Leeromgeving›Wiskunde›5 havo wiskunde A›H9 Exponentiële verbanden

Hoofdstuk 9 · 103 opdrachten uitgewerkt

Exponentiële verbanden

Exponentiële groei, verdubbelings- en halveringstijd, formules opstellen, lineair of exponentieel, logaritmisch papier, herleiden en redeneren met grenswaarden.

Klik een paragraaf open, en daarna de opdracht die je wilt nakijken.

23 opdrachten

Zo pak je het aan

Bij exponentiële groei wordt een hoeveelheid per tijdseenheid steeds met hetzelfde getal vermenigvuldigd: de groeifactor g. De formule is N = b · gᵗ, met b de beginwaarde (de hoeveelheid op t = 0).

Van procent naar groeifactor. Een toename van p% geeft g = 1 + p/100, een afname van p% geeft g = 1 − p/100. Bijvoorbeeld: 7% toename geeft g = 1,07 en 2% afname geeft g = 0,98.
Een tijdstip berekenen. Los de vergelijking b · gᵗ = waarde op met de GR. Voer in y1 = b · gˣ en y2 = waarde, en gebruik de optie snijpunt. Je kunt ook de optie oplossen gebruiken.
Verdubbelingstijd en halveringstijd. De verdubbelingstijd los je op uit gᵗ = 2, de halveringstijd uit gᵗ = 0,5. De beginwaarde doet er niet toe: alleen de groeifactor telt.
Een groeipercentage uit een verdubbelingstijd. Verdubbelt een hoeveelheid elke T jaar, dan is g tot de macht T gelijk aan 2. Los dat op met de GR, met x als de onbekende groeifactor. Bijvoorbeeld: verdubbelen in 15 jaar geeft x¹⁵ = 2.
Omrekenen naar maanden of minuten. Neem het deel achter de komma maal 12 (maanden) of maal 60 (minuten). Let op wat er gevraagd wordt: "in welk jaar" is iets anders dan "na hoeveel jaar".

Opdracht V1

De groeifactor bij een toename van p% is 1 + p/100. Omgekeerd: een groeifactor g hoort bij een toename van (g − 1) · 100%.

toename in procenten	13%	3,3%	120%	0,7%	6%	150%	23,7%
groeifactor	1,13	1,033	2,2	1,007	1,06	2,5	1,237

Opdracht V2

De groeifactor bij een afname van p% is 1 − p/100. Omgekeerd: een groeifactor g hoort bij een afname van (1 − g) · 100%.

afname in procenten	13%	41,8%	6,2%	0,3%	2%	0,1%	75,4%
groeifactor	0,87	0,582	0,938	0,997	0,98	0,999	0,246

Opdracht V3

a 1,127

b 0,932

c 73,5%

d 15,5%

Opdracht 1

Formule I hoort bij grafiek C, formule II bij grafiek A, formule III bij grafiek B en formule IV bij grafiek D.

Bij g groter dan 1 hoort een stijgende grafiek, bij g tussen 0 en 1 een dalende grafiek. De beginwaarde b is het snijpunt met de verticale as.

Opdracht 2

Lars: 7% groei per maand geeft groeifactor 1,07. Karsten: 2% afname per maand geeft groeifactor 0,98.

N_\text{L} = 3120 \cdot 1{,}07^t \qquad N_\text{K} = 5310 \cdot 0{,}98^t

Opdracht 3

a Een afname van 0,5% per jaar geeft groeifactor 1 − 0,005 = 0,995.

C = 400 \cdot 0{,}995^t

b Los op: 400 · 0,995ᵗ = 375.

Voer in y1 = 400 · 0,995ˣ en y2 = 375. De optie snijpunt geeft x = 12,87...

Na 12 hele jaren is het 1 januari 2036. Het deel 0,87... jaar is 0,87... · 12 ≈ 10,5 maanden, dus het gebeurt in de elfde maand van 2036. De capaciteit is gedaald tot 375 Wp in november 2036.

Opdracht 4

a De factor 1,12 per jaar is de groeifactor.

N = 400 \cdot 1{,}12^t

b Voer in y1 = 400 · 1,12ˣ en y2 = 15 000. De optie snijpunt geeft x = 31,98...

Bij t = 32 is het aantal voor het eerst groter dan 15 000. Dat is in 1990 + 32 = 2022.

c Reken eerst het aantal parkieten en de schade in 2030 uit, en deel dan.

2030 is t = 40: N = 400 · 1,12⁴⁰ ≈ 37 220 parkieten.
De schade groeit met 10% per jaar vanaf 2020, dus 10 jaar lang: 3,2 · 1,10¹⁰ = 8,29... miljoen euro.

\frac{8{,}29\ldots \cdot 10^6}{37\,220} \approx 223

De gemiddelde schade is ongeveer 223 euro per halsbandparkiet.

Opdracht 5

Kikkers: groeifactor 1,06. Salamanders: groeifactor 0,94.

N_\text{k} = 150 \cdot 1{,}06^t \qquad N_\text{s} = 300 \cdot 0{,}94^t

Los op: 150 · 1,06ᵗ = 300 · 0,94ᵗ.

Voer in y1 = 150 · 1,06ˣ en y2 = 300 · 0,94ˣ. De optie snijpunt geeft x = 5,76...

Na 5,8 jaar zijn er evenveel kikkers als salamanders.

Opdracht 6

Pas op: +10% en daarna −10% is níet hetzelfde als 0%. Kijk naar twee jaar samen: de groeifactor per twee jaar is 1,10 · 0,90 = 0,99.

Neem t in tweetallen jaren. Het percentage van de beginhoeveelheid dat over is, is P = 100 · 0,99ᵗ.

Los op: 100 · 0,99ᵗ = 80. Voer in y1 = 100 · 0,99ˣ en y2 = 80. De optie snijpunt geeft x = 22,20...

Na 22 tweetallen jaren zit je er nog net boven, na 23 tweetallen jaren voor het eerst onder. Dat is na 2 · 23 = 46 jaar.

Je hoeft de oneven jaren niet te bekijken. Na een oneven jaar is er net 10% bijgekomen, dus dan is de hoeveelheid juist groter.

Opdracht 7

a Niet-rokers: 11% afname per uur, dus g = 0,89. Rokers: 16% afname per uur, dus g = 0,84.

C_\text{niet-rokers} = 15 \cdot 0{,}89^t \qquad C_\text{rokers} = 15 \cdot 0{,}84^t

b Voer beide formules in de GR in. Beide grafieken beginnen bij C = 15 en dalen afnemend. De grafiek van de rokers ligt eronder, want die daalt sneller.

Blauw: niet-rokers. Oranje: rokers, die dalen sneller.

c In het eerste uur verdwijnt 11% of 16% van de beginconcentratie 15.

Niet-rokers: 0,11 · 15 = 1,65 microgram per mL.
Rokers: 0,16 · 15 = 2,4 microgram per mL.

Het scheelt 2,4 − 1,65 = 0,75 microgram per mL.

d Los op: 15 · 0,84ᵗ = 10.

Voer in y1 = 15 · 0,84ˣ en y2 = 10. De optie snijpunt geeft x = 2,32...

Dat is 2 uur en 0,32... · 60 ≈ 20 minuten. Het medicijn is uitgewerkt om 11:35 + 2:20 = 13:55 uur.

Opdracht 8

Werk in twee stappen: eerst tot de tweede injectie, daarna een nieuwe formule vanaf 13:50 uur.

Van 11:35 tot 13:50 is 2 uur en 15 minuten, dus t = 2,25.
Op dat moment is de concentratie:

15 \cdot 0{,}89^{2{,}25} = 11{,}54\ldots \ \text{microgram per mL}

Door de onderhoudsdosis komt er 2,5 bij: 11,54... + 2,5 = 14,04... microgram per mL.

Nieuwe formule, met t in uren en t = 0 om 13:50 uur:

C = 14{,}04\ldots \cdot 0{,}89^t

Los op: 14,04... · 0,89ᵗ = 10. Voer in y1 = 14,04... · 0,89ˣ en y2 = 10. De optie snijpunt geeft x = 2,91...

Dat is 2 uur en 0,91... · 60 ≈ 55 minuten. Het medicijn is uitgewerkt om 13:50 + 2:55 = 16:45 uur.

Rond 14,04... tussendoor niet af. Gebruik in de GR de onafgeronde waarde.

Opdracht 9

a Een rendement van 5,5% per jaar geeft groeifactor 1,055.

B_\text{H} = 6633 \cdot 1{,}055^t

b Vul t = 18 in.

Harm: 6633 · 1,055¹⁸ ≈ 17 388,19 euro.
Francy: haar formule is B = 6633 · 1,08ᵗ, dus 6633 · 1,08¹⁸ ≈ 26 505,60 euro.

c Voer in y1 = 6633 · 1,055ˣ, y2 = 6633 · 1,08ˣ en y3 = 10 000.

Snijpunt van y1 en y3: x = 7,66... (Harm).
Snijpunt van y2 en y3: x = 5,33... (Francy).

Het verschil is 7,66... − 5,33... = 2,33... jaar. Dat is 2,33... · 12 ≈ 28 maanden (2 jaar en 4 maanden) eerder.

d Het 18e levensjaar loopt van t = 17 tot t = 18. De toename is het bedrag op t = 18 min het bedrag op t = 17.

Harm: 6633 · 1,055¹⁸ − 6633 · 1,055¹⁷ ≈ 906,49 euro.
Francy: 6633 · 1,08¹⁸ − 6633 · 1,08¹⁷ ≈ 1963,38 euro.

Volgens Harm neemt het bedrag 1963,38 − 906,49 ≈ 1057 euro minder toe.

Opdracht 10

De groeifactor g is nu de onbekende. Los op: 6633 · g¹⁸ = 22 045.

Voer in y1 = 6633 · x¹⁸ en y2 = 22 045. De optie snijpunt geeft x = 1,0690...

De groeifactor is 1,069, dus de adviseur gaat uit van een rendement van 6,9% per jaar.

Opdracht 11

a Na t jaar is de hoeveelheid 20 · 1,034ᵗ. Verdubbeld betekent: het dubbele van de beginhoeveelheid 20, dus 40. Je zoekt daarom de t waarvoor 20 · 1,034ᵗ = 40.

b Voer in y1 = 20 · 1,034ˣ en y2 = 40. De optie snijpunt geeft x = 20,73..., dus t ≈ 20,7 jaar.

c Het dubbele van 27,94 is 55,88. Los op: 27,94 · 1,034ᵗ = 55,88. De GR geeft x = 20,73..., dus 20,7 jaar later.

d Het dubbele van 50 is 100. Los op: 50 · 1,034ᵗ = 100. De GR geeft x = 20,73..., dus na 20,7 jaar.

e Steeds komt er 20,7 jaar uit: bij een ander startmoment (c) en bij een andere beginhoeveelheid (d). De verdubbelingstijd hangt dus alleen af van de groeifactor.

Opdracht 12

a Jimi rekent alsof er elk jaar 5% van de beginhoeveelheid bijkomt, zoals bij lineaire groei. Maar bij exponentiële groei komt er elk jaar 5% van de hoeveelheid op dat moment bij. Die hoeveelheid wordt steeds groter, dus de groei gaat steeds sneller.

b Los op: 1,05ᵗ = 2. De optie oplossen geeft x = 14,206..., dus de verdubbelingstijd is 14,2 jaar.

Opdracht 13

a Groeifactor per dag 1,02. Los op: 1,02ᵗ = 2. De GR geeft x = 35,002..., dus 35 dagen.

b Groeifactor per jaar 0,92. Los op: 0,92ᵗ = 0,5. De GR geeft x = 8,312...

Dat is 8 jaar en 0,312... · 12 ≈ 4 maanden, oftewel 8,312... · 12 ≈ 100 maanden.

c 1 week is 7 dagen. Met g de groeifactor per dag geldt g⁷ = 2.

De optie oplossen bij x⁷ = 2 geeft x = 1,1040... Het groeipercentage is 10,4% per dag.

d 5 jaar en 3 maanden is 5,25 jaar. Met g de groeifactor per jaar geldt:

g^{5{,}25} = 0{,}5

De optie oplossen (met x voor g) geeft x = 0,8763... De groeifactor per jaar is 0,876.

Opdracht 14

a Los op: 1,0235ᵗ = 2. De GR geeft x = 29,840..., dus de verdubbelingstijd is 30 jaar.

b Gabon groeit met 2,1% per jaar, Gambia met 2,5%. De bevolking van Gabon groeit dus langzamer en doet er langer over om te verdubbelen. Gabon heeft de langere verdubbelingstijd.

Opdracht 15

a Halvering in 25 jaar: met g de groeifactor per jaar geldt g²⁵ = 0,5. De GR geeft x = 0,9726...

N = 410\,000 \cdot 0{,}973^t

b 2023 is t = 73: N = 410 000 · 0,973⁷³ ≈ 55 593.

Vergelijk met het werkelijke aantal 50 600:

\frac{55\,593 - 50\,600}{50\,600} \cdot 100\% \approx 9{,}9\%

Het model geeft 9,9% meer dan het werkelijke aantal.

Opdracht 16

Groeifactor per uur: 1,2.

a Los op: 1,2ᵗ = 2. De GR geeft x = 3,8017...

Dat is 3 uur en 0,8017... · 60 ≈ 48 minuten, oftewel 3,8017... · 60 ≈ 228 minuten.

b Vertienvoudigen: los op 1,2ᵗ = 10. De GR geeft x = 12,6292...

Dat is 12 uur en 38 minuten, oftewel 12,6292... · 60 ≈ 758 minuten.

c 5% toegenomen betekent keer 1,05. Los op: 1,2ᵗ = 1,05. De GR geeft x = 0,2676...

Dat is 0,2676... · 60 ≈ 16 minuten.

Opdracht 17

a In 2004 en 2005 is de groei 3,7% per jaar, dus twee keer keer 1,037:

61 \cdot 1{,}037^2 = 65{,}59\ldots

Dat is bijna 65,6 miljard euro.

b Los per periode gᵗ = 2 op met de GR.

periode	groeifactor	verdubbelingstijd
I	1,037	19 jaar
II	1,048	15 jaar
III	1,006	116 jaar
IV	1,031	23 jaar

c Van 2003 tot eind 2015 heb je 2 jaar groei van 3,7% (2004 en 2005), 7 jaar van 4,8% (2006 t/m 2012) en 3 jaar van 0,6% (2013 t/m 2015). De totale groeifactor is:

1{,}037^2 \cdot 1{,}048^7 \cdot 1{,}006^3 = 1{,}5201\ldots

Dat is een toename van ongeveer 52%, dus het krantenartikel klopt met de gegevens.

d 9 jaar en 10 maanden is 9 + 10/12 jaar. Met g de groeifactor per jaar geldt:

g^{9\frac{10}{12}} = 2

De optie oplossen geeft x = 1,0730... Het groeipercentage was 7,3% per jaar.

Je kunt ook in maanden rekenen: 9 jaar en 10 maanden is 118 maanden. Uit g¹¹⁸ = 2 volgt een groeifactor per maand van 1,0058..., en 1,0058...¹² ≈ 1,073 per jaar.

Opdracht 18

a Elke T jaar verdubbelt het aantal. Na drie keer T jaar is het 2 · 2 · 2 = 2³ = 8 keer zo groot, na vier keer T jaar 2⁴ = 16 keer zo groot.

b De kritische grens is 10 000 + 30 000 = 40 000 exemplaren. Dat is vier keer zo veel, dus twee keer verdubbelen. Dat duurt 2 · 1,5 = 3 jaar.

c Weer twee keer verdubbelen, maar nu met een verdubbelingstijd van 5 jaar: 2 · 5 = 10 jaar.

Opdracht C1

a Een afname van 2,6% per jaar geeft g = 0,974.

N = 5860 \cdot 0{,}974^t

b 2016 is t = 6 en 2020 is t = 10. De afname is 5860 · 0,974⁶ − 5860 · 0,974¹⁰ ≈ 500 pups.

c Los op: 5860 · 0,974ᵗ = 4200. De optie oplossen geeft x = 12,64...

Bij t = 13 zit je voor het eerst onder 4200. Dat is in 2010 + 13 = 2023.

Opdracht C2

a Een afname van 67,3% per dag geeft groeifactor 0,327. Los op: 0,327ᵗ = 0,5. De GR geeft x = 0,620... dag.

Dat is 0,620... · 24 = 14,882... uur, oftewel 14 uur en 53 minuten (893 minuten).

b Met g de groeifactor per jaar geldt g¹⁰ = 2. De optie oplossen bij x¹⁰ = 2 geeft x = 1,0717... Het groeipercentage is 7,2% per jaar.

9.1 Exponentiële groei nagekeken?

16 opdrachten

Zo pak je het aan

Groeifactor omrekenen naar een andere tijdseenheid. Is de groeifactor per tijdseenheid g, dan is de groeifactor per n tijdseenheden gⁿ. Dat geldt ook als n een breuk is.

Van dag naar week: neem de groeifactor per dag tot de macht 7.
Van dag naar uur: neem de groeifactor per dag tot de macht 1/24.
Een groeipercentage reken je altijd eerst om naar een groeifactor. Daarna reken je die om naar de nieuwe tijdseenheid, en pas aan het eind terug naar een percentage.

g_\text{week} = g_\text{dag}^{\,7} \qquad g_\text{uur} = g_\text{dag}^{\,\frac{1}{24}}

Een formule opstellen uit twee meetpunten. Je kent N op twee tijdstippen.

Deel de twee hoeveelheden op elkaar. Dat geeft de groeifactor over de tussenliggende periode.
Reken die om naar de groeifactor per tijdseenheid, met een macht 1/(aantal tijdseenheden).
Vul één meetpunt in N = b · gᵗ in en los b op.

Rond tussendoor niet af. Gebruik de onafgeronde groeifactor bij het berekenen van b, en rond pas in de eindformule af. Groeifactoren rond je af op drie decimalen, tenzij er iets anders gevraagd wordt.

Opdracht 19

a Van t = 0 naar t = 2 gaat N van 1 naar 9. Per twee jaar wordt N met 9 vermenigvuldigd.

b Vier jaar is twee keer twee jaar: 9² = 81. Zes jaar is drie keer twee jaar: 9³ = 729.

c Als N per jaar met 4,5 wordt vermenigvuldigd, dan is de groeifactor per twee jaar 4,5² = 20,25. Dat moet 9 zijn. Erwin heeft dus ongelijk. De groeifactor per jaar is 3, want 3² = 9.

Opdracht 20

a Een afname van 16% per dag geeft een groeifactor van 0,84 per dag. Een week is 7 dagen:

g_\text{week} = 0{,}84^7 \approx 0{,}295

b Een uur is 1/24 dag:

g_\text{uur} = 0{,}84^{\frac{1}{24}} \approx 0{,}993

De afname is 1 − 0,993 = 0,007, dus 0,7% per uur.

c Een toename van 12% per kwartier geeft een groeifactor van 1,12 per kwartier. Een uur is 4 kwartier:

g_\text{uur} = 1{,}12^4 \approx 1{,}574

De toename is 57,4% per uur.

d Vijf minuten is 1/3 kwartier:

g_\text{5 min} = 1{,}12^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}038

De toename is 3,8% per vijf minuten.

Opdracht 21

a Vier uur is 4/24 = 1/6 dag:

g_\text{4 uur} = 1{,}3^{\frac{1}{6}} \approx 1{,}045

Het groeipercentage is 4,5% per vier uur.

b Een toename van 0,08% per jaar geeft een groeifactor van 1,0008 per jaar. Een eeuw is 100 jaar:

g_\text{eeuw} = 1{,}0008^{100} \approx 1{,}083

De toename is 8,3% per eeuw.

c Een toename van 180% per week geeft een groeifactor van 1 + 1,80 = 2,8 per week. Een dag is 1/7 week:

g_\text{dag} = 2{,}8^{\frac{1}{7}} \approx 1{,}158

De toename is 15,8% per dag.

Opdracht 22

a Lotte lost g⁴ = 2 op. De optie oplossen bij x⁴ = 2 geeft x = 1,1892... Het groeipercentage is 18,9% per jaar.

b Anne zegt: per 4 jaar is de groeifactor 2, dus per jaar is die:

g_\text{jaar} = 2^{\frac{1}{4}} \approx 1{,}189

Ook zij vindt 18,9% per jaar.

c Dit is een eigen keuze. De methode van Anne is sneller, want je hoeft geen vergelijking op te lossen.

d Per 10 maanden is de groeifactor 0,5, dus per maand:

g_\text{maand} = 0{,}5^{\frac{1}{10}} \approx 0{,}933

Je kunt ook g¹⁰ = 0,5 oplossen met de GR. Dat geeft ook x = 0,9330...

Opdracht 23

a Per drie jaar is de groeifactor 2,5:

g_\text{jaar} = 2{,}5^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}357

Het groeipercentage is 35,7% per jaar.

b Van 2016 tot 2023 is 7 jaar. Vertienvoudigen betekent groeifactor 10:

g_\text{jaar} = 10^{\frac{1}{7}} \approx 1{,}389

Het groeipercentage is 38,9% per jaar.

c Een afname van 22% in 12 jaar geeft groeifactor 0,78 per 12 jaar:

g_\text{jaar} = 0{,}78^{\frac{1}{12}} \approx 0{,}980

De afname is 2,0% per jaar.

d Halveren in 12 seconden. Een minuut is 60 seconden, dus 5 keer 12 seconden:

g_\text{minuut} = 0{,}5^5 \approx 0{,}031

De afname is 1 − 0,031 = 0,969, dus 96,9% per minuut.

Opdracht 24

a Van januari 2001 tot januari 2006 is 5 jaar, oftewel 60 maanden. De groeifactor over die periode is 240.

g_\text{maand} = 240^{\frac{1}{60}} \approx 1{,}096

Het groeipercentage was 9,6% per maand.

b Een afname van 36% geeft groeifactor 0,64 over 19 jaar (2006 tot 2025):

g_\text{jaar} = 0{,}64^{\frac{1}{19}} \approx 0{,}977

De afname was 2,3% per jaar.

c Reken terug, eerst naar 2006 en dan naar 2001. Terugrekenen doe je door te delen door de groeifactor.

Januari 2006: 5000 / 0,64 ≈ 7813 artikelen.
Januari 2001: 7813 / 240 ≈ 32,6, dus ongeveer 30 artikelen (afgerond op tientallen).

Opdracht 25

Reken beide onderzoeken om naar een groeifactor per jaar.

Nederland: halveringstijd 12 jaar, dus groeifactor 0,5 per 12 jaar.
Duitsland: 76% verdwenen in 27 jaar, dus 24% over, en groeifactor 0,24 per 27 jaar.

0{,}5^{\frac{1}{12}} \approx 0{,}944 \qquad 0{,}24^{\frac{1}{27}} \approx 0{,}949

Die groeifactoren liggen dicht bij elkaar, dus de twee resultaten zijn met elkaar in lijn.

Je kunt ook de Nederlandse groeifactor gebruiken om 27 jaar vooruit te rekenen: 0,943...²⁷ ≈ 0,21. Dat is een afname van 79%, en dat scheelt weinig met 76%.

Opdracht 26

a Van t = 5 naar t = 9 is 4 uur. Daarin gaat het aantal van 50 000 naar 300 000:

g_\text{4 uur} = \frac{300\,000}{50\,000} = 6

b Per uur is de groeifactor:

g_\text{uur} = 6^{\frac{1}{4}} = 1{,}5650\ldots

c Op t = 5 zijn er 50 000 bacteriën. Vul N = 50 000, g = 1,5650... en t = 5 in N = b · gᵗ in:

b \cdot 1{,}5650\ldots^5 = 50\,000 \quad\Rightarrow\quad b = \frac{50\,000}{1{,}5650\ldots^5} \approx 5300

Opdracht 27

a Van t = 3 naar t = 8 is 5 uur.

g = \left(\frac{1\,250\,000}{150\,000}\right)^{\frac{1}{5}} = 1{,}5281\ldots

Vul t = 3 en B = 150 000 in:

b = \frac{150\,000}{1{,}5281\ldots^3} \approx 42\,000

Dus B = 42 000 · 1,528ᵗ.

b Een afname van 36% geeft groeifactor 0,64 per 5,5 dagen:

g = 0{,}64^{\frac{1}{5{,}5}} = 0{,}9220\ldots

Op 1 januari is t = 0, dus 5 januari is t = 4. Vul t = 4 en H = 0,6 in:

b = \frac{0{,}6}{0{,}9220\ldots^4} \approx 0{,}83

Dus H = 0,83 · 0,922ᵗ.

Opdracht 28

a Van 2024 tot 2034 is 10 jaar.

g = \left(\frac{8100}{6200}\right)^{\frac{1}{10}} = 1{,}0270\ldots

Let op: t = 0 is in 2020, dus 2024 is t = 4. Vul t = 4 en B = 6200 in:

b = \frac{6200}{1{,}0270\ldots^4} \approx 5570

Dus B = 5570 · 1,027ᵗ.

b Los op: 5570 · 1,027ᵗ = 10 000. De optie oplossen geeft x = 21,9...

Bij t = 22 is het voor het eerst meer dan 10 000 euro. Dat is in 2020 + 22 = 2042.

Opdracht 29

a Op 0 meter diepte dringt 100% van het rode licht door, dus b = 100. Op 5 meter is dat nog 8%, dus de groeifactor per 5 meter is 8/100 = 0,08:

g = 0{,}08^{\frac{1}{5}} \approx 0{,}603 \qquad P = 100 \cdot 0{,}603^d

b Als 99% wordt geabsorbeerd, dringt nog 1% door. Los op: 100 · 0,603ᵈ = 1.

De optie oplossen geeft x = 9,10... Op een diepte van 9,1 m (91 dm) wordt 99% geabsorbeerd.

c Half zoveel rood licht betekent dat P halveert. Waar je begint maakt niet uit, dus los op: 0,603ᵈ = 0,5.

De optie oplossen geeft x = 1,37... Matthijs moet 1,4 meter dieper duiken.

Opdracht 30

a Van 1977 tot 2015 is 38 jaar.

g = \left(\frac{322}{50}\right)^{\frac{1}{38}} = 1{,}0502\ldots

Let op: t = 0 is in 1980, dus 2015 is t = 35. Vul t = 35 en N = 322 in:

b = \frac{322}{1{,}0502\ldots^{35}} \approx 58

Dus N = 58 · 1,050ᵗ.

b Van 1972 tot 1994 is 22 jaar.

g_\text{jaar} = \left(\frac{17}{6}\right)^{\frac{1}{22}} = 1{,}0484\ldots

Dat is een toename van ongeveer 4,8% per jaar. De plasticproductie groeit met ongeveer 5,0% per jaar. Dat scheelt weinig, dus de hoeveelheid microplastic neemt met ongeveer hetzelfde percentage toe.

Opdracht 31

a Lees twee punten op de rode grafiek af waarbij P halveert, bijvoorbeeld van 3 (in 2010) naar 1,5 (in 2014). De halveringstijd is ongeveer 4 jaar.

b Lees af: (2014; 1,5) en (2024; 0,25). Dat is 10 jaar.

g_\text{jaar} = \left(\frac{0{,}25}{1{,}5}\right)^{\frac{1}{10}} = 0{,}8359\ldots

Los op: 0,8359...ᵗ = 0,5. De optie oplossen geeft x = 3,8685...

Dat is 3 jaar en 0,8685... · 12 ≈ 10 maanden, oftewel 46 maanden.

c t = 0 in 2010, dus 2014 is t = 4. Vul t = 4 en P = 1,5 in:

b = \frac{1{,}5}{0{,}8359\ldots^4} \approx 3{,}07 \qquad P = 3{,}07 \cdot 0{,}836^t

d 20 eurocent is 0,20 euro. Los op: 3,07 · 0,836ᵗ = 0,20. De optie oplossen geeft x = 15,2...

Bij t = 16 is de prijs voor het eerst lager dan 20 eurocent. Dat is vanaf 2026.

Opdracht 32

a Een toename van 199% geeft groeifactor 1 + 1,99 = 2,99 over 4 jaar (2020 tot 2024).

g = 2{,}99^{\frac{1}{4}} = 1{,}3149\ldots

t = 0 op 1 januari 2019, dus 1 januari 2024 is t = 5. Vul t = 5 en P = 145 200 in:

b = \frac{145\,200}{1{,}3149\ldots^5} \approx 36\,930 \qquad P = 36\,930 \cdot 1{,}315^t

b Van 1 januari 2021 (t = 2) tot 1 januari 2024 (t = 5) is 3 jaar.

g = \left(\frac{487\,590}{165\,010}\right)^{\frac{1}{3}} = 1{,}4349\ldots

Vul t = 2 en T = 165 010 in:

b = \frac{165\,010}{1{,}4349\ldots^2} \approx 80\,130

Dus T = 80 130 · 1,435ᵗ, en dat is wat je moest aantonen.

c Los op: 80 130 · 1,435ᵗ = 250 000. De optie oplossen geeft x = 3,150...

Dat is 3 jaar na 1 januari 2019, plus 0,150... · 12 ≈ 1,8 maanden. Je zit dan in de tweede maand van 2022: februari 2022.

d Een verdubbelingstijd van 2,5 jaar geeft:

g = 2^{\frac{1}{2{,}5}} = 1{,}3195\ldots

1 januari 2024 is t = 5. Vul t = 5 en S = 4320 in:

b = \frac{4320}{1{,}3195\ldots^5} = 1080 \qquad S = 1080 \cdot 1{,}320^t

e De laatste zes maanden van 2024 lopen van 1 juli 2024 (t = 5,5) tot 1 januari 2025 (t = 6).

1080 \cdot 1{,}320^6 - 1080 \cdot 1{,}320^{5{,}5} \approx 740

Er zijn ongeveer 740 snellaadpunten bij gekomen. Met de onafgeronde groeifactor 1,3195... kom je op 738.

Opdracht C3

a De groeifactor per kwartier is 1,032 en een uur is 4 kwartier: 1,032⁴ ≈ 1,134. De toename is 13,4% per uur.

b Een afname van 76,5% geeft een groeifactor van 0,235 per dag.

g_\text{uur} = 0{,}235^{\frac{1}{24}} \approx 0{,}941

De afname is 5,9% per uur.

Opdracht C4

a Halveren in 15 jaar:

g = 0{,}5^{\frac{1}{15}} = 0{,}9548\ldots

1 januari 2025 is t = 5. Vul t = 5 en H = 508 in:

b = \frac{508}{0{,}9548\ldots^5} \approx 640 \qquad H = 640 \cdot 0{,}955^t

b Lees in de grafiek af: N = 800 bij t = 2 en N = 200 bij t = 7. Dat is 5 dagen.

g = \left(\frac{200}{800}\right)^{\frac{1}{5}} = 0{,}7578\ldots \qquad b = \frac{800}{0{,}7578\ldots^2} \approx 1393

Dus N = 1393 · 0,758ᵗ.

c Een toename van 70% per 5 weken geeft groeifactor 1,7 per 35 dagen:

g_\text{dag} = 1{,}7^{\frac{1}{35}} = 1{,}0152\ldots

Na 3 weken (t = 21) is J = 17,2. Van dag 10 naar dag 21 zijn 11 dagen, dus reken 11 dagen terug:

J = \frac{17{,}2}{1{,}0152\ldots^{11}} \approx 14{,}6

Je kunt ook eerst b berekenen: b = 17,2 / 1,0152...²¹ = 12,51..., en daarna J = 12,51... · 1,0152...¹⁰ ≈ 14,6.

9.2 Formules bij exponentiële groei nagekeken?

24 opdrachten

Zo pak je het aan

Kies eerst welk soort groei je hebt.

Lineair: er komt per tijdseenheid hetzelfde getal bij of af ("met 18 mg per dag", "met een vast aantal per jaar"). De formule is N = a · t + b. Daarin is a de toename per tijdseenheid (het hellingsgetal) en b de beginwaarde.
Exponentieel: er wordt per tijdseenheid met hetzelfde getal vermenigvuldigd ("met 15% per dag", "een vast percentage"). De formule is N = b · gᵗ.

Lineaire formule uit twee punten. Bereken eerst het hellingsgetal. Vul daarna één punt in om b te vinden.

a = \frac{\Delta N}{\Delta t} = \frac{N_2 - N_1}{t_2 - t_1}

Nagaan welk verband een tabel heeft. Neem stappen van dezelfde lengte.

Zijn de verschillen steeds (ongeveer) gelijk, dan is het verband lineair.
Zijn de quotiënten (de groeifactoren) steeds (ongeveer) gelijk, dan is het verband exponentieel.
Zijn de stappen niet even groot, reken dan om naar de toename of groeifactor per tijdseenheid. Gebruik alle tabelwaarden. Eén afwijkend verschil is genoeg om te laten zien dat iets níet lineair is.

Logaritmisch papier. Op een logaritmische as hoort bij elke vaste stap een vaste factor (meestal 10), niet een vast getal erbij. De grafiek van N = b · gᵗ is op logaritmisch papier een rechte lijn. Is een grafiek op logaritmisch papier recht, dan is het verband dus exponentieel. Om een formule op te stellen lees je twee punten af die ver uit elkaar liggen en goed af te lezen zijn. Daarna werk je verder zoals in 9.2.

Opdracht V4

a De toename van 1 januari 2012 tot 1 januari 2016 is 547 − 309 = 238 muurhagedissen. Dat is in 4 jaar, dus gemiddeld 238 / 4 = 59,5 per jaar.

b 1 januari 2012 is t = 2. Twee jaar terug: 309 − 2 · 59,5 = 190 muurhagedissen.

c De toename per jaar is a = 59,5 en de beginwaarde is b = 190.

N = 59{,}5t + 190

Opdracht V5

a Bereken eerst het hellingsgetal:

a = \frac{\Delta H}{\Delta t} = \frac{600 - 552}{10 - 4} = 8

Vul t = 4 en H = 552 in: 8 · 4 + b = 552, dus 32 + b = 552 en b = 520.

Dus H = 8t + 520.

b Lees af: M = 600 bij t = 2 en M = 200 bij t = 10.

a = \frac{200 - 600}{10 - 2} = -50

Vul t = 2 en M = 600 in: −50 · 2 + b = 600, dus b = 700. Dus M = −50t + 700.

c t = 0 in 2015, dus 2019 is t = 4 en 2024 is t = 9.

a = \frac{19\,040 - 15\,800}{9 - 4} = 648

Vul t = 4 en N = 15 800 in: 648 · 4 + b = 15 800, dus 2592 + b = 15 800 en b = 13 208. Dus N = 648t + 13 208.

Opdracht 33

a Van 31 december 2014 tot 31 december 2023 is 9 jaar. Er kwamen 5745 − 3738 = 2007 bedrijven bij, dus 2007 / 9 = 223 bedrijven per jaar.

b De groeifactor per 9 jaar is 87 350 / 56 300. Per jaar is dat:

g_\text{jaar} = \left(\frac{87\,350}{56\,300}\right)^{\frac{1}{9}} \approx 1{,}050

Opdracht 34

a Lineair, met de punten (5; 18) en (9; 35):

a = \frac{35 - 18}{9 - 5} = 4{,}25

Vul t = 5 en N = 18 in: 4,25 · 5 + b = 18, dus 21,25 + b = 18 en b = −3,25.

Dus N = 4,25t − 3,25.

b Exponentieel. Van t = 5 naar t = 9 is 4 jaar:

g = \left(\frac{35}{18}\right)^{\frac{1}{4}} = 1{,}1808\ldots \qquad b = \frac{18}{1{,}1808\ldots^5} \approx 8

Dus N = 8 · 1,181ᵗ.

c Bij lineaire toename is de stijging constant, bij exponentiële toename is de stijging toenemend.

Opdracht 35

a Verse spinazie verliest elke dag 18 mg. Dat is een vaste hoeveelheid, dus lineair. Diepvriesspinazie verliest elke dag 15%. Dat is een vast percentage, dus exponentieel met g = 0,85.

H_\text{v} = -18t + 80 \qquad H_\text{d} = 80 \cdot 0{,}85^t

b De verse spinazie bevat geen vitamine C meer als −18t + 80 = 0. Dan is t = 80 / 18 = 4,44...

Op dat moment bevat de diepvriesspinazie:

H_\text{d} = 80 \cdot 0{,}85^{4{,}44\ldots} \approx 39

Dat is 39 mg vitamine C.

c 40% van 80 mg is 0,4 · 80 = 32 mg. Los op: 80 · 0,85ᵗ = 32. De optie oplossen geeft x = 5,63...

Dat is 5 dagen en 0,63... · 24 ≈ 15 uur, oftewel 135 uur.

Opdracht 36

a t = 0 op 1 maart 2025, dus 1 april is t = 1 en 1 juli is t = 4. De haar groeit met een constante snelheid, dus de verbanden zijn lineair.

Ans: van 6,4 naar 9,1 cm in 3 maanden.

a = \frac{9{,}1 - 6{,}4}{4 - 1} = 0{,}9

Vul t = 1 en L = 6,4 in: 0,9 + b = 6,4, dus b = 5,5. Dus:

L_\text{A} = 0{,}9t + 5{,}5

Bo: van 6,3 naar 9,6 cm in 3 maanden.

a = \frac{9{,}6 - 6{,}3}{4 - 1} = 1{,}1

Vul t = 1 en L = 6,3 in: 1,1 + b = 6,3, dus b = 5,2. Dus:

L_\text{B} = 1{,}1t + 5{,}2

b De haar van Bo moet 2 cm langer zijn dan die van Ans:

1{,}1t + 5{,}2 = 0{,}9t + 5{,}5 + 2

De optie oplossen geeft x = 11,5. t = 11 is 1 februari 2026, dus het gebeurt in februari 2026.

c Beide moeten langer dan 25 cm zijn.

Ans: 0,9t + 5,5 = 25 geeft t = 21,66...
Bo: 1,1t + 5,2 = 25 geeft t = 18.

Ans is het laatst, dus ze moeten wachten tot t = 21,66... Op t = 21 is het 1 december 2027. Het deel 0,66... maand is ongeveer 0,66... · 31 ≈ 20,6 dagen. Vanaf 21 december 2027 kunnen ze allebei weer doneren.

Opdracht 37

a Wereldwijd: een vast percentage, dus exponentieel. Van 2022 tot 2033 is 11 jaar:

g = \left(\frac{119{,}9}{113{,}5}\right)^{\frac{1}{11}} = 1{,}0049\ldots

t = 0 in 2020, dus 2022 is t = 2:

b = \frac{113{,}5}{1{,}0049\ldots^2} \approx 112{,}4 \qquad K_\text{W} = 112{,}4 \cdot 1{,}005^t

Europa: een vaste hoeveelheid, dus lineair. 2022 is t = 2 en 2030 is t = 10:

a = \frac{9{,}60 - 9{,}76}{10 - 2} = -0{,}02

Vul t = 2 en K = 9,76 in: −0,04 + b = 9,76, dus b = 9,8. Dus:

K_\text{E} = -0{,}02t + 9{,}8

b In 2020 (t = 0) is het wereldwijde gebruik 112,4 en het Europese 9,8 miljoen ton:

\frac{9{,}8}{112{,}4} \cdot 100\% \approx 8{,}7\%

In 2033 is het wereldwijde gebruik 119,9 en het Europese −0,02 · 13 + 9,8 = 9,54 miljoen ton:

\frac{9{,}54}{119{,}9} \cdot 100\% \approx 8{,}0\%

Opdracht 38

Het gebruik buiten Europa is het wereldwijde gebruik min dat van Europa:

K_\text{W} - K_\text{E} = 112{,}4 \cdot 1{,}005^t - (-0{,}02t + 9{,}8)

Voer in y1 = 112,4 · 1,005ˣ − (−0,02x + 9,8) en y2 = 114. De optie snijpunt geeft x = 18,7...

Bij t = 19 is het voor het eerst meer dan 114 miljoen ton. Dat is in 2020 + 19 = 2039.

Opdracht 39

a De verschillen per twee jaar zijn niet gelijk: 300 − 250 = 50 en 360 − 300 = 60. Per jaar is de toename dus eerst 25 en daarna 30. Er is geen vaste toename per tijdseenheid, dus het verband is niet lineair.

b De groeifactoren per twee jaar zijn wel gelijk: 300 / 250 = 1,2 en 360 / 300 = 1,2. Per jaar is dat telkens √1,2 = 1,095... Er is een vaste groeifactor, dus het verband kan exponentieel zijn.

Opdracht 40

Lees de waarden af die om de 10 jaar bij de modellen horen, en bereken telkens de groeifactor per 10 jaar.

Model I: 6,14 / 4,14 = 1,483..., 9,08 / 6,14 = 1,478... en 14,83 / 9,08 = 1,633...
Model II: 4,14 / 2,80 = 1,478..., 6,14 / 4,14 = 1,483... en 9,08 / 6,14 = 1,478...

Bij model II zijn de groeifactoren ongeveer gelijk. Model II komt dus het best overeen met een exponentieel verband. Over 30 jaar is de groeifactor 9,08 / 2,80:

g_\text{jaar} = \left(\frac{9{,}08}{2{,}80}\right)^{\frac{1}{30}} \approx 1{,}040

Opdracht 41

a Luchtdruk: de groeifactoren per km zijn ongeveer gelijk.

\frac{889}{1013} = 0{,}8775\ldots \quad \frac{780}{889} = 0{,}8773\ldots \quad \frac{685}{780} = 0{,}8782\ldots \quad \left(\frac{406}{685}\right)^{\frac{1}{4}} = 0{,}8774\ldots

Dat past bij een exponentieel verband tussen P en h.

Kookpunt: de verschillen per km zijn ongeveer gelijk. Ze zijn −3,4, −3,3 en −3,4, en van h = 3 naar h = 7 is het (76,7 − 90,2) / 4 = −3,375 per km. Dat past bij een lineair verband tussen T en h.

b Gebruik de waarden bij 0 en 7 km.

g = \left(\frac{406}{1013}\right)^{\frac{1}{7}} \approx 0{,}878 \qquad P = 1013 \cdot 0{,}878^h

a = \frac{76{,}7 - 100{,}3}{7 - 0} \approx -3{,}371 \qquad T = -3{,}371h + 100{,}3

c 5400 meter is h = 5,4. T = −3,371 · 5,4 + 100,3 ≈ 82 °C.

d Los op: 1013 · 0,878ʰ = 320. De optie oplossen geeft x = 8,856...

De Mount Everest is volgens het model 8860 meter hoog. Met de onafgeronde groeifactor kom je op 8820 meter.

Opdracht 42

a Lineair interpoleren tussen n = 21 en n = 32. In 11 verdiepingen komt er 37,98 − 21,75 = 16,23 miljoen euro bij. Dat is 16,23 / 11 = 1,475... miljoen euro per verdieping.

Bij 25 verdiepingen: 21,75 + 4 · 1,475... ≈ 27,65 miljoen euro.

b De kosten per extra verdieping zijn niet gelijk:

\frac{11{,}25 - 7{,}5}{8 - 0} = 0{,}468\ldots \qquad \frac{15{,}25 - 11{,}25}{14 - 8} = 0{,}666\ldots

Er is dus geen lineair verband.

c Reken de groeifactor per verdieping uit voor elk stuk van de tabel:

\left(\frac{11{,}25}{7{,}5}\right)^{\frac{1}{8}} = 1{,}0519\ldots \quad \left(\frac{15{,}25}{11{,}25}\right)^{\frac{1}{6}} = 1{,}0520\ldots \quad \left(\frac{21{,}75}{15{,}25}\right)^{\frac{1}{7}} = 1{,}0520\ldots \quad \left(\frac{37{,}98}{21{,}75}\right)^{\frac{1}{11}} = 1{,}0519\ldots

Die zijn ongeveer gelijk, dus de tabel past bij een exponentieel verband.

d Per verdieping is de groeifactor ongeveer 1,052. Voor twee verdiepingen is dat 1,052² ≈ 1,107, dus een toename van 10,7%.

e Met g = 1,0519... (tussen 21 en 32) en 4 verdiepingen extra:

21{,}75 \cdot 1{,}0519\ldots^4 \approx 26{,}64

Dat is 26,64 miljoen euro. Het verschil met vraag a is 27,65 − 26,64 = 1,01 miljoen euro.

f De beginwaarde is 7,5 (bij n = 0), dus K = 7,5 · 1,052ⁿ.

Los op: 7,5 · 1,052ⁿ = 19,5. De optie oplossen geeft x = 18,8... Met 19 verdiepingen kom je boven 19,5 miljoen euro, dus ze kan 18 verdiepingen met appartementen bouwen.

Opdracht 43

a Walvis en wasbeer: 100 000 / 10 = 10 000 keer zo zwaar. Walvis en kolibrie: 100 000 / 0,005 = 20 000 000 keer zo zwaar.

b 100 000 kg is 100 000 000 gram, dus de lijn moet 100 000 000 mm lang worden. Dat is 100 km.

c 100 000 kg is 100 keer 1000 kg, dus de lijn wordt 100 mm, oftewel 10 cm. Het bezwaar: alle lichte dieren (van kever tot paard) zitten dan binnen 1 mm van 0. Je kunt ze niet meer uit elkaar houden.

d Prachtkever 0,001 kg = 10⁻³ kg, zeehond 100 kg = 10² kg en walvis 100 000 kg = 10⁵ kg. Zet ze bij die maatstreepjes.

e Tussen twee opeenvolgende maatstreepjes wordt het getal steeds met 10 vermenigvuldigd.

Opdracht 44

a Er is een lijn getekend bij y = 9,5 en bij y = 2,4.

Bij 49 staat geen lijn: tussen 40 en 50 staan alleen lijnen in stappen van 2.
Bij 1,25 staat geen lijn: zo fijn is de verdeling tussen 1 en 2 niet.
Bij 0 kan geen lijn staan. Op een logaritmische as komt 0 nooit voor: elke stap omlaag deelt door 10, en zo kom je nooit bij 0.

b A hoort bij 1,3, B bij 7,5, C bij 23 en D bij 55.

c Nu staat 10³ waar eerst 1 stond. Alle getallen worden dus 10³ = 1000 keer zo groot: B hoort bij 7500, C bij 23 000 en D bij 55 000.

Opdracht 45

a Zet de punten (0; 100 000), (1; 15 000), (2; 2000), (3; 400) en (4; 50) uit op het logaritmisch papier. Verbind ze met lijnstukken.

Het aantal micro-organismen N op logaritmisch papier. De oranje stippellijnen horen bij vraag b, de bruine bij vraag c.

b Lees af: bij t = 1,5 hoort N ≈ 5500 en bij t = 2,5 hoort N ≈ 900.

c Bij N = 100 hoort t ≈ 3,7. Na ongeveer 3,7 minuten is het aantal teruggebracht tot 100.

Opdracht 46

a Vul t in N = 4 · 3ᵗ in.

t	0	2	4	6
N = 4 · 3ᵗ	4	36	324	2916

b en c Voor N = 5000 · 0,6ᵗ krijg je:

t	0	2	4	6
N = 5000 · 0,6ᵗ	5000	1800	648	233

Blauw: N = 4 · 3ᵗ (stijgend). Oranje: N = 5000 · 0,6ᵗ (dalend). Op logaritmisch papier zijn het rechte lijnen.

d Beide grafieken zijn rechte lijnen. Dat geldt voor elke formule van de vorm N = b · gᵗ.

Opdracht 47

Grafiek II is een rechte lijn op logaritmisch papier, dus bij grafiek II hoort het exponentiële verband.

Lees af: bij t = 3 is N = 80 en bij t = 7 is N = 400.

g = \left(\frac{400}{80}\right)^{\frac{1}{4}} = 1{,}4953\ldots \qquad b = \frac{80}{1{,}4953\ldots^3} \approx 23{,}9

Dus:

N_\text{II} = 23{,}9 \cdot 1{,}495^t

Grafiek I hoort bij het lineaire verband. Lees af: bij t = 2 is N = 200 en bij t = 7 is N = 400.

a = \frac{400 - 200}{7 - 2} = 40

Vul t = 2 en N = 200 in: 80 + b = 200, dus b = 120. Dus:

N_\text{I} = 40t + 120

Opdracht 48

a De grafiek van plant B is een rechte lijn op logaritmisch papier, dus plant B groeit exponentieel.

Lees af: bij t = 5 is L = 80 en bij t = 30 is L = 300.

g = \left(\frac{300}{80}\right)^{\frac{1}{25}} = 1{,}0542\ldots \qquad b = \frac{80}{1{,}0542\ldots^5} \approx 61

Dus:

L_\text{B} = 61 \cdot 1{,}054^t

b Plant D groeit exponentieel, dus de grafiek is een rechte lijn. Zet de punten (5; 30) en (25; 400) uit en trek er een rechte lijn door.

c Plant E heeft dezelfde groeifactor als plant B. Op logaritmisch papier betekent dat: dezelfde helling. Teken dus een lijn evenwijdig aan lijn B door het punt (10; 30).

Ter controle kun je b uitrekenen: b = 30 / 1,0542...¹⁰ ≈ 17,7. De lijn gaat dus ook door ongeveer (0; 18).

Blauw: plant B. Oranje: plant D door (5; 30) en (25; 400). Bruin: plant E, evenwijdig aan B door (10; 30).

Opdracht 49

a Lees op de lijn af: bij t = 1 is N = 2000 en bij t = 4 is N = 400.

g = \left(\frac{400}{2000}\right)^{\frac{1}{3}} = 0{,}5848\ldots \qquad b = \frac{2000}{0{,}5848\ldots^1} \approx 3420

Dus:

N_\text{A} = 3420 \cdot 0{,}585^t

b Zet de punten uit de tabel uit. Ze liggen bij benadering op een stijgende rechte lijn. Dat betekent exponentiële groei met g > 1, dus een toenemende stijging.

Je ziet het ook in de tabel: elk jaar wordt het aantal ongeveer met 1,5 vermenigvuldigd (600 / 400 = 1,5, 900 / 600 = 1,5, enzovoort).

Blauw: het model N_A. Oranje: de punten van soort B, die bijna op een rechte stijgende lijn liggen.

c Soort B neemt van 2024 naar 2025 toe met 3000 − 2000 = 1000 broedparen. Soort A neemt in die periode af van ongeveer 400 naar ongeveer 240, dus met veel minder dan 1000. Samen is het aantal toegenomen.

Je kunt ook de totalen vergelijken: in 2024 samen ongeveer 400 + 2000 = 2400, in 2025 ongeveer 240 + 3000 = 3240.

Opdracht 50

a Lees twee punten op de lijn af, bijvoorbeeld (1990; 10⁶) en (2010; 10⁹). In 20 jaar is de groeifactor 10⁹ / 10⁶ = 1000. Per twee jaar is dat:

g_\text{2 jaar} = \left(1000\right)^{\frac{2}{20}} = 1000^{\frac{1}{10}} = 1{,}9952\ldots

Dat is ongeveer 2. Elke twee jaar verdubbelt het aantal, en dat is de wet van Moore.

b t = 0 in 1971, dus 1990 is t = 19 en 2010 is t = 39.

g = \left(\frac{10^9}{10^6}\right)^{\frac{1}{20}} = 1{,}4125\ldots \qquad b = \frac{10^6}{1{,}4125\ldots^{19}} \approx 1400

Dus N = 1400 · 1,413ᵗ.

c 2032 is t = 61.

Luuk: N = 1400 · 1,413⁶¹ ≈ 2,01 · 10¹².
Maria: begin bij 2300 in 1971 en verdubbel elke 2 jaar, dus g = √2 = 1,414... per jaar. Dat geeft N = 2300 · 1,414...⁶¹ ≈ 3,49 · 10¹².

\frac{3{,}49\ldots \cdot 10^{12} - 2{,}01\ldots \cdot 10^{12}}{2{,}01\ldots \cdot 10^{12}} \cdot 100\% \approx 73\%

De voorspelling van Maria is ongeveer 73% groter. Met de onafgeronde formule van Luuk kom je op ongeveer 75%.

Opdracht 51

a Soort B: gewicht 1 kg en populatiedichtheid 10² = 100 dieren per km². Soort C: gewicht 5 · 10² = 500 kg en populatiedichtheid 1 dier per km².

b Ja. In de figuur liggen de stippen bij een kleiner gewicht g over het algemeen hoger, dus bij een grotere populatiedichtheid P. Lichtere zoogdieren leven dus over het algemeen met meer soortgenoten op een km².

c Lees af: bij g = 30 kg hoort P = 6 dieren per km². In 3500 km² leven dan 3500 · 6 = 21 000 dieren.

d Gebruik A(0,05; 1000), B(1; 100) en C(500; 1).

Lineair? Bereken de toename per kg:

\frac{100 - 1000}{1 - 0{,}05} = -947{,}3\ldots \qquad \frac{1 - 100}{500 - 1} = -0{,}19\ldots

Die zijn niet gelijk, dus het verband is niet lineair.

Exponentieel? Bereken de groeifactor per kg:

\left(\frac{100}{1000}\right)^{\frac{1}{0{,}95}} = 0{,}088\ldots \qquad \left(\frac{1}{100}\right)^{\frac{1}{499}} = 0{,}99\ldots

Ook die zijn niet gelijk, dus het verband is niet exponentieel.

Opdracht C5

Uitwijkerwaard heeft een halveringstijd, dus het aantal neemt exponentieel af.

g = 0{,}5^{\frac{1}{12}} \approx 0{,}944 \qquad N_\text{U} = 60 \cdot 0{,}944^t

Leegdam verliest elke maand een vast aantal, dus lineair. Per jaar is dat 12 · 100 = 1200 inwoners, oftewel −1,2 duizend. 2025 is t = 3, dus vul t = 3 en N = 50 in: −1,2 · 3 + b = 50, dus b = 53,6.

N_\text{L} = -1{,}2t + 53{,}6

Opdracht C6

a Bereken de toename per maand voor elk stuk:

\frac{40{,}07 - 48{,}24}{3 - 0} = -2{,}723\ldots \quad \frac{33{,}28 - 40{,}07}{6 - 3} = -2{,}263\ldots \quad \frac{25{,}98 - 33{,}28}{10 - 6} = -1{,}825

Die zijn niet gelijk, dus de tabel past niet bij een lineair verband.

b Bereken de groeifactor per maand voor elk stuk:

\left(\frac{40{,}07}{48{,}24}\right)^{\frac{1}{3}} = 0{,}9400\ldots \quad \left(\frac{33{,}28}{40{,}07}\right)^{\frac{1}{3}} = 0{,}9399\ldots \quad \left(\frac{25{,}98}{33{,}28}\right)^{\frac{1}{4}} = 0{,}9399\ldots

Die zijn ongeveer gelijk, dus de tabel past wel bij een exponentieel verband.

Opdracht C7

a Lees af: bij t = 6 hoort N = 3000, en bij N = 50 hoort t = 2.

b Gebruik de punten (2; 50) en (6; 3000).

g = \left(\frac{3000}{50}\right)^{\frac{1}{4}} = 2{,}7831\ldots \qquad b = \frac{50}{2{,}7831\ldots^2} \approx 6{,}45

Dus N = 6,45 · 2,783ᵗ.

9.3 Exponentiële en lineaire groei nagekeken?

17 opdrachten

Zo pak je het aan

Herleiden tot N = b · gᵗ. Gebruik de rekenregels voor machten:

\frac{1}{a^p} = a^{-p} \qquad a^{pq} = (a^p)^q \qquad a^{p+q} = a^p \cdot a^q \qquad a^{p-q} = \frac{a^p}{a^q}

Aanpak:

Haal getallen die niet in een macht staan naar voren. Zo blijft er één getal over dat je met een macht vermenigvuldigt.
Staat de macht in de noemer, schrijf dan 1/gᵗ = (1/g)ᵗ = (g⁻¹)ᵗ.
Staat er een som of verschil in de exponent, zoals t + 3 of 3 − t, splits de macht dan. Bijvoorbeeld: g tot de macht t + 3 is g³ · gᵗ.

Rond b en g pas aan het eind af.

Redeneren met groeiformules. Je werkt stap voor stap van binnen naar buiten. Getallenvoorbeelden of een schets tellen niet als redenering.

Grenswaarde: begin met "Als t heel groot wordt, dan ...". Bij 0 < g < 1 nadert gᵗ tot 0. Bij g > 1 wordt gᵗ heel groot.
Stijgend of dalend: begin met "Als t toeneemt, dan ...". Bij 0 < g < 1 neemt gᵗ af. Bij g > 1 neemt gᵗ toe.
Bij een breuk met een vast getal in de teller: wordt de noemer groter, dan wordt de breuk kleiner, en omgekeerd.
Iets aftrekken dat kleiner wordt, maakt de uitkomst groter.

N = \frac{c}{p + q \cdot g^t} \;\xrightarrow{\;0<g<1,\ t \to \infty\;}\; \frac{c}{p}

Opdracht 52

a Door 4ᵗ delen is hetzelfde als met 4⁻ᵗ vermenigvuldigen:

\frac{1}{4^t} = 4^{-t}

b 4⁻ᵗ = (4⁻¹)ᵗ.

c Combineer a en b, en gebruik 4⁻¹ = 0,25:

N = 15 \cdot \frac{1}{4^t} = 15 \cdot 4^{-t} = 15 \cdot (4^{-1})^t = 15 \cdot 0{,}25^t

d Een exponentieel verband, want de formule heeft de vorm N = b · gᵗ.

Opdracht 53

a Een negatieve exponent wordt een omgekeerde groeifactor: 0,8⁻¹ = 1,25.

N = 2 \cdot 0{,}8^{-t} = 2 \cdot (0{,}8^{-1})^t = 2 \cdot 1{,}25^t

b Haal de macht uit de noemer, met 0,2⁻¹ = 5:

N = \frac{4}{0{,}2^t} = 4 \cdot 0{,}2^{-t} = 4 \cdot (0{,}2^{-1})^t = 4 \cdot 5^t

c De noemer 20 tot de macht 2t is 20ᵗ · 20ᵗ. Eén factor 20ᵗ valt weg tegen de teller:

N = \frac{2 \cdot 20^t}{20^{2t}} = 2 \cdot 20^{-t} = 2 \cdot (20^{-1})^t = 2 \cdot 0{,}05^t

Opdracht 54

a Haal de getallen naar voren:

K = 3{,}2 \cdot \frac{5{,}6}{4 \cdot 1{,}25^t} = \frac{3{,}2 \cdot 5{,}6}{4} \cdot \frac{1}{1{,}25^t} = 4{,}48 \cdot (1{,}25^{-1})^t = 4{,}48 \cdot 0{,}8^t

b Splits de exponent 2x + 3 in 3 en 2x, en schrijf 10 tot de macht 2x als (10²)ˣ:

L = 10^{2x+3} = 10^3 \cdot 10^{2x} = 1000 \cdot (10^2)^x = 1000 \cdot 100^x

c Splits de exponent 3 − t in 3 en −t:

M = 8 \cdot 2{,}4^{3-t} = 8 \cdot 2{,}4^3 \cdot (2{,}4^{-1})^t = 110{,}592 \cdot 0{,}4166\ldots^t \approx 111 \cdot 0{,}417^t

Opdracht 55

a Schrijf alles als macht van 5. Gebruik 25 = 5² en 1/5 = 5⁻¹:

N = 25 \cdot \left(\tfrac{1}{5}\right)^t = 5^2 \cdot (5^{-1})^t = 5^2 \cdot 5^{-t} = 5^{2-t}

b Schrijf alles als macht van 6. Gebruik 36 = 6² en delen door (1/6)ᵗ is vermenigvuldigen met 6ᵗ:

O = \frac{36}{\left(\frac{1}{6}\right)^t} = 6^2 \cdot \left(\left(\tfrac{1}{6}\right)^{-1}\right)^t = 6^2 \cdot 6^t = 6^{t+2}

Opdracht 56

a Schrijf het tweede deel als macht van 2,5. Gebruik 1/0,4 = 0,4⁻¹ = 2,5:

P = 2 \cdot 2{,}5^t + \frac{60}{0{,}4^t} = 2 \cdot 2{,}5^t + 60 \cdot (0{,}4^{-1})^t = 2 \cdot 2{,}5^t + 60 \cdot 2{,}5^t = 62 \cdot 2{,}5^t

b Werk eerst de haakjes uit:

M = 100\left(2 + \frac{25}{12 \cdot 0{,}9^t}\right) = 200 + \frac{2500}{12} \cdot (0{,}9^{-1})^t \approx 200 + 208 \cdot 1{,}11^t

Dus M = 200 + 208 · 1,11ᵗ.

Opdracht 57

a Vul b = 50 en k = 1,39 in, en haal de t uit de exponent:

B = 50 \cdot 2{,}718^{-1{,}39t} = 50 \cdot \left(2{,}718^{-1{,}39}\right)^t \approx 50 \cdot 0{,}249^t

b Los op: 0,249ᵗ = 0,5. De optie oplossen geeft x = 0,4985... uur. Dat is 60 · 0,4985... ≈ 30 minuten.

c Bij b = 15 is de beginhoeveelheid 15 mL. Na 1 uur is de helft over, dus bij t = 1 is B = 7,5:

15 \cdot 2{,}718^{-k} = 7{,}5

De optie oplossen (met x voor k) geeft x = 0,6932..., dus k ≈ 0,693.

d Los op:

15 \cdot 2{,}718^{-0{,}693t} = 1

De optie oplossen geeft x = 3,9081... uur.

60 · 3,9081... = 234,4... minuten. Na 235 minuten (3 uur en 55 minuten) is er voor het eerst minder dan 1 mL over.

Het kan ook zonder k: de halveringstijd is 1 uur, dus de groeifactor per minuut is 0,5 tot de macht 1/60, en dat is 0,9885... Uit 15 · 0,9885...ᵗ = 1 volgt t = 234,4... minuten.

Opdracht 58

a Voer in y1 = 100 / (9 · 0,926ˣ) en bekijk de grafiek. Die begint laag (bij ongeveer 11) en stijgt steeds sneller.

De grafiek van B = 100 / (9 · 0,926ᵗ): toenemend stijgend.

b Los op: 100 / (9 · 0,926ᵗ) = 960. De optie oplossen geeft x = 57,99...

Het onderzoek is gedaan in 1937 + 58 = 1995.

c Haal de getallen naar voren en gebruik 0,926⁻¹ = 1,0799...:

B = \frac{100}{9 \cdot 0{,}926^t} = \frac{100}{9} \cdot (0{,}926^{-1})^t \approx 11 \cdot 1{,}080^t

d De beginwaarde is 11, dus in 1937 werden er 11 bevers geïntroduceerd. Je kunt ook t = 0 invullen: 100 / (9 · 1) = 11,1...

e De groeifactor is 1,080, dus het aantal groeide jaarlijks met 8,0%.

Opdracht 59

a Elke tijdseenheid wordt 0,5ᵗ met 0,5 vermenigvuldigd, dus gehalveerd. Na heel veel halveringen blijft er vrijwel niets over. Dan is 90 · 0,5ᵗ bijna 0.

b Als t heel groot wordt, nadert 90 · 0,5ᵗ tot 0. Dan nadert A = 100 − 90 · 0,5ᵗ tot 100.

c Als t toeneemt, dan neemt 0,5ᵗ af, dus neemt 90 · 0,5ᵗ af, dus neemt 100 − 90 · 0,5ᵗ toe.

d Uit c volgt: als t toeneemt, neemt A toe. Dat betekent precies dat de grafiek van A stijgend is.

Opdracht 60

a Als t heel groot wordt, nadert 0,74ᵗ tot 0. Dan wordt 5,5 · 0,74ᵗ ≈ 0 en 2 + 5,5 · 0,74ᵗ ≈ 2. Dus wordt

\frac{5000}{2 + 5{,}5 \cdot 0{,}74^t} \approx \frac{5000}{2} = 2500

De grenswaarde is dus 2500 vissen.

b Als t toeneemt, dan neemt 0,74ᵗ af, dan neemt 5,5 · 0,74ᵗ af en dan neemt 2 + 5,5 · 0,74ᵗ af. De noemer wordt kleiner, dus neemt 5000 / (2 + 5,5 · 0,74ᵗ) toe. De grafiek van N is stijgend.

Opdracht 61

De formule is h = 260 / (1 + 32 · 0,5ᵗ).

a Als t toeneemt, dan neemt 0,5ᵗ af, dus neemt 32 · 0,5ᵗ af, dus neemt 1 + 32 · 0,5ᵗ af. De noemer wordt kleiner, dus de breuk 260 / (1 + 32 · 0,5ᵗ) neemt toe. De zonnebloem wordt voortdurend hoger.

b Vul t = 3 in:

h = \frac{260}{1 + 32 \cdot 0{,}5^3} = \frac{260}{1 + 4} = 52

De zonnebloem is dan 52 cm hoog.

c Als t heel groot wordt, nadert 0,5ᵗ tot 0. Dan wordt 32 · 0,5ᵗ ≈ 0 en 1 + 32 · 0,5ᵗ ≈ 1. Dus h ≈ 260 / 1 = 260. De grenswaarde is 260 cm.

d 2,5 meter is 250 cm. Los op: 260 / (1 + 32 · 0,5ᵗ) = 250. De optie oplossen geeft x = 9,643...

De zonnebloem is hoger dan 2,5 meter vanaf t = 9,7 weken.

Opdracht 62

a Als t toeneemt, dan neemt 0,7ᵗ af, dus neemt 1 − 0,7ᵗ toe, dus neemt 1200(1 − 0,7ᵗ) toe. De grafiek van N is stijgend.

b Als t heel groot wordt, nadert 0,7ᵗ tot 0. Dan wordt 1 − 0,7ᵗ ≈ 1 en 1200(1 − 0,7ᵗ) ≈ 1200. Het verzadigingsniveau is de lijn N = 1200.

Praktisch betekent dit dat er 1200 leerlingen op school zitten. Op den duur weet iedereen het nieuws.

c Los op: 1200(1 − 0,7ᵗ) = 950. De optie oplossen geeft x = 4,397...

Dat is 4 uur en 0,397... · 60 ≈ 24 minuten na 9:00 uur, dus om 13:24 uur.

Opdracht 63

a A = 5 − 0,2 / 1,4ᵗ. Als t toeneemt, dan neemt 1,4ᵗ toe, dus neemt 0,2 / 1,4ᵗ af. Er wordt steeds minder van 5 afgetrokken, dus neemt 5 − 0,2 / 1,4ᵗ toe. De grafiek van A is stijgend.

b Als t heel groot wordt, nadert 0,98ᵗ tot 0. Dan wordt 2 − 0,98ᵗ ≈ 2 en 320(2 − 0,98ᵗ) ≈ 320 · 2 = 640. De grenswaarde is 640.

c C = 720 / (8 + 2,1 · 1,8ᵗ). Als t toeneemt, dan neemt 1,8ᵗ toe, dus neemt 2,1 · 1,8ᵗ toe, dus neemt 8 + 2,1 · 1,8ᵗ toe. De noemer wordt groter, dus neemt de breuk af. De grafiek van C is dalend.

Opdracht 64

De formule is P = 2000 / (5 − 4 · 0,65ᵏ).

a Als k toeneemt, dan neemt 0,65ᵏ af, dus neemt 4 · 0,65ᵏ af, dus neemt 5 − 4 · 0,65ᵏ toe. De noemer wordt groter, dus neemt 2000 / (5 − 4 · 0,65ᵏ) af. De grafiek van P is dalend.

b Als k heel groot wordt, nadert 0,65ᵏ tot 0. Dan wordt 5 − 4 · 0,65ᵏ ≈ 5 en P ≈ 2000 / 5 = 400. De grenswaarde is 400.

Opdracht 65

a Lees af: op t = 35 zijn er 705 fruitvliegjes en op t = 45 zijn er 961.

\frac{961 - 705}{705} \cdot 100\% \approx 36{,}3\%

b Lees af: op t = 15 zijn er 63 en op t = 25 zijn er 280. Dat is 10 dagen:

g_\text{dag} = \left(\frac{280}{63}\right)^{\frac{1}{10}} \approx 1{,}1609

Het groeipercentage is 16,1% per dag.

c 23 april om 0:00 uur is t = 22. Dat is 7 dagen na t = 15. Het aantal is dan 63 · 1,16⁷ ≈ 178 fruitvliegjes.

d Vul t = 45 in de formule in:

N = \frac{1035}{1 + 210 \cdot 0{,}84^{45}} \approx 956

De telling is 961, dus de afwijking is:

\frac{961 - 956}{961} \cdot 100\% \approx 0{,}5\%

e Als t toeneemt, dan neemt 0,84ᵗ af, dus neemt 210 · 0,84ᵗ af, dus neemt 1 + 210 · 0,84ᵗ af. De noemer wordt kleiner, dus neemt N toe. De grafiek is stijgend.

f Als t heel groot wordt, nadert 0,84ᵗ tot 0. Dan wordt 1 + 210 · 0,84ᵗ ≈ 1 en N ≈ 1035 / 1 = 1035. Het verzadigingsniveau is 1035, en dat klopt met de verwachting van de bioloog.

Opdracht 66

De formule is P = 92 / 2,39ᵗ + 32 / 1,04ᵗ + 10.

a Vul t = 0,5 in:

P = \frac{92}{2{,}39^{0{,}5}} + \frac{32}{1{,}04^{0{,}5}} + 10 \approx 100{,}9

Je kunt niet meer dan 100% van de woorden onthouden. Dus de formule kan niet gelden voor t = 0,5.

b De helft is 50%. Voer in y1 = 92 / 2,39ˣ + 32 / 1,04ˣ + 10 en y2 = 50. De optie snijpunt geeft x = 2,445...

Dat is 2 minuten en 0,445... · 60 ≈ 27 seconden, oftewel 147 seconden.

c Als t heel groot wordt, worden 2,39ᵗ en 1,04ᵗ heel groot. Dan naderen 92 / 2,39ᵗ en 32 / 1,04ᵗ tot 0, en dus P ≈ 0 + 0 + 10 = 10. De grenswaarde is 10.

Praktisch: ook na heel lange tijd weten de deelnemers nog 10% van de woorden.

d Schrijf beide breuken als macht met een negatieve exponent:

P = 92 \cdot (2{,}39^{-1})^t + 32 \cdot (1{,}04^{-1})^t + 10 \approx 92 \cdot 0{,}418^t + 32 \cdot 0{,}962^t + 10

Dus a = 0,418 en b = 0,962.

Opdracht C8

Haal de getallen naar voren en gebruik 1,2⁻¹ = 0,833...:

N = 150 \cdot \frac{20}{3 \cdot 1{,}2^t} = \frac{150 \cdot 20}{3} \cdot (1{,}2^{-1})^t = 1000 \cdot 0{,}833\ldots^t

Dus N = 1000 · 0,83ᵗ.

Opdracht C9

De formule is N = 150 / (3 + 20 · 0,6ᵗ).

a Als t heel groot wordt, nadert 0,6ᵗ tot 0. Dan wordt 20 · 0,6ᵗ ≈ 0 en 3 + 20 · 0,6ᵗ ≈ 3. Dus N ≈ 150 / 3 = 50. De grenswaarde is 50.

b Als t toeneemt, dan neemt 0,6ᵗ af, dan neemt 20 · 0,6ᵗ af en dan neemt 3 + 20 · 0,6ᵗ af. De noemer wordt kleiner, dus neemt N toe. De grafiek van N is stijgend.

9.4 Herleiden en redeneren nagekeken?

12 opdrachten

Zo pak je het aan

In deze test komt alles uit 9.1 t/m 9.4 terug. Bij elke opgave staat in het boek de paragraaf erbij. Lukt een opgave niet, kijk dan eerst weer naar "Zo pak je het aan" van die paragraaf.

Test 1

a Een toename van 0,3% per jaar geeft g = 1,003.

N = 2400 \cdot 1{,}003^t

b Los op: 2400 · 1,003ᵗ = 2700. De optie oplossen geeft x = 39,31...

N is groter dan 2700 vanaf t = 40.

Test 2

a Los op: 1,155ᵗ = 2. De optie oplossen geeft x = 4,810...

Dat is 4 jaar en 0,810... · 12 ≈ 10 maanden, oftewel 58 maanden.

b Per 21 jaar is de groeifactor 2:

g_\text{jaar} = 2^{\frac{1}{21}} \approx 1{,}034

De groei is 3,4% per jaar.

Test 3

a Los op: 0,88ᵗ = 0,5. De optie oplossen geeft x = 5,422...

Dat is 5 uur en 0,422... · 60 ≈ 25 minuten, oftewel 325 minuten.

b Per 7,8 dagen is de groeifactor 0,5:

g_\text{dag} = 0{,}5^{\frac{1}{7{,}8}} \approx 0{,}915

c Los op: 0,975ᵗ = 0,5. De optie oplossen geeft x = 27,377..., dus de halveringstijd is 27,4 jaar.

Test 4

a De groeifactor per dag is 1,36 en een week is 7 dagen:

g_\text{week} = 1{,}36^7 \approx 8{,}61

Er komt per week 8,61 − 1 = 7,61 keer de hoeveelheid bij. Het groeipercentage is 761% per week.

b Een uur is 1/24 dag:

g_\text{uur} = 1{,}36^{\frac{1}{24}} \approx 1{,}013

Het groeipercentage is 1,3% per uur.

Test 5

a Per tien jaar is de groeifactor 0,75:

g_\text{jaar} = 0{,}75^{\frac{1}{10}} \approx 0{,}972

De afname is 2,8% per jaar.

b 25 jaar is 2,5 keer tien jaar:

g_\text{25 jaar} = 0{,}75^{2{,}5} \approx 0{,}487

De afname is 1 − 0,487 = 0,513, dus 51,3% per 25 jaar.

Test 6

Van t = 4 naar t = 7 is 3 dagen.

g = \left(\frac{1200}{1500}\right)^{\frac{1}{3}} = 0{,}9283\ldots \qquad b = \frac{1500}{0{,}9283\ldots^4} \approx 2020

Dus N = 2020 · 0,928ᵗ.

Test 7

a t = 0 in 2008, dus b = 8,1. Van 2008 tot 2019 is 11 jaar:

g = \left(\frac{14{,}4}{8{,}1}\right)^{\frac{1}{11}} \approx 1{,}054 \qquad P = 8{,}1 \cdot 1{,}054^t

b Los op: 8,1 · 1,054ᵗ = 20. De optie oplossen geeft x = 17,18...

Bij t = 18 voor het eerst meer dan 20, dus in 2008 + 18 = 2026.

Test 8

a ParkLine groeit met een vast aantal per dag, dus lineair. Na 91 dagen zijn er 2134 gebruikers, en 20 weken (140 dagen) later 2974:

a = \frac{2974 - 2134}{20 \cdot 7} = 6

Vul t = 91 en N = 2134 in: 546 + b = 2134, dus b = 1588. Dus:

N_\text{PL} = 6t + 1588

GoRilla groeit met 0,8% per dag, dus exponentieel met g = 1,008. 14 weken is t = 98:

b \cdot 1{,}008^{98} = 655 \quad\Rightarrow\quad b = \frac{655}{1{,}008^{98}} \approx 300

Dus:

N_\text{GR} = 300 \cdot 1{,}008^t

b Los op: 300 · 1,008ᵗ = 750. De optie oplossen geeft x = 114,99..., dus t = 115.

Dan heeft ParkLine 6 · 115 + 1588 = 2278 gebruikers.

\frac{2278 - 750}{750} \cdot 100\% \approx 203{,}7\%

ParkLine had toen 203,7% meer gebruikers.

c Voer in y1 = 300 · 1,008ˣ en y2 = 6x + 1588. De optie snijpunt geeft x = 305,4...

GoRilla had voor het eerst meer gebruikers op dag 306 na 1 januari.

Test 9

a P: de quotiënten per stap zijn ongeveer gelijk.

\frac{20\,505}{17\,830} = 1{,}1500\ldots \quad \frac{23\,580}{20\,505} = 1{,}1499\ldots \quad \frac{27\,120}{23\,580} = 1{,}1501\ldots

Dat past bij een exponentieel verband. Bij Q zijn de verschillen per stap allemaal 215, en dat past bij een lineair verband.

b R: de quotiënten zijn niet gelijk (18 365 / 17 830 = 1,030... en 19 845 / 18 900 = 1,05), dus het verband is niet exponentieel. De verschillen zijn ook niet gelijk (535 en 945), dus het is ook niet lineair.

Test 10

a Grafiek I is een rechte lijn op logaritmisch papier, dus die hoort bij het exponentiële verband. Lees af: bij t = 0 is N = 2 en bij t = 14 is N = 100.

g = \left(\frac{100}{2}\right)^{\frac{1}{14}} \approx 1{,}322 \qquad N = 2 \cdot 1{,}322^t

b De groeifactor 0,736 ligt tussen 0 en 1. Er is dus sprake van een afnemende daling.

c Maak een tabel met waarden die je goed kunt uitzetten, bijvoorbeeld t = 0 geeft N = 300 en t = 15 geeft N ≈ 3. Verbind de punten met een rechte lijn.

De grafiek van N = 300 · 0,736ᵗ op logaritmisch papier: een dalende rechte lijn.

Test 11

De formule is N = 5000 / (200 + 12 · 0,78ᵗ).

a Als t toeneemt, dan neemt 0,78ᵗ af, dus neemt 12 · 0,78ᵗ af, dus neemt 200 + 12 · 0,78ᵗ af. De noemer wordt kleiner, dus neemt N toe. De grafiek van N is stijgend.

b Als t heel groot wordt, nadert 0,78ᵗ tot 0. Dan wordt 200 + 12 · 0,78ᵗ ≈ 200 en N ≈ 5000 / 200 = 25. De grenswaarde is 25.

Test 12

a Haal de getallen naar voren en gebruik 1,12⁻¹ = 0,892...:

N = \frac{3000}{15 \cdot 1{,}12^t} = 200 \cdot (1{,}12^{-1})^t \approx 200 \cdot 0{,}89^t

b Splits de exponent 4 − 3t in 4 en −3t:

M = 200 \cdot 0{,}8^{4-3t} = 200 \cdot 0{,}8^4 \cdot (0{,}8^{-3})^t = 81{,}92 \cdot 1{,}953\ldots^t \approx 81{,}92 \cdot 1{,}95^t

Kennis- en vaardighedentest nagekeken?

11 opdrachten

Zo pak je het aan

Bij de gemengde opgaven staat niet bij welke paragraaf ze horen. Begin daarom altijd met de vraag: is het verband lineair (vaste toename) of exponentieel (vast percentage, verdubbelings- of halveringstijd)? Kies daarna de werkwijze uit 9.1 t/m 9.4.

Gemengd 1

a Haal de getallen naar voren en gebruik 1,8⁻¹ = 0,555...:

N = \frac{1750}{121 \cdot 1{,}8^t} = \frac{1750}{121} \cdot (1{,}8^{-1})^t \approx 14{,}46 \cdot 0{,}56^t

b Los op: 1,045ᵗ = 2. De optie oplossen geeft x = 15,747...

De verdubbelingstijd is 15 jaar en 0,747... · 12 ≈ 9 maanden, oftewel 189 maanden.

c 15 uur en 45 minuten is 15,75 uur:

g_\text{uur} = 0{,}5^{\frac{1}{15{,}75}} \approx 0{,}957

De hoeveelheid neemt 4,3% per uur af.

d Een dag is 24 uur, dus 2,4 keer 10 uur:

g_\text{dag} = 1{,}035^{2{,}4} \approx 1{,}086

De toename is 8,6% per dag.

e Van t = 4 naar t = 6,5 is 2,5 uur:

g = \left(\frac{6000}{5000}\right)^{\frac{1}{2{,}5}} = 1{,}0756\ldots \qquad b = \frac{5000}{1{,}0756\ldots^4} \approx 3700

Dus N = 3700 · 1,076ᵗ.

f Als t toeneemt, dan neemt 1,06ᵗ toe, dus neemt 3 · 1,06ᵗ toe, dus neemt 3 · 1,06ᵗ − 2 toe, dus neemt 512(3 · 1,06ᵗ − 2) toe. De grafiek van N is stijgend.

Gemengd 2

a Op t = 0 is N = 145. Van 1990 tot 2017 is 27 jaar:

g = \left(\frac{125}{145}\right)^{\frac{1}{27}} \approx 0{,}9945

Dat geeft N = 145 · 0,9945ᵗ, dus de formule is bij benadering juist.

b 2013 is t = 23. Het totale verbruik was toen 145 · 0,9945²³ = 127,7... liter per persoon per dag. Lees in het diagram af dat douchen 43% daarvan is: 0,43 · 127,7... = 54,9... liter.

Van 2000 (t = 10, 45,9 liter) tot 2013 (t = 23) is 13 jaar:

a = \frac{54{,}9\ldots - 45{,}9}{13} = 0{,}694\ldots

Vul t = 10 en D = 45,9 in: 6,94... + b = 45,9, dus b ≈ 39,0.

Dus D = 0,7t + 39,0, met t in jaren.

c Douchen is minstens de helft van het totale verbruik als D ≥ 0,5 · N.

0{,}7t + 39{,}0 = 0{,}5 \cdot 145 \cdot 0{,}9945^t

De optie oplossen geeft x = 31,39... Vanaf t = 32 is het voor het eerst minstens de helft, dus in 2022. Het omslagpunt ligt in de loop van 2021.

Gemengd 3

a Lees af: bij t = 0 is P = 100 en bij t = 150 is P = 10.

g = \left(\frac{10}{100}\right)^{\frac{1}{150}} \approx 0{,}985 \qquad P = 100 \cdot 0{,}985^t

b t = 200 geeft P = 100 · 0,985²⁰⁰ ≈ 4,9. Na 200 dagen is er nog 4,9% over.

c Los op: 0,985ᵗ = 0,5. De optie oplossen geeft x = 45,86..., dus de halveringstijd is 46 dagen.

d Los op: 100 · 0,985ᵗ = 1. De optie oplossen geeft x = 304,7... dagen. Een maand is ongeveer 30,4 dagen, dus dat is na ongeveer 10 maanden.

Gemengd 4

a Een afname van 73% in 3 jaar geeft groeifactor 0,27 per 3 jaar:

g = 0{,}27^{\frac{1}{3}} = 0{,}646\ldots

1 januari 2025 is t = 7. Vul t = 7 en N = 100 in:

b = \frac{100}{0{,}646\ldots^7} \approx 2120 \qquad N = 2120 \cdot 0{,}646^t

b 1 juli 2022 is t = 4,5:

N = 2120 \cdot 0{,}646^{4{,}5} = 296{,}7\ldots

Dat zijn ongeveer 300 vissen.

c Los op: 0,646ᵗ = 0,5. De optie oplossen geeft x = 1,586...

Dat is 1 jaar en 0,586... · 12 ≈ 7 maanden, oftewel 19 maanden.

d Los op: 2120 · 0,646ᵗ = 500. De optie oplossen geeft x = 3,305...

Dat is 3 jaar en 0,305... · 12 ≈ 3,7 maanden na 1 januari 2018. Het gebeurt in de vierde maand van 2021: april 2021.

Gemengd 5

De formule is B = 69 − 69 · 0,99936ᵗ.

a Als t heel groot wordt, nadert 0,99936ᵗ tot 0. Dan wordt 69 · 0,99936ᵗ ≈ 0 en B ≈ 69. De grenswaarde is 69.

B is de procentuele afname van de botdichtheid. Die blijft onder 69%, dus de astronauten houden altijd minstens 100 − 69 = 31% van hun botdichtheid.

b Bereken eerst B en daarna T.

t = 500 geeft B = 18,9... en T = −0,07 · 18,9... − 0,15 ≈ −1,47. Dat is boven −2, dus acceptabel.
t = 1000 geeft B = 32,6... en T = −0,07 · 32,6... − 0,15 ≈ −2,43. Dat is onder −2, dus niet acceptabel.

c De grens is T = −2. Los op: −0,07B − 0,15 = −2. Dat geeft B = 26,428...

Los daarna op: 69 − 69 · 0,99936ᵗ = 26,428... De optie oplossen geeft x = 754,3...

Een astronaut mag maximaal 754 dagen in de ruimte zijn.

d B blijft onder de grenswaarde 69. De laagste T-score hoort dus bij B = 69:

T = -0{,}07 \cdot 69 - 0{,}15 = -4{,}98

De T-score komt nooit onder −4,98, dus Shadan heeft gelijk.

Gemengd 6

a Japan neemt af met een constante snelheid, dus lineair. 1 januari 2020 is t = 2 en 1 januari 2024 is t = 6:

a = \frac{123{,}32 - 125{,}40}{6 - 2} = -0{,}52

Vul t = 2 en N = 125,40 in: −1,04 + b = 125,40, dus b = 126,44. Dus:

N_\text{J} = -0{,}52t + 126{,}44

Ethiopië groeit met een vast percentage, dus exponentieel. Over 6 jaar is de groeifactor 1,172, en op t = 6 is N = 132,05:

g = 1{,}172^{\frac{1}{6}} \approx 1{,}027 \qquad b = \frac{132{,}05}{1{,}172} \approx 112{,}67

Dus:

N_\text{E} = 112{,}67 \cdot 1{,}027^t

b Los op: −0,52t + 126,44 = 112,67 · 1,027ᵗ. De optie oplossen geeft x = 3,745...

Dat is 3 jaar en 0,745... · 12 ≈ 8,9 maanden na 1 januari 2018. Het gebeurt in de negende maand van 2021: september 2021.

c Los op: −0,52t + 126,44 = 121,76. Dat geeft t = 9.

Op t = 9 geeft de formule voor Ethiopië 112,67 · 1,027⁹ ≈ 143,2. Ethiopië heeft dan 143,2 miljoen inwoners.

Gemengd 7

a Bij exponentiële groei zijn de quotiënten van opeenvolgende dagen ongeveer gelijk.

België: 88 / 75 ≈ 1,2 en 122 / 88 ≈ 1,4. Niet gelijk.
Ecuador: 18 / 14 ≈ 1,3 en 27 / 18 = 1,5. Niet gelijk.
Italië: 6077 / 5476, 6820 / 6077, 7503 / 6820, 8215 / 7503, 9134 / 8215 en 10 023 / 9134 zijn allemaal ongeveer 1,1.

Er is dus sprake van exponentiële groei in Italië.

b Van 5476 naar 10 023 duurt 6 dagen:

g_\text{dag} = \left(\frac{10\,023}{5476}\right)^{\frac{1}{6}} = 1{,}106\ldots

Los op: 10 023 · 1,106...ᵗ = 1 000 000, met t het aantal dagen na 28 maart. De optie oplossen geeft x = 45,68...

Na 46 dagen zou het aantal boven een miljoen uitkomen.

Gemengd 8

De formule is N = 65 000 / (1 + 2,5 · 0,92ᵗ).

a Vul t = 0, t = 10 en t = 20 in: N(0) ≈ 18 571, N(10) ≈ 31 161 en N(20) ≈ 44 166.

Van 1960 tot 1970 is het aantal toegenomen met 31 161 − 18 571 = 12 590.
Van 1970 tot 1980 is het aantal toegenomen met 44 166 − 31 161 = 13 005.

b Als t toeneemt, dan neemt 0,92ᵗ af, dus neemt 2,5 · 0,92ᵗ af, dus neemt 1 + 2,5 · 0,92ᵗ af. De noemer wordt kleiner, dus neemt N toe. De grafiek van N is stijgend.

c Als t heel groot wordt, nadert 0,92ᵗ tot 0. Dan wordt 1 + 2,5 · 0,92ᵗ ≈ 1 en N ≈ 65 000. De grenswaarde is 65 000.

d 1 januari 2020 is t = 60, en N(60) ≈ 63 926. Dat ligt al vlak bij de grenswaarde 65 000. Het aantal inwoners zal dus niet meer flink toenemen.

e Los op: 65 000 / (1 + 2,5 · 0,92ᵗ) = 50 000. De optie oplossen geeft x = 25,42...

Dat is 25 jaar en 0,42... · 12 ≈ 5,1 maanden na 1 januari 1960. Het gebeurt in de zesde maand van 1985: juni 1985.

Gemengd 9

a De dikte neemt telkens met 1 cm toe. Bereken de groeifactoren per cm:

\frac{38{,}1}{56{,}1} = 0{,}6791\ldots \quad \frac{25{,}9}{38{,}1} = 0{,}6797\ldots \quad \frac{17{,}6}{25{,}9} = 0{,}6795\ldots \quad \frac{12{,}0}{17{,}6} = 0{,}6818\ldots \quad \frac{8{,}2}{12{,}0} = 0{,}6833\ldots

Die zijn ongeveer gelijk, dus de tabel past bij een exponentieel verband.

b 3,8 cm ligt tussen 3,5 en 4,5 cm. Neem 25,9 (bij 3,5 cm) als startwaarde en 17,6 / 25,9 = 0,6795... als groeifactor per cm. Je gaat 0,3 cm verder:

25{,}9 \cdot 0{,}6795\ldots^{0{,}3} \approx 23{,}1

Er dringt 23,1% van het geluid door.

c 15% ligt tussen 17,6% (4,5 cm) en 12,0% (5,5 cm). Neem 17,6 als startwaarde en 12,0 / 17,6 = 0,6818... als groeifactor per cm.

Los op: 17,6 · 0,6818...ˣ = 15. De optie oplossen geeft x = 0,417...

De plaat is 4,5 + 0,417... ≈ 4,9 cm dik, oftewel 49 mm.

Gemengd 10

a Vul s = 0,25 in en haal de t uit de exponent:

N = b \cdot 0{,}992^{0{,}25t} = b \cdot \left(0{,}992^{0{,}25}\right)^t \approx b \cdot 0{,}998^t

b Los op: 0,998ᵗ = 0,5. De optie oplossen geeft x = 346,2... uur. Dat is 346,2... / 24 = 14,4... dagen, dus ruim 14 dagen.

c Bij s = 0,06 los je op:

0{,}992^{0{,}06t} = 0{,}5

De optie oplossen geeft x = 1438,2... uur, en 1438,2... / 24 ≈ 60 dagen.

d Los op:

0{,}8 \cdot 0{,}992^{0{,}06t} = 0{,}2

De optie oplossen geeft x = 2876,5... uur, en 2876,5... / 24 ≈ 120 dagen.

Dat is precies twee halveringstijden: 0,8 → 0,4 → 0,2.

e Bij doorstroom is na 1 uur 70% verdwenen en 30% over. Een gemiddelde plant moet dus ook tot 30% terugbrengen. Los op:

0{,}992^{0{,}06t} = 0{,}3

De optie oplossen geeft x ≈ 2498 uur.

De plant doet er ongeveer 2500 keer zo lang over.

f Planten zijn niet effectief om de lucht in binnenruimtes te zuiveren. Gewoon ventileren werkt duizenden keren sneller.

Gemengd 11

Lees op de rechte lijn af: bij t = 0 is B = 10³ en bij t = 9 is B = 10⁶.

g = \left(\frac{10^6}{10^3}\right)^{\frac{1}{9}} \approx 2{,}154 \qquad B = 1000 \cdot 2{,}154^t

50 miljoen is 50 · 10⁶. Los op: 1000 · 2,154ᵗ = 50 · 10⁶. De optie oplossen geeft x = 14,10...

Na 14,1 dagen kan de kip niet meer veilig gegeten worden.

Gemengde opgaven nagekeken?