Leeromgeving›Wiskunde›5 havo wiskunde A›H11 Formules en variabelen›11.2b

Hoofdstuk 11 · Les 4 van 7

Vrijmaken met breuken en wortels

Een variabele vrijmaken betekent: de formule zo herleiden dat die variabele alleen links van het isgelijkteken staat. Je doet aan beide kanten hetzelfde (de balansmethode). Bij breuken en wortels heb je twee extra hulpmiddelen.

20 min

Na deze les kun je

vrijmaken met kruiselings vermenigvuldigen
vrijmaken met de wisseleigenschap
een variabele onder een wortel vrijmaken door te kwadrateren
een formule herleiden tot een gevraagde vorm, zoals $y = ax + b$

Dit weet je al

De balansmethode: links en rechts hetzelfde optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen (niet door 0). Rekenregels voor wortels (les 11.2a).

Formules met breuken

\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \;\Rightarrow\; A \cdot D = B \cdot C

B

D

: niet gelijk aan 0.

\displaystyle P = \frac{Q}{R} \;\Rightarrow\; R = \frac{Q}{P}

P

R

: niet gelijk aan 0. De noemer en het linkerlid mogen van plaats wisselen.

Staat er geen breuk aan één kant, schrijf er dan zelf een van door "gedeeld door 1" toe te voegen: $5 = \frac{5}{1}$ .

✎Voorbeeld: kruiselings en wisselen

a. Maak $x$ vrij bij $\frac{3x}{y + 2} = \frac{6}{5}$ . Kruiselings: $15x = 6(y + 2) = 6y + 12$ , dus $x = 0{,}4y + 0{,}8$ .

b. Maak $t$ vrij bij $R = \frac{12}{t + 3}$ . Wisselen: $t + 3 = \frac{12}{R}$ , dus $t = \frac{12}{R} - 3$ .

Formules met wortels

Bij $\sqrt{a} = b$ werk je de wortel weg door links en rechts te kwadrateren: $a = b^2$ . Dat mag pas als de wortel apart staat.

\displaystyle \sqrt{a} = b \;\Rightarrow\; a = b^2

b

: niet negatief (een wortel is nooit negatief).

✎Voorbeeld: k vrijmaken

Maak $k$ vrij bij $H = 3\sqrt{2k}$ .

$\sqrt{2k} = \frac{H}{3}$ (deel door 3, zodat de wortel apart staat)
$2k = \frac{H^2}{9}$ (kwadrateer, met $(\frac{H}{3})^2 = \frac{H^2}{9}$ )
$k = \frac{H^2}{18}$ (deel door 2)

✎Voorbeeld: herleiden tot een gevraagde vorm

Gegeven is $W = \frac{4p}{q - 2}$ . Neem $W = 8$ en schrijf de formule in de vorm $p = aq + b$ .

$\frac{4p}{q - 2} = \frac{8}{1}$ , dus kruiselings $4p = 8(q - 2) = 8q - 16$ , dus $p = 2q - 4$ .

!Eerst de wortel apart

Bij $5 + \sqrt{x} = 9$ mag je niet meteen kwadrateren: $(5 + \sqrt{x})^2$ is niet $25 + x$ . Trek eerst 5 af: $\sqrt{x} = 4$ , en kwadrateer dan: $x = 16$ .

≈Controleer met een getal

Na het vrijmaken kun je je antwoord controleren. Kies een getal, bijvoorbeeld $k = 8$ in $H = 3\sqrt{2k}$ : dat geeft $H = 3 \cdot 4 = 12$ . Vul $H = 12$ in je antwoord in: $k = \frac{144}{18} = 8$ . Het klopt.

Even controleren

Snap je het?

Maak $y$ vrij bij $\frac{y}{4} = \frac{x + 1}{2}$ .

Maak $n$ vrij bij $K = \frac{60}{n}$ .

Maak $L$ vrij bij $v = 2\sqrt{L} + 1$ .

↗Hoe hangt dit samen?

In paragraaf 11.3 redeneer je met formules: wat gebeurt er met de uitkomst als een variabele toeneemt of heel groot wordt? In 11.4 combineer je het herleiden en vrijmaken met machten en substitueren.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

$\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$	twee breuken zijn gelijk
$\frac{A}{B} \cdot BD = \frac{C}{D} \cdot BD$	vermenigvuldig links en rechts met $BD$
$A \cdot D = B \cdot C$	aan elke kant valt een noemer weg

$\frac{P}{1} = \frac{Q}{R}$	schrijf $P$ als breuk
$P \cdot R = Q$	kruiselings vermenigvuldigen
$R = \frac{Q}{P}$	deel links en rechts door $P$

$\sqrt{a} = b$	de wortel staat apart
$(\sqrt{a})^2 = b^2$	kwadrateer links en rechts
$a = b^2$	want $(\sqrt{a})^2 = a$

Grootheid	Symbool	Eenheid
variabelen (horizontale en verticale as)	$x$ , $y$	hangt af van de situatie
getallen in de lijn $px + qy = c$	$p$ , $q$ , $c$	geen eenheid
tijd	$t$	jaar, maand, week, dag, minuut, ...
groeifactor per tijdseenheid	$g$	geen eenheid
exponent in een macht $x^n$	$n$	geen eenheid
constanten in een formule die je moet berekenen	$a$ , $b$ , $c$	hangt af van de formule

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle x = 0 \;\Rightarrow\; y = \frac{c}{q} \qquad y = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{c}{p}$	snijpunten van px + qy = c met de assen	Zelf afleiden	11.1a
$\displaystyle \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$	wortels vermenigvuldigen	Zelf afleiden	11.2a
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$	wortels delen	Zelf afleiden	11.2a
$\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \;\Rightarrow\; A \cdot D = B \cdot C$	kruiselings vermenigvuldigen	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle P = \frac{Q}{R} \;\Rightarrow\; R = \frac{Q}{P}$	wisseleigenschap	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle \sqrt{a} = b \;\Rightarrow\; a = b^2$	wortel wegwerken	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle \text{noemer} \to \text{heel groot} \;\Rightarrow\; \frac{a}{\text{noemer}} \to 0$	een breuk met een groeiende noemer	Zelf afleiden	11.3a
$\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$	delen door een breuk	Zelf afleiden	11.4a
$\displaystyle a^p \cdot a^q = a^{p+q} \qquad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \qquad (a^p)^q = a^{pq} \qquad (ab)^p = a^p b^p \qquad a^{-p} = \frac{1}{a^p}$	rekenregels voor machten	Zelf afleiden	11.4a
$\displaystyle t = \frac{d}{7}$	van weken naar dagen	Zelf afleiden	11.4b