Lineair of exponentieel: herkennen en nagaan

Er zijn twee soorten regelmatige groei. Bij lineaire groei komt er per tijdseenheid steeds hetzelfde getal bij. Bij exponentiële groei wordt er per tijdseenheid steeds met hetzelfde getal vermenigvuldigd. Je moet eerst weten welke van de twee je hebt, want daar hangt de werkwijze van af.

20 min

Na deze les kun je

aan een beschrijving herkennen of groei lineair of exponentieel is
een lineaire formule opstellen uit twee punten
met verschillen en quotiënten nagaan of een tabel bij een lineair of een exponentieel verband past

Dit weet je al

Lineaire formules uit de onderbouw, en exponentiële formules opstellen uit twee meetpunten (les 9.2b).

Twee soorten groei

Let op de woorden in de opgave. "Met 25 per jaar", "een vast aantal" of "met een constante snelheid" wijzen op lineaire groei. "Met 25% per jaar", "een vast percentage", "verdubbelt" of "halveert" wijzen op exponentiële groei.

	lineair	exponentieel
per tijdseenheid	er komt hetzelfde getal bij of af	er wordt met hetzelfde getal vermenigvuldigd
formule	$N = at + b$	$N = b \cdot g^t$
$b$	beginwaarde	beginwaarde
groei	$a > 0$ toename, $a < 0$ afname	$g > 1$ toename, $0 < g < 1$ afname
grafiek	rechte lijn: constant stijgend of dalend	kromme: toenemend stijgend of afnemend dalend

Blauw: lineair, <span class= — Blauw: lineair, $N = 80 + 30t$ , een rechte lijn. Oranje: exponentieel, $N = 80 \cdot 1{,}25^t$ , een kromme die steeds steiler wordt. Eerst ligt de lineaire grafiek hoger, later de exponentiële.

Een lineaire formule uit twee punten

\displaystyle N = at + b \qquad a = \frac{\Delta N}{\Delta t}

a

: toename per tijdseenheid (het hellingsgetal),

b

: beginwaarde,

\Delta N

: verschil in

N

\Delta t

: verschil in

t

✎Voorbeeld: lineair uit twee punten

Een hoeveelheid groeit lineair. Op $t = 3$ is $N = 275$ en op $t = 7$ is $N = 375$ .

$a = \dfrac{375 - 275}{7 - 3} = 25$ .
Vul $t = 3$ en $N = 275$ in: $25 \cdot 3 + b = 275$ , dus $b = 200$ .
De formule is $N = 25t + 200$ .

Een tabel nagaan

Neem stappen van dezelfde lengte.

Zijn de verschillen ongeveer gelijk, dan past de tabel bij een lineair verband.
Zijn de quotiënten (nieuwe waarde gedeeld door oude) ongeveer gelijk, dan past de tabel bij een exponentieel verband.

In de praktijk zijn ze nooit precies gelijk, dus "ongeveer" is genoeg. Om te laten zien dat iets níet lineair is, is één afwijkend verschil genoeg. Om te laten zien dat iets wél exponentieel is, gebruik je alle waarden.

✎Voorbeeld: welk verband past bij de tabel?

$t$	0	2	4	6
$N$	80	125	195	305

Verschillen per 2: $125 - 80 = 45$ en $195 - 125 = 70$ . Die zijn niet gelijk, dus het verband is niet lineair.
Quotiënten per 2: $\frac{125}{80} = 1{,}5625$ , $\frac{195}{125} = 1{,}56$ en $\frac{305}{195} = 1{,}564...$ Die zijn ongeveer gelijk, dus het verband is (bij benadering) exponentieel.
De groeifactor per tijdseenheid is $1{,}56^{\frac{1}{2}} \approx 1{,}25$ .

!Ongelijke stappen

Staan de tijdstippen niet op gelijke afstand (bijvoorbeeld 0, 1, 2 en 7), dan mag je de quotiënten niet direct vergelijken. Reken ze eerst om naar een groeifactor per tijdseenheid, bijvoorbeeld $\left(\frac{N_7}{N_2}\right)^{\frac{1}{5}}$ . Bij verschillen deel je door het aantal tijdseenheden.

Even controleren

Snap je het?

Het aantal leden van een club neemt elk jaar met 40 af. Is dat lineair of exponentieel?

Bij een tabel zijn de verschillen per stap 12, 12 en 13, en de quotiënten 1,20, 1,17 en 1,15. Welk verband past het best?

Op $t = 0$ is $N = 50$ en op $t = 4$ is $N = 90$ . Geef de lineaire formule.

↗Hoe hangt dit samen?

Exponentiële groei loopt snel uit de hand op een gewone as. In de volgende les zie je hoe een logaritmische schaal daar een rechte lijn van maakt.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

$\Delta N = N_2 - N_1$	zoveel komt erbij tussen de twee tijdstippen
$\Delta t = t_2 - t_1$	zoveel tijdseenheden zitten ertussen
$a = \frac{\Delta N}{\Delta t}$	bij lineaire groei komt er per tijdseenheid steeds even veel bij
$N_1 = a \cdot t_1 + b$	vul één punt in en los $b$ op

Grootheid	Symbool	Eenheid
hoeveelheid	$N$	hangt af van de situatie (aantal, m², euro, ...)
beginwaarde (hoeveelheid op $t = 0$ )	$b$	dezelfde eenheid als $N$
groeifactor per tijdseenheid	$g$	geen eenheid
groeipercentage	$p$	procent (%)
tijd	$t$	jaar, maand, dag, uur, ...
verdubbelingstijd of halveringstijd	de oplossing $t$ van $g^t = 2$ of $g^t = 0{,}5$	dezelfde eenheid als $t$
toename per tijdseenheid (lineair)	$a$	eenheid van $N$ per tijdseenheid

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle g = 1 + \frac{p}{100} \quad\text{(toename)} \qquad g = 1 - \frac{p}{100} \quad\text{(afname)}$	groeifactor bij een groeipercentage	Zelf afleiden	9.1a
$\displaystyle N = b \cdot g^t$	exponentiële groei	Zelf afleiden	9.1a
$\displaystyle g^t = 2 \qquad\qquad g^t = 0{,}5$	verdubbelingstijd en halveringstijd	Zelf afleiden	9.1b
$\displaystyle g_n = g^n$	groeifactor per n tijdseenheden	Zelf afleiden	9.2a
$\displaystyle g = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^{\frac{1}{t_2 - t_1}}$	groeifactor uit twee meetpunten	Zelf afleiden	9.2b
$\displaystyle N = at + b \qquad a = \frac{\Delta N}{\Delta t}$	lineaire formule	Zelf afleiden	9.3a
$\displaystyle \frac{1}{a^p} = a^{-p}$	negatieve exponent	Zelf afleiden	9.4a
$\displaystyle a^{pq} = \left(a^p\right)^q$	macht van een macht	Zelf afleiden	9.4a
$\displaystyle a^{p+q} = a^p \cdot a^q$	som in de exponent	Zelf afleiden	9.4a