Rekenregels voor wortels

Formules met wortels kun je vaak korter schrijven. Je gebruikt daarvoor twee rekenregels: één voor vermenigvuldigen en één voor delen. Je kunt ze in beide richtingen gebruiken.

15 min

Na deze les kun je

twee wortels samenvoegen tot één wortel
een factor uit het wortelteken halen
een factor onder het wortelteken brengen
een formule herleiden tot de vorm $c\sqrt{x}$ of $\sqrt{ax}$

Dit weet je al

De wortel $\sqrt{a}$ is het getal dat je met zichzelf vermenigvuldigt om $a$ te krijgen (voor $a \geq 0$ ). Dus $(\sqrt{a})^2 = a$ en $\sqrt{a^2} = a$ .

De rekenregels

\displaystyle \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}

a

b

: getallen of uitdrukkingen die niet negatief zijn.

\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

a

: niet negatief,

b

: positief.

Andersom mag ook: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ . Zo haal je een factor uit het wortelteken.

✎Voorbeeld: drie herleidingen

a. Schrijf $A = \sqrt{2p} \cdot \sqrt{8p}$ zonder wortel. $A = \sqrt{2p \cdot 8p} = \sqrt{16p^2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{p^2} = 4p$

b. Schrijf $P = \sqrt{45q}$ in de vorm $P = c\sqrt{q}$ . Rond $c$ af op twee decimalen. $P = \sqrt{45} \cdot \sqrt{q} \approx 6{,}71\sqrt{q}$

c. Schrijf $K = 4\sqrt{x}$ in de vorm $K = \sqrt{ax}$ . Breng de 4 onder het wortelteken: $4 = \sqrt{16}$ , dus $K = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{16x}$ .

✎Voorbeeld: wortels delen

Herleid $R = \frac{\sqrt{50t}}{\sqrt{2t}}$ . $R = \sqrt{\frac{50t}{2t}} = \sqrt{25} = 5$

!Een wortel van een som splits je niet

$\sqrt{a + b}$ is niet gelijk aan $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ . Controleer met getallen: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , maar $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ . De rekenregels gelden alleen voor vermenigvuldigen en delen.

≈Afronden doe je pas aan het eind

Bij $\sqrt{45} \approx 6{,}708...$ rond je pas af als het antwoord er staat. Bij een volgende berekening reken je verder met de onafgeronde waarde in de GR.

Even controleren

Snap je het?

Schrijf $N = \sqrt{3x} \cdot \sqrt{12x}$ zonder wortel.

Schrijf $M = \sqrt{20k}$ in de vorm $M = c\sqrt{k}$ , met $c$ op twee decimalen.

Schrijf $W = 3\sqrt{2y}$ in de vorm $W = \sqrt{ay}$ .

↗Hoe hangt dit samen?

In de volgende les gebruik je $(\sqrt{a})^2 = a$ om een variabele vrij te maken die onder een wortel staat, en je maakt variabelen vrij in formules met breuken.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

$(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2$	kwadrateer het linkerlid, met $(xy)^2 = x^2 y^2$
$(\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = a \cdot b$	want $(\sqrt{a})^2 = a$
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$	het kwadraat is $ab$ en het getal is niet negatief, dus het is de wortel uit $ab$

$\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2}$	kwadrateer teller en noemer apart
$\frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} = \frac{a}{b}$	want $(\sqrt{a})^2 = a$ en $(\sqrt{b})^2 = b$
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$	het kwadraat is $\frac{a}{b}$ , dus het is de wortel uit $\frac{a}{b}$

Grootheid	Symbool	Eenheid
variabelen (horizontale en verticale as)	$x$ , $y$	hangt af van de situatie
getallen in de lijn $px + qy = c$	$p$ , $q$ , $c$	geen eenheid
tijd	$t$	jaar, maand, week, dag, minuut, ...
groeifactor per tijdseenheid	$g$	geen eenheid
exponent in een macht $x^n$	$n$	geen eenheid
constanten in een formule die je moet berekenen	$a$ , $b$ , $c$	hangt af van de formule

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle x = 0 \;\Rightarrow\; y = \frac{c}{q} \qquad y = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{c}{p}$	snijpunten van px + qy = c met de assen	Zelf afleiden	11.1a
$\displaystyle \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$	wortels vermenigvuldigen	Zelf afleiden	11.2a
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$	wortels delen	Zelf afleiden	11.2a
$\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \;\Rightarrow\; A \cdot D = B \cdot C$	kruiselings vermenigvuldigen	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle P = \frac{Q}{R} \;\Rightarrow\; R = \frac{Q}{P}$	wisseleigenschap	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle \sqrt{a} = b \;\Rightarrow\; a = b^2$	wortel wegwerken	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle \text{noemer} \to \text{heel groot} \;\Rightarrow\; \frac{a}{\text{noemer}} \to 0$	een breuk met een groeiende noemer	Zelf afleiden	11.3a
$\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$	delen door een breuk	Zelf afleiden	11.4a
$\displaystyle a^p \cdot a^q = a^{p+q} \qquad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \qquad (a^p)^q = a^{pq} \qquad (ab)^p = a^p b^p \qquad a^{-p} = \frac{1}{a^p}$	rekenregels voor machten	Zelf afleiden	11.4a
$\displaystyle t = \frac{d}{7}$	van weken naar dagen	Zelf afleiden	11.4b

Rekenregels voor wortels

Na deze les kun je

Dit weet je al

De rekenregels

Snap je het?

Grootheden en eenheden

Formules