Leeromgeving›Wiskunde›5 havo wiskunde A›H9 Exponentiële verbanden›9.4a

Hoofdstuk 9 · Les 7 van 8

Formules herleiden tot de vorm N = b · gᵗ

Een formule kan bij exponentiële groei horen, ook als hij er anders uitziet. Met de rekenregels voor machten breng je hem in de vorm $N = b \cdot g^t$ . Dan zie je meteen de beginwaarde en de groeifactor.

15 min

Na deze les kun je

een macht in de noemer schrijven als macht met een negatieve exponent
een exponent als $t + 2$ of $3 - t$ splitsen
een formule herleiden tot de vorm $N = b \cdot g^t$

Dit weet je al

De formule $N = b \cdot g^t$ (les 9.1a) en rekenen met machten met gehele exponenten.

Drie rekenregels

Je hebt vooral deze rekenregels nodig.

\displaystyle \frac{1}{a^p} = a^{-p}

Delen door een macht is hetzelfde als vermenigvuldigen met een macht met een negatieve exponent.

\displaystyle a^{pq} = \left(a^p\right)^q

Hiermee haal je

t

uit de exponent:

a^{-t} = \left(a^{-1}\right)^t

a^{2t} = \left(a^2\right)^t

\displaystyle a^{p+q} = a^p \cdot a^q

Hiermee splits je een exponent als

t + 2

in een vast getal en

t

Herleiden in stappen

Staat de macht in de noemer? Schrijf $\frac{1}{g^t} = g^{-t} = \left(g^{-1}\right)^t$ .
Staat er een som of verschil in de exponent? Splits: $g^{t+2} = g^2 \cdot g^t$ en $g^{3-t} = g^3 \cdot \left(g^{-1}\right)^t$ .
Vermenigvuldig alle vaste getallen tot één getal $b$ .

✎Voorbeeld: drie formules herleiden

a. $N = \dfrac{6}{0{,}5^t}$

$N = 6 \cdot 0{,}5^{-t} = 6 \cdot \left(0{,}5^{-1}\right)^t$ .
$0{,}5^{-1} = \frac{1}{0{,}5} = 2$ , dus $N = 6 \cdot 2^t$ . Dat is exponentiële groei met $g = 2$ .

b. $N = 3 \cdot 1{,}5^{t+2}$

$N = 3 \cdot 1{,}5^2 \cdot 1{,}5^t$ .
$3 \cdot 1{,}5^2 = 3 \cdot 2{,}25 = 6{,}75$ , dus $N = 6{,}75 \cdot 1{,}5^t$ .

c. $N = \dfrac{80}{4 \cdot 1{,}25^t}$

$N = \dfrac{80}{4} \cdot \dfrac{1}{1{,}25^t} = 20 \cdot \left(1{,}25^{-1}\right)^t$ .
$1{,}25^{-1} = 0{,}8$ , dus $N = 20 \cdot 0{,}8^t$ . Dat is exponentiële afname.

!Het vaste getal hoort niet in de macht

Bij $3 \cdot 1{,}5^{t+2}$ geldt de exponent alleen voor $1{,}5$ , niet voor de 3. Je mag dus niet $(3 \cdot 1{,}5)^{t+2}$ schrijven. Splits eerst de exponent en vermenigvuldig dan pas de vaste getallen.

≈Waarom herleiden handig is

Na het herleiden lees je zo af wat de beginwaarde is ( $b$ ) en of het om toename of afname gaat ( $g > 1$ of $0 < g < 1$ ). Bij $N = \frac{6}{0{,}5^t}$ zie je dat niet direct, maar bij $N = 6 \cdot 2^t$ wel: de hoeveelheid verdubbelt elke tijdseenheid.

Even controleren

Snap je het?

Schrijf $N = 5 \cdot 0{,}2^{-t}$ in de vorm $N = b \cdot g^t$ .

Schrijf $N = 2 \cdot 3^{t+1}$ in de vorm $N = b \cdot g^t$ .

Schrijf $N = 10^{2t}$ in de vorm $N = b \cdot g^t$ .

↗Hoe hangt dit samen?

In de laatste les van dit hoofdstuk redeneer je met formules waarin $g^t$ voorkomt: wat gebeurt er als $t$ heel groot wordt, en stijgt of daalt de grafiek?

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

$a^p \cdot a^{-p} = a^{p + (-p)} = a^0 = 1$	bij vermenigvuldigen tel je de exponenten op
$a^{-p} = \frac{1}{a^p}$	deel links en rechts door $a^p$

$\left(a^p\right)^q = a^p \cdot a^p \cdot \ldots \cdot a^p$	$q$ keer de factor $a^p$
$\left(a^p\right)^q = a^{p + p + \ldots + p} = a^{pq}$	bij vermenigvuldigen tel je de exponenten op, $q$ keer $p$

$a^p \cdot a^q$	$p$ factoren $a$ maal $q$ factoren $a$
$a^p \cdot a^q = a^{p+q}$	samen zijn dat $p + q$ factoren $a$

Grootheid	Symbool	Eenheid
hoeveelheid	$N$	hangt af van de situatie (aantal, m², euro, ...)
beginwaarde (hoeveelheid op $t = 0$ )	$b$	dezelfde eenheid als $N$
groeifactor per tijdseenheid	$g$	geen eenheid
groeipercentage	$p$	procent (%)
tijd	$t$	jaar, maand, dag, uur, ...
verdubbelingstijd of halveringstijd	de oplossing $t$ van $g^t = 2$ of $g^t = 0{,}5$	dezelfde eenheid als $t$
toename per tijdseenheid (lineair)	$a$	eenheid van $N$ per tijdseenheid

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle g = 1 + \frac{p}{100} \quad\text{(toename)} \qquad g = 1 - \frac{p}{100} \quad\text{(afname)}$	groeifactor bij een groeipercentage	Zelf afleiden	9.1a
$\displaystyle N = b \cdot g^t$	exponentiële groei	Zelf afleiden	9.1a
$\displaystyle g^t = 2 \qquad\qquad g^t = 0{,}5$	verdubbelingstijd en halveringstijd	Zelf afleiden	9.1b
$\displaystyle g_n = g^n$	groeifactor per n tijdseenheden	Zelf afleiden	9.2a
$\displaystyle g = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^{\frac{1}{t_2 - t_1}}$	groeifactor uit twee meetpunten	Zelf afleiden	9.2b
$\displaystyle N = at + b \qquad a = \frac{\Delta N}{\Delta t}$	lineaire formule	Zelf afleiden	9.3a
$\displaystyle \frac{1}{a^p} = a^{-p}$	negatieve exponent	Zelf afleiden	9.4a
$\displaystyle a^{pq} = \left(a^p\right)^q$	macht van een macht	Zelf afleiden	9.4a
$\displaystyle a^{p+q} = a^p \cdot a^q$	som in de exponent	Zelf afleiden	9.4a