Eduqaleeromgeving
5 havoLeeromgeving Natuurkunde · 5 havo H11 Zonnestelsel en heelal
0%
Leeromgeving›Natuurkunde›5 havo›H11 Zonnestelsel en heelal›11.3a
Hoofdstuk 11 · Les 5 van 10

Planeetbanen en baansnelheid

Kepler ontdekte uit de metingen van Tycho Brahe dat verre planeten langzamer gaan en een veel langere omlooptijd hebben. Newton kon dat verklaren met de gravitatiewet.

25 min

Na deze les kun je

  • uitleggen waarom bij een cirkelbaan F_g = F_mpz geldt
  • de baansnelheid en de omlooptijd berekenen
  • de massa van de zon of een planeet berekenen

Dit weet je al

De gravitatiewet (les 11.2a); v = 2πr/T en F_mpz = m · v²/r (4 havo).

Cirkelbaan: F_g = F_mpz

Voor een cirkelbaan is een middelpuntzoekende kracht nodig. Bij een planeet levert de gravitatiekracht van de zon die kracht.

Een planeet (massa m) in een cirkelbaan om de zon (massa M). De gravitatiekracht (oranje) wijst naar het middelpunt en is de middelpuntzoekende kracht; de snelheid (blauw) staat langs de baan.
Een planeet (massa m) in een cirkelbaan om de zon (massa M). De gravitatiekracht (oranje) wijst naar het middelpunt en is de middelpuntzoekende kracht; de snelheid (blauw) staat langs de baan.
v=2πrT\displaystyle v = \frac{2\pi r}{T}Binasvv: baansnelheid (m/s), rr: baanstraal (m), TT: omlooptijd (s). Binas 35A2.
Fmpz=m⋅v2r\displaystyle F_\text{mpz} = \frac{m \cdot v^2}{r}BinasFmpzF_\text{mpz}: middelpuntzoekende kracht (N), mm: massa (kg), vv: snelheid (m/s), rr: straal (m). Binas 35A2.
v=G⋅Mr\displaystyle v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}
  • De baansnelheid hangt niet af van de massa mm van de planeet of satelliet.
  • Hoe groter rr, hoe kleiner vv en hoe groter de omlooptijd.
r3T2=G⋅M4π2\displaystyle \frac{r^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4\pi^2}Binasrr: baanstraal (m), TT: omlooptijd (s), MM: massa van het centrale hemellichaam (kg). Binas 35A5.
✎Voorbeeld 1: de massa van de zon

De aarde draait in 365,256 d om de zon, met r = 1,496 · 10¹¹ m. Bereken de massa van de zon.

  1. Omlooptijd in seconden:
T=365,256×24×3600=3,1558⋅107 s\begin{aligned} T &= 365{,}256 \times 24 \times 3600 \\ &= 3{,}1558 \cdot 10^7\ \text{s} \end{aligned}
  1. Baansnelheid:
v=2πrT=2π×1,496⋅10113,1558⋅107=2,979⋅104 m/s\begin{aligned} v &= \frac{2\pi r}{T} \\ &= \frac{2\pi \times 1{,}496 \cdot 10^{11}}{3{,}1558 \cdot 10^7} \\ &= 2{,}979 \cdot 10^4\ \text{m/s} \end{aligned}
  1. Uit v2=G⋅M/rv^2 = G \cdot M/r volgt:
M=v2⋅rG=(2,979⋅104)2×1,496⋅10116,674⋅10−11=1,989⋅1030 kg\begin{aligned} M &= \frac{v^2 \cdot r}{G} \\ &= \frac{(2{,}979 \cdot 10^4)^2 \times 1{,}496 \cdot 10^{11}}{6{,}674 \cdot 10^{-11}} \\ &= 1{,}989 \cdot 10^{30}\ \text{kg} \end{aligned}
  1. Binas 32C geeft 1,9884 · 10³⁰ kg: dat klopt.
✎Voorbeeld 2: Kepler controleren

Bereken met de derde wet van Kepler de omlooptijd van de aarde. M_zon = 1,9884 · 10³⁰ kg.

  1. Maak TT vrij:
T2=4π2⋅r3G⋅MT=2πr3G⋅M\begin{aligned} T^2 &= \frac{4\pi^2 \cdot r^3}{G \cdot M} \\ T &= 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot M}} \end{aligned}
  1. Bereken het product G · M:
G⋅M=6,674⋅10−11×1,9884⋅1030=1,3271⋅1020 m3/s2\begin{aligned} G \cdot M &= 6{,}674 \cdot 10^{-11} \times 1{,}9884 \cdot 10^{30} \\ &= 1{,}3271 \cdot 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2 \end{aligned}
  1. Vul in:
T=2π(1,496⋅1011)31,3271⋅1020=3,156⋅107 s=1,000 jaar\begin{aligned} T &= 2\pi \sqrt{\frac{(1{,}496 \cdot 10^{11})^3}{1{,}3271 \cdot 10^{20}}} \\ &= 3{,}156 \cdot 10^7\ \text{s} \\ &= 1{,}000\ \text{jaar} \end{aligned}
!M of m

In v=G⋅M/rv = \sqrt{G \cdot M/r} staat de massa van het hemellichaam in het midden (de zon, of de planeet waar een maan om draait), niet die van wat er rondcirkelt.

Even controleren

Snap je het?

Saturnus staat ongeveer 9 keer zo ver van de zon als de aarde. Hoeveel keer zo klein is zijn baansnelheid?

Twee satellieten met verschillende massa draaien in dezelfde cirkelbaan. Welke gaat sneller?

↗Hoe hangt dit samen?

In de volgende les pas je dit toe op satellieten rond de aarde.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.