Lijnen en halfvlakken

Een lijn verdeelt het vlak in twee delen: de halfvlakken. Bij het ene halfvlak is de uitkomst van een formule als $3x + 2y$ steeds kleiner dan een getal, bij het andere halfvlak steeds groter. Met een ongelijkheid beschrijf je zo'n halfvlak.

15 min

Na deze les kun je

de lijn $px + qy = c$ tekenen met een tabel van twee punten
nagaan of een punt op een lijn ligt
met een proefpunt bepalen welk halfvlak bij een ongelijkheid hoort
een halfvlak met of zonder rand tekenen

Dit weet je al

De lijn $px + qy = c$ is een rechte lijn. Je tekent hem door $x = 0$ en $y = 0$ in te vullen: dat geeft de snijpunten met de assen.

De grenslijn tekenen

Neem de ongelijkheid $3x + 2y \leq 12$ . Teken eerst de grenslijn $3x + 2y = 12$ .

$x = 0$ geeft $2y = 12$ , dus $y = 6$ .
$y = 0$ geeft $3x = 12$ , dus $x = 4$ .

$x$	0	4
$y$	6	0

De lijn gaat door $(0, 6)$ en $(4, 0)$ . Een punt ligt op de lijn als de vergelijking klopt als je het punt invult. Bijvoorbeeld $(2, 3)$ : $3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12$ , dus dat punt ligt op de lijn.

\displaystyle x = 0 \;\Rightarrow\; y = \frac{c}{q} \qquad y = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{c}{p}

p

q

c

: de getallen in de vergelijking

px + qy = c

(met

p \neq 0

q \neq 0

Het juiste halfvlak: het proefpunt

Alle punten aan één kant van de lijn geven samen een uitkomst kleiner dan 12, alle punten aan de andere kant een uitkomst groter dan 12. Je hoeft dus maar één punt te controleren dat niet op de lijn ligt: het proefpunt. Het rekent het makkelijkst met $(0, 0)$ , als dat punt niet op de lijn ligt.

$(0, 0)$ geeft $3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0$ , en $0 \leq 12$ klopt. Het gebied is dus het halfvlak aan de kant van $(0, 0)$ : op en onder de lijn.

Het halfvlak 3x + 2y ≤ 12: de lijn door (0, 6) en (4, 0), met het proefpunt (0, 0) in het gekleurde gebied.

✎Voorbeeld: welk halfvlak hoort bij 2x − 5y > 10?

Grenslijn $2x - 5y = 10$ : $x = 0$ geeft $y = -2$ , en $y = 0$ geeft $x = 5$ . De lijn gaat door $(0, -2)$ en $(5, 0)$ .
Proefpunt $(0, 0)$ : $2 \cdot 0 - 5 \cdot 0 = 0$ , en $0 > 10$ klopt niet.
Het gebied ligt dus aan de andere kant van de lijn dan $(0, 0)$ : onder de lijn.
Het teken is $>$ en niet $\geq$ , dus de lijn hoort er niet bij. Teken de lijn in een andere kleur (of gestippeld) dan het gebied.

Met of zonder rand

Teken	Lijn hoort erbij?	Tekenen
$\leq$ of $\geq$	ja: halfvlak met rand	rand in dezelfde kleur als het gebied
$<$ of $>$	nee: halfvlak zonder rand	rand in een andere kleur

!Proefpunt op de lijn

Gaat de lijn door $(0, 0)$ , zoals bij $x - 3y = 0$ , dan kun je $(0, 0)$ niet als proefpunt gebruiken: de uitkomst is precies gelijk aan $c$ . Kies dan een ander punt, bijvoorbeeld $(1, 0)$ of $(0, 1)$ .

≈Waarom één punt genoeg is

Loop je over de lijn heen, dan gaat de uitkomst van $px + qy$ van kleiner dan $c$ naar groter dan $c$ . Aan één kant van de lijn verandert dat nooit. Daarom vertelt één punt je welke kant het is.

Even controleren

Snap je het?

Ligt het punt $(4, -1)$ op de lijn $x + 3y = 1$ ?

Welk halfvlak hoort bij $4x + y \geq 8$ : het halfvlak met $(0, 0)$ of het andere?

Hoort de grenslijn bij het gebied $x - y < 3$ ?

↗Hoe hangt dit samen?

In de volgende les combineer je meerdere ongelijkheden tot één gebied, ook in een context en met grenslijnen die geen rechte lijn zijn.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

$px + qy = c$	de vergelijking van de lijn
$p \cdot 0 + qy = c \;\Rightarrow\; y = \frac{c}{q}$	snijpunt met de $y$ -as: vul $x = 0$ in
$px + q \cdot 0 = c \;\Rightarrow\; x = \frac{c}{p}$	snijpunt met de $x$ -as: vul $y = 0$ in

Grootheid	Symbool	Eenheid
variabelen (horizontale en verticale as)	$x$ , $y$	hangt af van de situatie
getallen in de lijn $px + qy = c$	$p$ , $q$ , $c$	geen eenheid
tijd	$t$	jaar, maand, week, dag, minuut, ...
groeifactor per tijdseenheid	$g$	geen eenheid
exponent in een macht $x^n$	$n$	geen eenheid
constanten in een formule die je moet berekenen	$a$ , $b$ , $c$	hangt af van de formule

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle x = 0 \;\Rightarrow\; y = \frac{c}{q} \qquad y = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{c}{p}$	snijpunten van px + qy = c met de assen	Zelf afleiden	11.1a
$\displaystyle \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$	wortels vermenigvuldigen	Zelf afleiden	11.2a
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$	wortels delen	Zelf afleiden	11.2a
$\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \;\Rightarrow\; A \cdot D = B \cdot C$	kruiselings vermenigvuldigen	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle P = \frac{Q}{R} \;\Rightarrow\; R = \frac{Q}{P}$	wisseleigenschap	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle \sqrt{a} = b \;\Rightarrow\; a = b^2$	wortel wegwerken	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle \text{noemer} \to \text{heel groot} \;\Rightarrow\; \frac{a}{\text{noemer}} \to 0$	een breuk met een groeiende noemer	Zelf afleiden	11.3a
$\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$	delen door een breuk	Zelf afleiden	11.4a
$\displaystyle a^p \cdot a^q = a^{p+q} \qquad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \qquad (a^p)^q = a^{pq} \qquad (ab)^p = a^p b^p \qquad a^{-p} = \frac{1}{a^p}$	rekenregels voor machten	Zelf afleiden	11.4a
$\displaystyle t = \frac{d}{7}$	van weken naar dagen	Zelf afleiden	11.4b