Leeromgeving›Wiskunde›5 havo wiskunde A›H10 Statistiek gebruiken›10.3b

Hoofdstuk 10 · Les 7 van 8

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval

Een steekproefgemiddelde $\overline{X}$ of steekproefproportie $\hat{p}$ is een schatting. Het echte populatiegemiddelde $\mu$ of de echte populatieproportie $p$ ligt er meestal dichtbij, maar niet precies erop. Een 95%-betrouwbaarheidsinterval is een interval rond de schatting dat bij 95% van de steekproeven de echte waarde bevat.

20 min

Na deze les kun je

een 95%-betrouwbaarheidsinterval berekenen voor een populatiegemiddelde
een 95%-betrouwbaarheidsinterval berekenen voor een populatieproportie
uit een gewenste breedte de benodigde steekproefomvang berekenen

Dit weet je al

Steekproefproportie en de vuistregel "95% tussen $\mu - 2\sigma$ en $\mu + 2\sigma$ " (les 10.3a).

De formules

\displaystyle \overline{X} \pm 2 \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}

Examenformuleblad

\overline{X}

: steekproefgemiddelde,

S

: steekproefstandaardafwijking,

n

: steekproefomvang.

\displaystyle \hat{p} \pm 2 \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Examenformuleblad

\hat{p}

: steekproefproportie,

n

: steekproefomvang.

Werk in twee stappen. Bereken eerst $\sigma = \frac{S}{\sqrt{n}}$ of $\sigma = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ . Het interval is dan $[\overline{X} - 2\sigma,\, \overline{X} + 2\sigma]$ of $[\hat{p} - 2\sigma,\, \hat{p} + 2\sigma]$ . Rond een interval voor een proportie af op drie decimalen.

✎Voorbeeld: een proportie en een gemiddelde

a. In een aselecte steekproef van 400 jongeren hebben er 152 een bijbaan. Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie.

$\hat{p} = \frac{152}{400} = 0{,}38$ .
$\sigma = \sqrt{\frac{0{,}38 \cdot 0{,}62}{400}} = 0{,}0242...$
$0{,}38 - 2 \cdot 0{,}0242... \approx 0{,}331$ en $0{,}38 + 2 \cdot 0{,}0242... \approx 0{,}429$ .
Het interval is $[0{,}331;\, 0{,}429]$ .

b. Bij 64 jongeren met een bijbaan is het gemiddelde aantal uren per maand 52, met $S = 12$ . Bereken het interval voor het populatiegemiddelde.

$\sigma = \frac{12}{\sqrt{64}} = 1{,}5$ .
Het interval is $[52 - 3;\, 52 + 3] = [49;\, 55]$ uur.

De steekproefomvang berekenen

Het interval loopt van $-2\sigma$ tot $+2\sigma$ , dus de breedte is $4\sigma$ .

\displaystyle \text{breedte} = 4 \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \qquad \text{breedte} = 4 \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Hoe groter

n

, hoe smaller (nauwkeuriger) het interval.

✎Voorbeeld: hoe groot moet de steekproef zijn?

Een onderzoeker wil een interval voor een proportie met een breedte van hoogstens 0,05. Ze weet $\hat{p}$ nog niet.

Neem $\hat{p} = 0{,}5$ : dat geeft de grootste breedte, dus dan zit je altijd goed.
Los op: $4 \cdot \sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{n}} = 0{,}05$ . De optie oplossen geeft $x = 1600$ .
De steekproef moet minstens 1600 personen bevatten.

≈De populatieomvang telt niet mee

In de formules komt de populatieomvang niet voor. Voor dezelfde nauwkeurigheid heb je dus even veel mensen nodig, of de populatie nu 17 miljoen of 8 miljard mensen telt. Wel moet de steekproef aselect zijn.

!95% is geen 100%

Ook bij een goede, aselecte steekproef valt de echte waarde bij ongeveer 5% van de steekproeven buiten het interval. Dat de populatiewaarde buiten het interval valt, bewijst dus niet dat de steekproef fout was.

Even controleren

Snap je het?

$\overline{X} = 120$ , $S = 36$ en $n = 144$ . Wat is het 95%-betrouwbaarheidsinterval?

$\hat{p} = 0{,}3$ en $n = 250$ . Hoe groot is $2\sigma$ (afgerond op drie decimalen)?

Hoe groot moet $n$ zijn voor een breedte van 6 bij $S = 12$ ?

↗Hoe hangt dit samen?

In de laatste les combineer je alles uit dit hoofdstuk om een onderzoek kritisch te beoordelen.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

$\left[\overline{X} - 2\sigma,\; \overline{X} + 2\sigma\right]$	het interval uit het examenformuleblad, met $\sigma = \frac{S}{\sqrt{n}}$ Examenformuleblad
$(\overline{X} + 2\sigma) - (\overline{X} - 2\sigma) = 4\sigma$	de breedte is bovengrens min ondergrens
$\text{breedte} = 4 \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$	vul $\sigma$ in; bij een proportie is $\sigma = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

Grootheid	Symbool	Eenheid
steekproefomvang	$n$	geen eenheid (aantal)
steekproefproportie	$\hat{p}$	geen eenheid (getal tussen 0 en 1)
populatieproportie	$p$	geen eenheid (getal tussen 0 en 1)
steekproefgemiddelde	$\overline{X}$	eenheid van de variabele
steekproefstandaardafwijking	$S$	eenheid van de variabele
populatiegemiddelde	$\mu$	eenheid van de variabele
standaardafwijking (normale verdeling)	$\sigma$	eenheid van de variabele
phi-coëfficiënt	$\varphi$	geen eenheid (tussen −1 en 1)
maximaal verschil in cumulatief percentage	$\max V_\text{cp}$	procentpunt
effectgrootte	$E$	geen eenheid

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle \varphi = \frac{ad - bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)}}$	phi-coëfficiënt bij een 2×2-kruistabel	Examenformuleblad	10.2b
$\displaystyle \max V_\text{cp} > 40 \;\text{groot} \qquad 20 < \max V_\text{cp} \le 40 \;\text{middelmatig} \qquad \max V_\text{cp} \le 20 \;\text{gering}$	maximaal verschil in cumulatief percentage	Examenformuleblad	10.2b
$\displaystyle E = \frac{\overline{X}_1 - \overline{X}_2}{\tfrac{1}{2}(S_1 + S_2)}$	effectgrootte	Examenformuleblad	10.2c
$\displaystyle \hat{p} = \frac{\text{aantal met het kenmerk in de steekproef}}{\text{steekproefomvang}}$	steekproefproportie	Zelf afleiden	10.3a
$\displaystyle \overline{X} \pm 2 \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$	95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde	Examenformuleblad	10.3b
$\displaystyle \hat{p} \pm 2 \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$	95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie	Examenformuleblad	10.3b
$\displaystyle \text{breedte} = 4 \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \qquad \text{breedte} = 4 \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$	breedte van het 95%-betrouwbaarheidsinterval	Zelf afleiden	10.3b