ krijg je $P = 4q - 3(2q + 1) = 4q - 6q - 3 = -2q - 3$ . Zonder haakjes vergeet je de min bij de $+1$ .

≈Werk naar de gevraagde vorm

Staat er "in de vorm $at^n$ ", dan wil je één getal maal één macht van $t$ . Gebruik dus de rekenregels tot er één macht over is. Staat er "als één breuk", dan maak je gelijknamig. De vorm is je controle: lijkt je antwoord niet op de vorm, dan ben je nog niet klaar.

Even controleren

Snap je het?

Schrijf $K = 2 + \frac{5}{x}$ als één breuk.

Herleid $M = \frac{6x^5}{2x^2} \cdot x^{-1}$ tot de vorm $M = ax^n$ .

Combineer $R = 5s - 2$ en $s = 0{,}2u + 4$ tot $R = au + b$ .

↗Hoe hangt dit samen?

In de laatste les gebruik je deze vaardigheden samen met de GR: een model met een maximum, een snijpunt of een andere tijdseenheid.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$	schrijf de deling als breuk
$\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \dfrac{\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}}{\frac{c}{d} \cdot \frac{d}{c}}$	vermenigvuldig teller en noemer met $\frac{d}{c}$
$\dfrac{\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$	een breuk maal zijn omgekeerde is 1

$a^3 \cdot a^2 = (a \cdot a \cdot a) \cdot (a \cdot a) = a^5$	tel de factoren $a$ : de exponenten worden opgeteld
$\frac{a^5}{a^2} = \frac{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}{a \cdot a} = a^3$	twee factoren vallen weg: de exponenten worden afgetrokken
$(a^2)^3 = a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 = a^6$	drie keer $a^2$ : de exponenten worden vermenigvuldigd
$\frac{1}{a^p} = \frac{a^0}{a^p} = a^{0-p} = a^{-p}$	met $a^0 = 1$ en de regel voor delen

Grootheid	Symbool	Eenheid
variabelen (horizontale en verticale as)	$x$ , $y$	hangt af van de situatie
getallen in de lijn $px + qy = c$	$p$ , $q$ , $c$	geen eenheid
tijd	$t$	jaar, maand, week, dag, minuut, ...
groeifactor per tijdseenheid	$g$	geen eenheid
exponent in een macht $x^n$	$n$	geen eenheid
constanten in een formule die je moet berekenen	$a$ , $b$ , $c$	hangt af van de formule

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle x = 0 \;\Rightarrow\; y = \frac{c}{q} \qquad y = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{c}{p}$	snijpunten van px + qy = c met de assen	Zelf afleiden	11.1a
$\displaystyle \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$	wortels vermenigvuldigen	Zelf afleiden	11.2a
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$	wortels delen	Zelf afleiden	11.2a
$\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \;\Rightarrow\; A \cdot D = B \cdot C$	kruiselings vermenigvuldigen	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle P = \frac{Q}{R} \;\Rightarrow\; R = \frac{Q}{P}$	wisseleigenschap	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle \sqrt{a} = b \;\Rightarrow\; a = b^2$	wortel wegwerken	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle \text{noemer} \to \text{heel groot} \;\Rightarrow\; \frac{a}{\text{noemer}} \to 0$	een breuk met een groeiende noemer	Zelf afleiden	11.3a
$\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$	delen door een breuk	Zelf afleiden	11.4a
$\displaystyle a^p \cdot a^q = a^{p+q} \qquad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \qquad (a^p)^q = a^{pq} \qquad (ab)^p = a^p b^p \qquad a^{-p} = \frac{1}{a^p}$	rekenregels voor machten	Zelf afleiden	11.4a
$\displaystyle t = \frac{d}{7}$	van weken naar dagen	Zelf afleiden	11.4b