Staande golven met twee gelijke uiteinden

Tokkel je een gitaarsnaar, dan zie je een wazige vorm die niet opschuift. De golf lijkt stil te staan. Zo'n golf heet een staande golf.

25 min

Na deze les kun je

uitleggen wat knopen en buiken zijn
de voorwaarde ℓ = n · ½λ toepassen
de frequenties van grondtoon en boventonen berekenen

Dit weet je al

Lopende golven en v = f · λ (les 9.1a).

Hoe ontstaat een staande golf?

Een golf in een snaar kaatst terug tegen het uiteinde. De heengaande en de teruggekaatste golf lopen door elkaar heen. Bij bepaalde frequenties ontstaat een vast patroon: een staande golf.

Een knoop is een punt dat niet trilt.
Een buik is een punt dat met de grootste amplitude trilt.
De afstand tussen twee knopen (of twee buiken) is ½λ. Van een knoop naar de volgende buik is ¼λ.
Alle punten tussen twee knopen trillen tegelijk dezelfde kant op.

Zo'n frequentie waarbij een staande golf ontstaat, heet een eigenfrequentie. Er treedt dan resonantie op.

Twee vaste of twee open uiteinden

Staande golven. Links twee vaste uiteinden (knopen aan de uiteinden), midden twee open uiteinden (buiken aan de uiteinden), rechts één vast en één open uiteinde.

Een vast uiteinde (een snaar die vastzit) is altijd een knoop.
Een open uiteinde (het open eind van een buis) is altijd een buik.
Bij twee gelijke uiteinden past een geheel aantal halve golflengtes in de lengte:

\displaystyle \ell = n \cdot \tfrac{1}{2}\lambda \qquad n = 1, 2, 3, \dots

Binas

\ell

: lengte van snaar of buis (m),

\lambda

: golflengte (m),

n

: 1 voor de grondtoon, 2 voor de eerste boventoon, enzovoort. Binas 35B.

$n = 1$ : de grondtoon (laagste frequentie $f_0$ ).
$n = 2, 3, \dots$ : de boventonen, met $f = 2f_0, 3f_0, \dots$
De frequenties verhouden zich als 1 : 2 : 3 : 4 …

Werkwijze: bepaal $n$ , bereken λ met $\ell = n \cdot \frac{1}{2}\lambda$ , bereken dan $f$ of $v$ met $v = f \cdot \lambda$ .

✎Voorbeeld 1: golfsnelheid in een gitaarsnaar

Een gitaarsnaar is 65 cm lang. De tweede boventoon heeft een frequentie van 660 Hz. Bereken de golfsnelheid in de snaar.

Tweede boventoon: $n = 3$ .

\begin{aligned} \ell &= 3 \cdot \tfrac{1}{2}\lambda \\ \lambda &= \frac{2\ell}{3} \\ &= \frac{2 \times 0{,}65}{3} \\ &= 0{,}433\ \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} v &= f \cdot \lambda \\ &= 660 \times 0{,}433 \\ &= 2{,}9 \cdot 10^2\ \text{m/s} \end{aligned}

✎Voorbeeld 2: grondtoon van dezelfde snaar

Bereken de frequentie van de grondtoon van dezelfde snaar.

De frequenties verhouden zich als 1 : 2 : 3, dus

\begin{aligned} f_0 &= \frac{660}{3} \\ &= 220\ \text{Hz} \end{aligned}

!Boventoon tellen

De eerste boventoon is $n = 2$ , niet $n = 1$ . De grondtoon is $n = 1$ .

Even controleren

Snap je het?

Hoe groot is de afstand tussen twee naast elkaar liggende knopen?

Een buis met twee open uiteinden heeft een grondtoon van 300 Hz. Welke frequentie heeft de eerste boventoon?

↗Hoe hangt dit samen?

In de volgende les heeft de buis één open en één gesloten uiteinde.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

Grootheid	Symbool	Eenheid
uitwijking	$u$	meter (m)
amplitude	$A$	meter (m)
golflengte	$\lambda$	meter (m)
trillingstijd	$T$	seconde (s)
frequentie	$f$	hertz (Hz)
golfsnelheid	$v$	meter per seconde (m/s)
lengte van snaar of buis	$\ell$	meter (m)
bandbreedte	–	hertz (Hz)