Leeromgeving›Wiskunde›5 havo wiskunde A›H9 Exponentiële verbanden›9.1a

Hoofdstuk 9 · Les 1 van 8

Exponentiële groei: steeds met hetzelfde getal vermenigvuldigen

Bij exponentiële groei komt er niet elke keer hetzelfde aantal bij, maar hetzelfde percentage. De hoeveelheid wordt dan per tijdseenheid steeds met hetzelfde getal vermenigvuldigd: de groeifactor. Daar hoort een formule van de vorm $N = b \cdot g^t$ bij.

15 min

Na deze les kun je

een groeipercentage omzetten in een groeifactor en omgekeerd
bij een beginwaarde en een groeifactor de formule $N = b \cdot g^t$ opstellen
met de formule een hoeveelheid berekenen en met de GR een tijdstip berekenen

Dit weet je al

Rekenen met procenten, en een vergelijking oplossen met de GR (de opties snijpunt en oplossen).

Van groeipercentage naar groeifactor

Neemt een hoeveelheid met 9% toe, dan heb je daarna $100\% + 9\% = 109\%$ van wat je had. Je vermenigvuldigt dus met $1{,}09$ . Neemt een hoeveelheid met 3% af, dan houd je $100\% - 3\% = 97\%$ over en vermenigvuldig je met $0{,}97$ . Dat getal heet de groeifactor.

\displaystyle g = 1 + \frac{p}{100} \quad\text{(toename)} \qquad g = 1 - \frac{p}{100} \quad\text{(afname)}

g

: groeifactor per tijdseenheid,

p

: groeipercentage per tijdseenheid.

Omgekeerd: bij een groeifactor van $1{,}235$ hoort $123{,}5\% - 100\% = 23{,}5\%$ toename, en bij $0{,}88$ hoort $100\% - 88\% = 12\%$ afname.

!Groeifactor of percentage?

Een afname van 3% is groeifactor $0{,}97$ , niet $0{,}03$ . Met $0{,}03$ houd je maar 3% over, en dat is een afname van 97%.

De formule voor exponentiële groei

Begin je met hoeveelheid $b$ en vermenigvuldig je elke tijdseenheid met $g$ , dan heb je na 1 tijdseenheid $b \cdot g$ , na 2 tijdseenheden $b \cdot g \cdot g = b \cdot g^2$ , en zo verder.

\displaystyle N = b \cdot g^t

N

: hoeveelheid,

b

: beginwaarde (de hoeveelheid op

t = 0

g

: groeifactor per tijdseenheid,

t

: tijd.

Blauw: <span class= — Blauw: $N = 20 \cdot 1{,}2^t$ , met $g > 1$ , toenemend stijgend. Oranje: $N = 20 \cdot 0{,}8^t$ , met $g$ tussen 0 en 1, afnemend dalend. Beide grafieken beginnen bij de beginwaarde 20.

≈Wat de groeifactor je vertelt

Is $g > 1$ , dan is de grafiek toenemend stijgend: hoe groter de hoeveelheid, hoe meer er per tijdseenheid bijkomt. Ligt $g$ tussen 0 en 1, dan is de grafiek afnemend dalend: de hoeveelheid komt steeds dichter bij 0, maar wordt nooit 0. Een negatieve groeifactor bestaat niet.

✎Voorbeeld: kroos in een vijver

In een vijver is 40 m² bedekt met kroos. Elke dag komt er 9% bij. Neem $t$ in dagen.

Een toename van 9% geeft $g = 1{,}09$ , dus $A = 40 \cdot 1{,}09^t$ .
Na 14 dagen: $A = 40 \cdot 1{,}09^{14} \approx 133{,}7$ , dus ongeveer 134 m².
Wanneer is meer dan 200 m² bedekt? Los op: $40 \cdot 1{,}09^t = 200$ . Voer in $y_1 = 40 \cdot 1{,}09^x$ en $y_2 = 200$ . De optie snijpunt geeft $x = 18{,}67...$
Op dag 18 is het nog net minder dan 200 m², op dag 19 voor het eerst meer.

!Afronden bij een tijdstip

Lees goed wat er gevraagd wordt. "Na hoeveel dagen" met één decimaal geeft hier 18,7. "Op welke dag voor het eerst" vraagt om een hele dag, en dan rond je naar boven af: dag 19. Bij een jaartal tel je de hele jaren op bij het startjaar.

Even controleren

Snap je het?

Een hoeveelheid neemt elke maand met 4,5% af. Wat is de groeifactor per maand?

Een museum heeft 1200 bezoekers per week. Elke week komen er 3% minder. Hoeveel bezoekers zijn er na 10 weken?

Bij welk groeipercentage hoort de groeifactor 2,4?

↗Hoe hangt dit samen?

In de volgende les gebruik je de formule om uit te rekenen hoe lang het duurt voordat een hoeveelheid verdubbeld of gehalveerd is.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

$100\% + p\% = \left(100 + p\right)\%$	bij een toename van $p\%$ heb je daarna $(100 + p)\%$ van de hoeveelheid
$\left(100 + p\right)\% = \frac{100 + p}{100} = 1 + \frac{p}{100}$	een percentage is een aantal honderdsten
$g = 1 + \frac{p}{100}$	dat is het getal waarmee je vermenigvuldigt; bij een afname wordt het $1 - \frac{p}{100}$

$t = 0: \; N = b$	de beginwaarde
$t = 1: \; N = b \cdot g$	één keer vermenigvuldigen met de groeifactor
$t = 2: \; N = b \cdot g \cdot g = b \cdot g^2$	nog een keer vermenigvuldigen
$N = b \cdot g^t$	na $t$ tijdseenheden heb je $t$ keer met $g$ vermenigvuldigd

Grootheid	Symbool	Eenheid
hoeveelheid	$N$	hangt af van de situatie (aantal, m², euro, ...)
beginwaarde (hoeveelheid op $t = 0$ )	$b$	dezelfde eenheid als $N$
groeifactor per tijdseenheid	$g$	geen eenheid
groeipercentage	$p$	procent (%)
tijd	$t$	jaar, maand, dag, uur, ...
verdubbelingstijd of halveringstijd	de oplossing $t$ van $g^t = 2$ of $g^t = 0{,}5$	dezelfde eenheid als $t$
toename per tijdseenheid (lineair)	$a$	eenheid van $N$ per tijdseenheid

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle g = 1 + \frac{p}{100} \quad\text{(toename)} \qquad g = 1 - \frac{p}{100} \quad\text{(afname)}$	groeifactor bij een groeipercentage	Zelf afleiden	9.1a
$\displaystyle N = b \cdot g^t$	exponentiële groei	Zelf afleiden	9.1a
$\displaystyle g^t = 2 \qquad\qquad g^t = 0{,}5$	verdubbelingstijd en halveringstijd	Zelf afleiden	9.1b
$\displaystyle g_n = g^n$	groeifactor per n tijdseenheden	Zelf afleiden	9.2a
$\displaystyle g = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^{\frac{1}{t_2 - t_1}}$	groeifactor uit twee meetpunten	Zelf afleiden	9.2b
$\displaystyle N = at + b \qquad a = \frac{\Delta N}{\Delta t}$	lineaire formule	Zelf afleiden	9.3a
$\displaystyle \frac{1}{a^p} = a^{-p}$	negatieve exponent	Zelf afleiden	9.4a
$\displaystyle a^{pq} = \left(a^p\right)^q$	macht van een macht	Zelf afleiden	9.4a
$\displaystyle a^{p+q} = a^p \cdot a^q$	som in de exponent	Zelf afleiden	9.4a