Gebieden bij meerdere ongelijkheden

In een situatie gelden vaak meerdere voorwaarden tegelijk. Elke voorwaarde is een ongelijkheid en hoort bij een halfvlak (of een gebied aan één kant van een kromme). Het gebied dat bij de situatie hoort, is het deel van het vlak dat aan alle voorwaarden voldoet.

20 min

Na deze les kun je

bij een situatie de ongelijkheden opstellen
het gebied tekenen dat bij meerdere ongelijkheden hoort
nagaan of een punt in het gebied ligt
een proefpunt gebruiken bij een grenslijn die geen rechte lijn is

Dit weet je al

Een halfvlak tekenen met grenslijn en proefpunt (les 11.1a).

Werkwijze

Schrijf elke voorwaarde als een ongelijkheid. Let op de woorden: "maximaal" en "niet meer dan" geven $\leq$ , "minstens" en "niet minder dan" geven $\geq$ .
Teken alle grenslijnen.
Bepaal per ongelijkheid met een proefpunt aan welke kant het gebied ligt.
Kleur het deel dat bij alle ongelijkheden hoort.

✎Voorbeeld: de bakker

Een bakker bakt per dag $x$ broden en $y$ taarten. Een brood neemt één plek in de oven in, een taart twee plekken. Er zijn 40 plekken. Hij bakt minstens 10 broden en minstens 4 taarten.

a. Stel de ongelijkheden op. Ovenruimte: $x + 2y \leq 40$ . Verder $x \geq 10$ en $y \geq 4$ .

b. Teken het gebied. Grenslijn $x + 2y = 40$ gaat door $(0, 20)$ en $(40, 0)$ . Proefpunt $(0, 0)$ : $0 \leq 40$ klopt, dus op en onder de lijn. Verder rechts van $x = 10$ en boven $y = 4$ .

c. Kan de bakker 20 broden en 8 taarten bakken? En 24 broden en 9 taarten? $(20, 8)$ : $20 + 16 = 36 \leq 40$ , en $20 \geq 10$ en $8 \geq 4$ . Ja. $(24, 9)$ : $24 + 18 = 42$ , en dat is meer dan 40. Nee.

d. Hoeveel taarten kan hij maximaal bakken? Zo weinig mogelijk broden: $x = 10$ . Dan $10 + 2y = 40$ , dus $y = 15$ . Maximaal 15 taarten.

Het gebied bij x + 2y ≤ 40, x ≥ 10 en y ≥ 4. Het punt (20, 8) ligt erin, het punt (24, 9) niet.

Een grenslijn die geen rechte lijn is

Het proefpunt werkt ook bij een kromme als grenslijn. Je tekent eerst de grafiek met een tabel of de GR, en je controleert daarna één punt dat niet op de grafiek ligt.

✎Voorbeeld: een moestuin

Een rechthoekige moestuin is $x$ m lang en $y$ m breed. De oppervlakte moet minstens 24 m² zijn: $x \cdot y \geq 24$ .

De grenslijn is de grafiek van $x \cdot y = 24$ , oftewel $y = \frac{24}{x}$ . Punten: $(2, 12)$ , $(4, 6)$ , $(6, 4)$ , $(8, 3)$ .

Proefpunt $(0, 0)$ : $0 \cdot 0 = 0$ , en $0 \geq 24$ klopt niet. Het gebied ligt dus aan de andere kant: op en boven de kromme.

Er is 24 m hek voor de omtrek: $2x + 2y \leq 24$ , oftewel $x + y \leq 12$ . Past een tuin van 5 bij 6 m? $5 \cdot 6 = 30 \geq 24$ en $5 + 6 = 11 \leq 12$ . Ja.

!Het teken bij delen door een negatief getal

Schrijf je een ongelijkheid om, zoals $-2y \leq 6 - x$ , dan draait het teken om als je deelt door een negatief getal: $y \geq -3 + 0{,}5x$ . Wil je dat vermijden, laat de ongelijkheid dan staan in de vorm $px + qy \leq c$ en gebruik een proefpunt.

≈Het belangrijkste punt ligt vaak in een hoek

Bij vragen als "hoeveel maximaal" of "wat is het minimum" is het antwoord vaak een hoekpunt van het gebied: het snijpunt van twee grenslijnen. Bereken dat punt dan exact door de twee vergelijkingen samen op te lossen.

Even controleren

Snap je het?

Een kantine verkoopt per pauze $x$ broodjes en $y$ bekers soep. Er zijn hooguit 60 broodjes en er worden minstens twee keer zoveel broodjes als bekers soep verkocht. Geef de ongelijkheden.

Ligt het punt $(12, 15)$ in het gebied van de bakker?

Hoort het punt $(3, 7)$ bij $x \cdot y \geq 24$ ?

↗Hoe hangt dit samen?

In paragraaf 11.2 ga je formules herleiden en variabelen vrijmaken. Dat heb je ook nodig om een grenslijn als $x \cdot y = 24$ te schrijven als $y = \frac{24}{x}$ .

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

Grootheid	Symbool	Eenheid
variabelen (horizontale en verticale as)	$x$ , $y$	hangt af van de situatie
getallen in de lijn $px + qy = c$	$p$ , $q$ , $c$	geen eenheid
tijd	$t$	jaar, maand, week, dag, minuut, ...
groeifactor per tijdseenheid	$g$	geen eenheid
exponent in een macht $x^n$	$n$	geen eenheid
constanten in een formule die je moet berekenen	$a$ , $b$ , $c$	hangt af van de formule

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle x = 0 \;\Rightarrow\; y = \frac{c}{q} \qquad y = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{c}{p}$	snijpunten van px + qy = c met de assen	Zelf afleiden	11.1a
$\displaystyle \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$	wortels vermenigvuldigen	Zelf afleiden	11.2a
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$	wortels delen	Zelf afleiden	11.2a
$\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \;\Rightarrow\; A \cdot D = B \cdot C$	kruiselings vermenigvuldigen	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle P = \frac{Q}{R} \;\Rightarrow\; R = \frac{Q}{P}$	wisseleigenschap	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle \sqrt{a} = b \;\Rightarrow\; a = b^2$	wortel wegwerken	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle \text{noemer} \to \text{heel groot} \;\Rightarrow\; \frac{a}{\text{noemer}} \to 0$	een breuk met een groeiende noemer	Zelf afleiden	11.3a
$\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$	delen door een breuk	Zelf afleiden	11.4a
$\displaystyle a^p \cdot a^q = a^{p+q} \qquad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \qquad (a^p)^q = a^{pq} \qquad (ab)^p = a^p b^p \qquad a^{-p} = \frac{1}{a^p}$	rekenregels voor machten	Zelf afleiden	11.4a
$\displaystyle t = \frac{d}{7}$	van weken naar dagen	Zelf afleiden	11.4b