Logaritmische schaal en logaritmisch papier

Getallen die heel ver uit elkaar liggen, zoals het gewicht van een muis en van een walvis, passen niet goed op een gewone getallenlijn. Daarom gebruik je een logaritmische schaalverdeling: bij elke vaste stap wordt het getal met een vast getal vermenigvuldigd, meestal met 10. Exponentiële groei wordt daarop een rechte lijn.

20 min

Na deze les kun je

waarden aflezen en uitzetten op een logaritmische schaalverdeling
herkennen dat een rechte lijn op logaritmisch papier bij exponentiële groei hoort
bij een rechte lijn op logaritmisch papier de formule $N = b \cdot g^t$ opstellen

Dit weet je al

Machten van 10 ( $10^{-2} = 0{,}01$ , $10^0 = 1$ , $10^3 = 1000$ ) en een formule opstellen uit twee meetpunten (les 9.2b).

Een vaste factor per stap

Op een gewone as is de afstand van 0 tot 1 even groot als van 1 tot 2: steeds plus 1. Op een logaritmische as is de afstand van 1 tot 10 even groot als van 10 tot 100 en van 100 tot 1000: steeds keer 10.

Tussen twee machten van 10 staan de lijnen niet op gelijke afstand. Tussen 100 en 1000 staan lijnen bij 200, 300, ..., 900, en die liggen naar boven toe steeds dichter op elkaar. Het getal 0 komt op een logaritmische as niet voor: hoe vaak je ook door 10 deelt, je komt nooit bij 0.

!Aflezen tussen de lijnen

Kijk altijd eerst tussen welke twee machten van 10 je zit. De lijn met een "3" erbij tussen $10^2$ en $10^3$ betekent $3 \cdot 10^2 = 300$ , niet 3 en niet 103. Op logaritmisch papier ligt 300 al ongeveer halverwege tussen 100 en 1000.

Exponentiële groei is een rechte lijn

Op logaritmisch papier heeft alleen de verticale as een logaritmische schaal. De horizontale as voor $t$ is gewoon.

≈Waarom een rechte lijn?

Bij $N = b \cdot g^t$ wordt $N$ bij elke stap van 1 in $t$ met $g$ vermenigvuldigd. Op een logaritmische as hoort bij "keer $g$ " steeds dezelfde afstand omhoog (of omlaag als $g < 1$ ). Gelijke stappen opzij geven dus gelijke stappen omhoog: een rechte lijn. Omgekeerd: is de grafiek op logaritmisch papier recht, dan is het verband exponentieel. Een lineair verband wordt op logaritmisch papier juist een kromme.

De formule <span class= — De formule $N = 40 \cdot 2{,}512^t$ op logaritmisch papier: een rechte lijn door $(0; 40)$ en $(5; 4000)$ . Bij elke stap van 1 in $t$ gaat de lijn even ver omhoog.

Een formule bij een rechte lijn

Lees twee punten af die goed op de lijnen vallen en ver uit elkaar liggen. Werk daarna net zo als in les 9.2b.

✎Voorbeeld: formule bij een lijn op logaritmisch papier

Een rechte lijn op logaritmisch papier gaat door $(0; 40)$ en $(5; 4000)$ .

De groeifactor over 5 tijdseenheden is $\frac{4000}{40} = 100$ .
Per tijdseenheid: $g = 100^{\frac{1}{5}} \approx 2{,}512$ .
Op $t = 0$ is $N = 40$ , dus $b = 40$ .
De formule is $N = 40 \cdot 2{,}512^t$ .

≈Twee lijnen, dezelfde helling

Twee rechte lijnen die evenwijdig lopen op logaritmisch papier, hebben dezelfde groeifactor. Alleen hun beginwaarde verschilt. Een lijn met dezelfde groeifactor door een gegeven punt teken je dus evenwijdig aan de andere lijn.

Even controleren

Snap je het?

Op een logaritmische as staat $10^1$ bij de onderste lijn en $10^2$ bij de volgende. Welke waarde hoort bij de lijn met een "5" ertussen?

Een grafiek op logaritmisch papier is een kromme. Kan het verband exponentieel zijn?

Een rechte lijn op logaritmisch papier gaat door $(2; 30)$ en $(4; 270)$ . Bereken de groeifactor per tijdseenheid.

↗Hoe hangt dit samen?

Een exponentiële formule ziet er niet altijd uit als $N = b \cdot g^t$ . In de volgende les herleid je zulke formules met de rekenregels voor machten.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

Grootheid	Symbool	Eenheid
hoeveelheid	$N$	hangt af van de situatie (aantal, m², euro, ...)
beginwaarde (hoeveelheid op $t = 0$ )	$b$	dezelfde eenheid als $N$
groeifactor per tijdseenheid	$g$	geen eenheid
groeipercentage	$p$	procent (%)
tijd	$t$	jaar, maand, dag, uur, ...
verdubbelingstijd of halveringstijd	de oplossing $t$ van $g^t = 2$ of $g^t = 0{,}5$	dezelfde eenheid als $t$
toename per tijdseenheid (lineair)	$a$	eenheid van $N$ per tijdseenheid

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle g = 1 + \frac{p}{100} \quad\text{(toename)} \qquad g = 1 - \frac{p}{100} \quad\text{(afname)}$	groeifactor bij een groeipercentage	Zelf afleiden	9.1a
$\displaystyle N = b \cdot g^t$	exponentiële groei	Zelf afleiden	9.1a
$\displaystyle g^t = 2 \qquad\qquad g^t = 0{,}5$	verdubbelingstijd en halveringstijd	Zelf afleiden	9.1b
$\displaystyle g_n = g^n$	groeifactor per n tijdseenheden	Zelf afleiden	9.2a
$\displaystyle g = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^{\frac{1}{t_2 - t_1}}$	groeifactor uit twee meetpunten	Zelf afleiden	9.2b
$\displaystyle N = at + b \qquad a = \frac{\Delta N}{\Delta t}$	lineaire formule	Zelf afleiden	9.3a
$\displaystyle \frac{1}{a^p} = a^{-p}$	negatieve exponent	Zelf afleiden	9.4a
$\displaystyle a^{pq} = \left(a^p\right)^q$	macht van een macht	Zelf afleiden	9.4a
$\displaystyle a^{p+q} = a^p \cdot a^q$	som in de exponent	Zelf afleiden	9.4a