Leeromgeving›Natuurkunde›5 havo›H11 Zonnestelsel en heelal

Hoofdstuk 11 · 47 opdrachten uitgewerkt

Zonnestelsel en heelal

Bouw van het zonnestelsel, seizoenen en maanfasen, de gravitatiewet, valversnelling, cirkelbanen van planeten en satellieten, telescopen, de wet van Wien, afstanden in het heelal en het uitdijend heelal.

Klik een paragraaf open, en daarna de opdracht die je wilt nakijken.

11 opdrachten

Zo pak je het aan

Gegevens opzoeken: planeten en manen staan in Binas 31, de zon in Binas 32C. Let op het verschil tussen de baanstraal r (afstand tot de zon) en de straal R van het hemellichaam zelf.

Cirkelbeweging: v = 2πr/T en F_mpz = m · v²/r (Binas 35A2). Reken T eerst om naar seconden; 1 jaar = 3,156·10⁷ s.

Maanfasen en schijngestalten: de zon verlicht altijd de helft. Wat je ziet, hangt af van de stand van zon, hemellichaam en aarde.

Opdracht 1

De zon staat in het midden. Daaromheen draaien in bijna cirkelvormige banen de vier rotsplaneten: Mercurius, Venus, aarde en Mars. Mercurius en Venus hebben geen maan, de aarde heeft één maan en Mars twee kleine manen (Phobos en Deimos). Verder naar buiten liggen de planetoïdengordel en de vier gasplaneten.

De vier binnenste planeten met hun banen om de zon en hun manen (niet op schaal).

Opdracht 2

a Mercurius, Venus, aarde, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus en Neptunus.

b Op grond van toenemende afstand tot de zon (de baanstraal neemt van boven naar beneden toe; de straal niet).

c De beginletters van de woorden zijn de beginletters van de planeten in volgorde vanaf de zon: Maak (Mercurius) van (Venus) acht (aarde) meter (Mars) Japanse (Jupiter) stof (Saturnus) uw (Uranus) nachtjapon (Neptunus).

Opdracht 3

a Mercurius, Venus, aarde en Mars.

b Jupiter, Saturnus, Uranus en Neptunus.

c Mercurius en Venus.

d Bijvoorbeeld Ceres, Pluto en Eris (ook Haumea en Makemake).

Opdracht 4

a waar

b onwaar: sterren staan ver buiten het zonnestelsel (alleen de zon hoort erbij).

c onwaar: planeten weerkaatsen zonlicht.

d waar: de Poolster ligt in het verlengde van de aardas.

e onwaar: in de Nederlandse zomer staat de aarde juist iets verder van de zon (aphelium begin juli, Binas 32C).

f waar: het is een meteoor, een stofdeeltje dat in de dampkring verdampt.

g onwaar: een meteoor die niet helemaal verdampt, bereikt de aarde als meteoriet.

Opdracht 5

a In december helt het noordelijk halfrond van de zon af. Nederland ligt dan een groter deel van de dag in het schaduwgebied (ongeveer 16 uur), dus de dagen zijn korter.

In de zomer staat de zon hoger: het zonlicht valt steiler in en verdeelt zich over een kleiner oppervlak, dus meer energie per m².
In de zomer zijn de dagen langer: de zon schijnt meer uren per dag.

c Kaapstad ligt op het zuidelijk halfrond. Dat helt in juni van de zon af: dan zijn de dagen daar het kortst.

d In juni helt het noordelijk halfrond naar de zon toe. Kiruna ligt zo ver noordelijk dat het bij de draaiing van de aarde de hele dag aan de verlichte kant blijft: de zon gaat niet onder.

De aarde in juni, met het zonlicht van links. De cirkel die Kiruna in 24 uur doorloopt, ligt helemaal aan de dagkant.

Opdracht 6

a r = 0,7883·10¹² m

b R = 69,91·10⁶ m

c T = 11,86 jaar

d 0,413 dag

Opdracht 7

a Binas 31: M = 5,972·10²⁴ kg en ρ = 5513 kg/m³.

\begin{aligned} V &= \frac{m}{\rho} \\ &= \frac{5{,}972 \cdot 10^{24}}{5513} \\ &= 1{,}083 \cdot 10^{21}\ \text{m}^3 \end{aligned}

b Straal van de evenaar (voetnoot Binas 31): 6378,137 km.

\begin{aligned} V &= \tfrac{4}{3}\pi R^3 \\ &= \tfrac{4}{3}\pi \times (6{,}378 \cdot 10^{6})^3 \\ &= 1{,}087 \cdot 10^{21}\ \text{m}^3 \end{aligned}

c Het werkelijke volume (a) is kleiner dan dat van een bol met de straal van de evenaar (b). De aarde is dus in een andere richting kleiner: C, de aardas is korter dan de diameter van de evenaar.

d De voetnoot geeft: straal bij de pool 6356,752 km en bij de evenaar 6378,137 km. De straal bij de pool is kleiner, dus C klopt.

Opdracht 8

a Rotatieperiode 0,9973 d = 8,617·10⁴ s.

\begin{aligned} v &= \frac{2\pi R}{T} \\ &= \frac{2\pi \times 6{,}378 \cdot 10^{6}}{8{,}617 \cdot 10^{4}} \\ &= 465{,}1\ \text{m/s} \end{aligned}

b T = 365,256 d = 3,1558·10⁷ s.

\begin{aligned} v &= \frac{2\pi r}{T} \\ &= \frac{2\pi \times 1{,}496 \cdot 10^{11}}{3{,}1558 \cdot 10^{7}} \\ &= 2{,}979 \cdot 10^{4}\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{mpz} &= \frac{m \cdot v^2}{r} \\ &= \frac{5{,}972 \cdot 10^{24} \times (2{,}979 \cdot 10^{4})^2}{1{,}496 \cdot 10^{11}} \\ &= 3{,}542 \cdot 10^{22}\ \text{N} \end{aligned}

d De gravitatiekracht van de zon op de aarde.

Opdracht 9

Niet verlicht: in V₄. Venus staat dan tussen zon en aarde; de verlichte kant is van de aarde af gekeerd.
Vol verlicht: in V₁. Venus staat achter de zon; je kijkt tegen de verlichte kant aan.
Precies half verlicht: in V₃. De lijn aarde–Venus raakt daar de baan van Venus: de hoek zon–Venus–aarde is 90°.

b Venus is voller naarmate ze verder aan de andere kant van de zon staat. Dan is ze ook verder van de aarde, en lijkt ze kleiner.

c Bij 'vol' staat Venus precies achter de zon (V₁). Als de banen in hetzelfde vlak lagen, zou de zon Venus dan bedekken. Je kunt Venus vol zien omdat ze net boven of onder de zon langs gaat: het baanvlak van Venus staat iets schuin op dat van de aarde (helling 3,4°, Binas 31).

d Binas 31: 0,1082·10¹² m tegen 0,1496·10¹² m, verhouding 0,72. In de figuur: straal baan Venus 62 en baan aarde 107 (zelfde eenheid), verhouding 0,58. De banen zijn niet in de juiste verhouding getekend.

Opdracht 10

a In 24 uur draait de aarde één keer rond. Elke ster beschrijft dan een volledige cirkel rond de Poolster.

b Overdag schijnt de zon: de hemel is dan zo licht dat je geen sterren ziet (de foto wordt overbelicht). Een volledige nacht duurt bovendien korter dan 24 uur.

c De sporen beslaan een hoek van ongeveer 15°.

\begin{aligned} t &= \frac{15}{360} \times 24 \\ &= 1{,}0\ \text{uur} \end{aligned}

Opdracht 11

a In het gebied van de kernschaduw.

b In de bijschaduw is de zon gedeeltelijk verduisterd: je ziet een stuk van de zon.

c De schijnbare grootte hangt af van straal gedeeld door afstand. Binas 31 en 32C: R_maan = 1,738·10⁶ m, r_maan = 384,4·10⁶ m, R_zon = 6,963·10⁸ m, r_zon = 1,496·10¹¹ m.

\begin{aligned} \frac{R_\text{maan}}{r_\text{maan}} &= \frac{1{,}738 \cdot 10^{6}}{384{,}4 \cdot 10^{6}} \\ &= 4{,}52 \cdot 10^{-3} \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{R_\text{zon}}{r_\text{zon}} &= \frac{6{,}963 \cdot 10^{8}}{1{,}496 \cdot 10^{11}} \\ &= 4{,}65 \cdot 10^{-3} \end{aligned}

Die verhoudingen zijn bijna gelijk: zon en maan lijken even groot.

d De maan lijkt dan iets kleiner dan de zon. Je ziet een donkere maan met daaromheen een ring van zonlicht (een ringvormige verduistering).

e Bij een maansverduistering staat de aarde tussen de zon en de maan, op één lijn. De maan komt dan in de schaduw van de aarde. Dat kan alleen bij volle maan.

11.1 Bouw van ons zonnestelsel nagekeken?

7 opdrachten

Zo pak je het aan

Gravitatiewet: F_g = G · m · M / r² (Binas 35A5), met r de afstand tussen de middelpunten. G = 6,674·10⁻¹¹ N m² kg⁻² (Binas 7A).

Valversnelling: uit m · g = G · m · M / R² volgt g = G · M / R². Op hoogte h gebruik je R + h.

Omgekeerd kwadratisch: twee keer zo ver weg geeft een vier keer zo kleine kracht.

Opdracht 12

a F_g = G · m · M / r² (Binas 35A5).

\begin{aligned} [G] \cdot \frac{[m][M]}{[r]^2} &= \frac{\text{N m}^2}{\text{kg}^2} \cdot \frac{\text{kg} \cdot \text{kg}}{\text{m}^2} \\ &= \text{N} \end{aligned}

c , d en e Zie de figuur. De kracht op de maan wijst van het middelpunt van de maan naar het middelpunt van de aarde, 2,0 cm lang. De kracht op de aarde is even groot (2,0 cm) en wijst naar de maan (derde wet van Newton). r loopt tussen de twee middelpunten.

De gravitatiekrachten tussen aarde en maan: even groot en tegengesteld gericht. De afstand r loopt tussen de middelpunten.

f In Binas 31 staat bij de maan de baanstraal 384,4·10⁶ m. Dat is de straal van de baan van de maan om de aarde: de afstand tussen de middelpunten van aarde en maan.

Opdracht 13

a Schat m = 70 kg voor allebei en een afstand tussen de navels van 0,80 m.

\begin{aligned} F_\text{g} &= G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} \\ &= 6{,}674 \cdot 10^{-11} \times \frac{70 \times 70}{0{,}80^2} \\ &= 5{,}1 \cdot 10^{-7}\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{z} &= m \cdot g \\ &= 0{,}5 \cdot 10^{-6} \times 9{,}81 \\ &= 4{,}9 \cdot 10^{-6}\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{4{,}9 \cdot 10^{-6}}{5{,}1 \cdot 10^{-7}} &= 9{,}6 \end{aligned}

De zwaartekracht op één suikerkorreltje is bijna 10 keer zo groot. Van de gravitatiekracht tussen twee mensen merk je dus niets.

Opdracht 14

a Binas 31: g_maan = 1,62 m/s² en R_maan = 1,738·10⁶ m.

\begin{aligned} M &= \frac{g \cdot R^2}{G} \\ &= \frac{1{,}62 \times (1{,}738 \cdot 10^{6})^2}{6{,}674 \cdot 10^{-11}} \\ &= 7{,}33 \cdot 10^{22}\ \text{kg} \end{aligned}

c Binas 31: 0,0735·10²⁴ kg = 7,35·10²² kg. Dat klopt.

Opdracht 15

a Zie les 11.2b. Op het oppervlak is de zwaartekracht gelijk aan de gravitatiekracht:

\begin{aligned} F_\text{z} &= F_\text{g} \\ m \cdot g &= G \cdot \frac{m \cdot M}{R^2} \\ g &= G \cdot \frac{M}{R^2} \end{aligned}

b r_pool = 6356,752 km en r_evenaar = 6378,137 km.

c Op de polen ben je dichter bij het middelpunt van de aarde. De gravitatiekracht is omgekeerd evenredig met r², dus de zwaartekracht op 1 kg is op de polen groter.

d Eerst G · M:

\begin{aligned} G \cdot M &= 6{,}674 \cdot 10^{-11} \times 5{,}972 \cdot 10^{24} \\ &= 3{,}9857 \cdot 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2 \end{aligned}

\begin{aligned} g_\text{evenaar} &= \frac{3{,}9857 \cdot 10^{14}}{(6{,}378137 \cdot 10^{6})^2} \\ &= 9{,}798\ \text{m/s}^2 \end{aligned}

e Binas 30B: g op de evenaar is 9,780 m/s².

\begin{aligned} \frac{9{,}798 - 9{,}780}{9{,}780} \times 100\ \% &= 0{,}18\ \% \end{aligned}

\begin{aligned} g_\text{pool} &= \frac{3{,}9857 \cdot 10^{14}}{(6{,}356752 \cdot 10^{6})^2} \\ &= 9{,}864\ \text{m/s}^2 \end{aligned}

Binas 30B: 9,832 m/s².

\begin{aligned} \frac{9{,}864 - 9{,}832}{9{,}832} \times 100\ \% &= 0{,}32\ \% \end{aligned}

g Quito ligt hoog in de bergen (2815 m, Binas 30B). De afstand tot het middelpunt van de aarde is groter, dus g is kleiner.

\begin{aligned} R + h &= 6{,}378137 \cdot 10^{6} + 2815 \\ &= 6{,}380952 \cdot 10^{6}\ \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} g &= \frac{3{,}9857 \cdot 10^{14}}{(6{,}380952 \cdot 10^{6})^2} \\ &= 9{,}789\ \text{m/s}^2 \end{aligned}

Opdracht 16

a Dichter bij de maan. De maan heeft een veel kleinere massa. Om dezelfde kracht te geven als de aarde, moet je dichter bij de maan zijn.

\begin{aligned} \frac{M_\text{aarde}}{M_\text{maan}} &= \frac{5{,}972 \cdot 10^{24}}{0{,}0735 \cdot 10^{24}} \\ &= 81{,}3 \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{r_\text{aarde}}{r_\text{maan}} &= \sqrt{81{,}3} \\ &= 9{,}01 \end{aligned}

d P ligt 9 keer zo ver van de aarde als van de maan, dus dichter bij de maan. Het antwoord op a klopt.

Opdracht 17

a De gravitatiekracht is omgekeerd evenredig met r². Het water in X is dichter bij de maan dan het water in Y. Op 1 kg water in X werkt dus een grotere kracht.

\begin{aligned} x &= 384{,}4 \cdot 10^{6} - 6{,}371 \cdot 10^{6} \\ &= 378{,}0 \cdot 10^{6}\ \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} y &= 384{,}4 \cdot 10^{6} + 6{,}371 \cdot 10^{6} \\ &= 390{,}8 \cdot 10^{6}\ \text{m} \end{aligned}

c Eerst G · M_maan:

\begin{aligned} G \cdot M &= 6{,}674 \cdot 10^{-11} \times 7{,}35 \cdot 10^{22} \\ &= 4{,}905 \cdot 10^{12} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{X} &= \frac{4{,}905 \cdot 10^{12}}{(378{,}0 \cdot 10^{6})^2} \\ &= 3{,}433 \cdot 10^{-5}\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{Y} &= \frac{4{,}905 \cdot 10^{12}}{(390{,}8 \cdot 10^{6})^2} \\ &= 3{,}212 \cdot 10^{-5}\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{X} - F_\text{Y} &= 3{,}433 \cdot 10^{-5} - 3{,}212 \cdot 10^{-5} \\ &= 2{,}21 \cdot 10^{-6}\ \text{N} \end{aligned}

Opdracht 18

a In F_g = G · m · M / r² moet hij kennen: de massa's m en M van de bollen, de afstand r tussen de middelpunten en de gravitatiekracht F_g (via de draaihoek van de draad).

Op elke koperen bol werkt een kracht naar 'zijn' loden bol. Die twee krachten zijn even groot en tegengesteld gericht: de totale kracht op de halter is nul.
De krachten werken wel aan verschillende kanten van de draad en draaien de halter allebei dezelfde kant op. Samen geven ze een moment dat niet nul is.

Wat de draad laat torderen, is dus een moment, geen netto kracht.

c Kracht tussen één loden en één koperen bol:

\begin{aligned} F_\text{g} &= 6{,}674 \cdot 10^{-11} \times \frac{125 \times 45}{0{,}28^2} \\ &= 4{,}79 \cdot 10^{-6}\ \text{N} \end{aligned}

De arm is de helft van 112 cm: 0,56 m. Er zijn twee krachten:

\begin{aligned} M &= 2 \times F \cdot r \\ &= 2 \times 4{,}79 \cdot 10^{-6} \times 0{,}56 \\ &= 5{,}4 \cdot 10^{-6}\ \text{N m} \end{aligned}

d Neem een vinger van 8 cm.

\begin{aligned} M &= m \cdot g \cdot r \\ &= 0{,}5 \cdot 10^{-6} \times 9{,}81 \times 0{,}08 \\ &= 4 \cdot 10^{-7}\ \text{N m} \end{aligned}

Het moment op de halter is maar ruim tien keer zo groot als het moment van een suikerkorreltje op je vingertop. Cavendish moest dus heel kleine momenten meten.

11.2 Gravitatie nagekeken?

8 opdrachten

Zo pak je het aan

Cirkelbaan: de gravitatiekracht levert de middelpuntzoekende kracht, F_mpz = F_g. Daaruit volgt v = √(G · M / r); M is de massa van het hemellichaam in het midden.

Kepler: r³/T² = G · M / 4π² (Binas 35A5). Handig: bereken eerst het product G · M.

Satellieten: r = R + h. Geostationair: T = 23 h 56 min = 86 164 s.

Opdracht 19

a De planeetbanen zijn meestal te benaderen met een cirkelbaan rond de zon met de zon in het middelpunt. In dit geval is de snelheid van de planeet wel constant.

b De vereiste kracht heet de middelpuntzoekende kracht en wordt geleverd door de gravitatiekracht.

Opdracht 20

a Een satelliet die boven de evenaar mee draait met de aarde en daardoor steeds boven hetzelfde punt hangt.

b Gelijk aan de rotatieperiode van de aarde: 0,9973 d = 23 uur en 56 minuten.

c Communicatie: tv-uitzendingen, telefoon en internet (een schotel hoeft niet te draaien).

Opdracht 21

\begin{aligned} F_\text{mpz} &= F_\text{g} \\ \frac{m \cdot v^2}{r} &= G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} \\ v^2 &= G \cdot \frac{M}{r} \\ v &= \sqrt{G \cdot \frac{M}{r}} \end{aligned}

b Bij de tweede stap valt de massa m van de maan weg (links en rechts delen door m). M is de massa van de planeet: die blijft staan.

c Binas 31: M_Mars = 0,642·10²⁴ kg, r_Phobos = 9,37·10⁶ m.

\begin{aligned} v &= \sqrt{\frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \times 0{,}642 \cdot 10^{24}}{9{,}37 \cdot 10^{6}}} \\ &= 2{,}14 \cdot 10^{3}\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} T &= \frac{2\pi r}{v} \\ &= \frac{2\pi \times 9{,}37 \cdot 10^{6}}{2{,}14 \cdot 10^{3}} \\ &= 2{,}75 \cdot 10^{4}\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} T &= \frac{2{,}75 \cdot 10^{4}}{86\,400} \\ &= 0{,}319\ \text{d} \end{aligned}

e Deimos staat verder weg (23,5·10⁶ m). Dan is v kleiner, en de omtrek van de baan groter. De omlooptijd is dus groter. Binas 31: 1,262 d tegen 0,319 d.

f Hoe verder een maan zich van een planeet bevindt, hoe groter de omlooptijd is.

Opdracht 22

a Binas 31: M_maan = 0,0735·10²⁴ kg; T = 27,32 d = 2,360·10⁶ s; r = 384,4·10⁶ m.

\begin{aligned} v &= \frac{2\pi r}{T} \\ &= \frac{2\pi \times 384{,}4 \cdot 10^{6}}{2{,}360 \cdot 10^{6}} \\ &= 1{,}023 \cdot 10^{3}\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{mpz} &= \frac{m \cdot v^2}{r} \\ &= \frac{7{,}35 \cdot 10^{22} \times (1{,}023 \cdot 10^{3})^2}{384{,}4 \cdot 10^{6}} \\ &= 2{,}00 \cdot 10^{20}\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{g} &= G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} \\ &= 6{,}674 \cdot 10^{-11} \\ &\quad \times \frac{7{,}35 \cdot 10^{22} \times 5{,}972 \cdot 10^{24}}{(384{,}4 \cdot 10^{6})^2} \\ &= 1{,}98 \cdot 10^{20}\ \text{N} \end{aligned}

e De uitkomsten zijn (bijna) gelijk. Dat moet ook: de gravitatiekracht van de aarde levert de middelpuntzoekende kracht. Het kleine verschil komt door afronding en doordat de baan niet precies een cirkel is.

Opdracht 23

a De snelheid staat in P en Q langs de baan (loodrecht op de straal), in de draairichting van Q naar P. In beide punten is de pijl even lang.

b De middelpuntzoekende kracht in P wijst van de maan naar het middelpunt van de aarde.

c In Q wijst de kracht ook naar het middelpunt van de aarde en is hij even lang als in P.

d De kracht van de maan op de aarde werkt in het middelpunt van de aarde, wijst naar de maan in P en is even lang als de kracht bij b en c.

De maan in P en Q. Blauw de snelheid langs de baan (van Q naar P), oranje de middelpuntzoekende kracht (de gravitatiekracht van de aarde op de maan), bruin de kracht van de maan op de aarde als de maan in P staat.

Opdracht 24

a Binas 31: r_Uranus = 2,871·10¹² m. Eerst G · M_zon:

\begin{aligned} G \cdot M &= 6{,}674 \cdot 10^{-11} \times 1{,}9884 \cdot 10^{30} \\ &= 1{,}3271 \cdot 10^{20} \end{aligned}

\begin{aligned} T &= 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot M}} \\ &= 2\pi \sqrt{\frac{(2{,}871 \cdot 10^{12})^3}{1{,}3271 \cdot 10^{20}}} \\ &= 2{,}653 \cdot 10^{9}\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} T &= \frac{2{,}653 \cdot 10^{9}}{3{,}156 \cdot 10^{7}} \\ &= 84{,}07\ \text{jaar} \end{aligned}

Binas 31: 84,02 jaar. Dat klopt.

b T is evenredig met √(r³). Bij r vier keer zo groot:

\begin{aligned} \sqrt{4^3} &= \sqrt{64} \\ &= 8 \end{aligned}

Mars heeft een 8 keer zo grote omlooptijd. Controle met Binas 31:

\begin{aligned} \frac{687{,}0}{87{,}97} &= 7{,}8 \end{aligned}

Dat klopt: 'ongeveer vier keer' is net iets minder dan 4.

c G · M_aarde = 3,9857·10¹⁴ m³/s² en T = 86 164 s.

\begin{aligned} r^3 &= \frac{G \cdot M \cdot T^2}{4\pi^2} \\ &= \frac{3{,}9857 \cdot 10^{14} \times 86\,164^2}{4\pi^2} \\ &= 7{,}495 \cdot 10^{22}\ \text{m}^3 \end{aligned}

\begin{aligned} r &= \sqrt[3]{7{,}495 \cdot 10^{22}} \\ &= 4{,}216 \cdot 10^{7}\ \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} v &= \frac{2\pi r}{T} \\ &= \frac{2\pi \times 4{,}216 \cdot 10^{7}}{86\,164} \\ &= 3075\ \text{m/s} \end{aligned}

e Uit de derde wet van Kepler: r³ is recht evenredig met T². Een maan die verder van de planeet staat, heeft dus een grotere omlooptijd.

Opdracht 25

a R = ½ × 5150 km = 2,575·10⁶ m.

\begin{aligned} g &= G \cdot \frac{M}{R^2} \\ &= 6{,}674 \cdot 10^{-11} \times \frac{1{,}345 \cdot 10^{23}}{(2{,}575 \cdot 10^{6})^2} \\ &= 1{,}35\ \text{m/s}^2 \end{aligned}

b Constante snelheid: de kracht van de parachutes is even groot als de zwaartekracht.

\begin{aligned} F &= m \cdot g \\ &= 330 \times 1{,}35 \\ &= 446\ \text{N} \end{aligned}

c De kortste afstand tussen Saturnus (met Titan) en de aarde is (Binas 31):

\begin{aligned} s &= 1{,}427 \cdot 10^{12} - 0{,}1496 \cdot 10^{12} \\ &= 1{,}277 \cdot 10^{12}\ \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} t &= \frac{s}{c} \\ &= \frac{1{,}277 \cdot 10^{12}}{3{,}00 \cdot 10^{8}} \\ &= 4{,}26 \cdot 10^{3}\ \text{s} \end{aligned}

Dat is 71 minuten. Het signaal doet er minstens 71 minuten over.

Opdracht 26

a De kracht is het grootst in het perigeum:

\begin{aligned} r &= 6{,}371 \cdot 10^{6} + 0{,}952 \cdot 10^{6} \\ &= 7{,}323 \cdot 10^{6}\ \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{g} &= G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} \\ &= 6{,}674 \cdot 10^{-11} \times \frac{77 \times 5{,}972 \cdot 10^{24}}{(7{,}323 \cdot 10^{6})^2} \\ &= 5{,}7 \cdot 10^{2}\ \text{N} \end{aligned}

b In beide punten geldt bij benadering v = √(G · M / r). In het perigeum P is r kleiner, dus de snelheid is in P het grootst.

c Een geostationaire satelliet heeft een omlooptijd van 23 h 56 min. De Telstar doet er 2 h 37 min over: dat is geen geostationaire baan. (Ook is de baan geen cirkel en ligt hij niet hoog genoeg.)

11.3 Hemelmechanica nagekeken?

7 opdrachten

Zo pak je het aan

Atmosfeer: alleen zichtbaar licht, een deel van het infrarood en radiogolven van ongeveer 1 cm tot 10 m komen door (Binas 30E).

Wet van Wien: λ_max · T = k_W met k_W = 2,898·10⁻³ m K (Binas 35E1 en 7A). T altijd in kelvin, λ in meter.

Opdracht 27

a Een ruimtetelescoop heeft geen last van de atmosfeer: geen absorptie (zo kun je ook gamma, röntgen, uv en infrarood waarnemen), geen wolken en geen luchtonrust.

b Voordeel: een radiotelescoop werkt dag en nacht en ook bij bewolking. Nadeel: de opnames zijn minder scherp.

Opdracht 28

a Spectroscopie is het onderzoeken van licht door het te ontleden in een spectrum en te meten welke golflengtes erin voorkomen en hoe sterk.

b Laat licht door een prisma vallen. Het prisma breekt de kleuren verschillend, zodat je op een scherm het spectrum ziet.

c Elk voorwerp zendt straling uit die afhangt van de temperatuur. Hoe heter, hoe meer straling en hoe kleiner de golflengte van de piek.

d Elk gas absorbeert alleen bepaalde, kenmerkende golflengtes. Vergelijk je de donkere lijnen met de lijnen van bekende gassen, dan weet je welke gassen er in de buitenlaag van de ster zitten.

e Het 'hete heelal' zendt vooral gamma- en röntgenstraling uit. Die straling wordt door de atmosfeer volledig geabsorbeerd: je kunt haar alleen boven de atmosfeer waarnemen.

Opdracht 29

a waar

b waar: 1 m valt in het gebied van de radiogolven dat de atmosfeer doorlaat.

c onwaar: röntgenstraling wordt helemaal geabsorbeerd.

d waar: 3·10¹⁴ Hz is een golflengte van 1 μm (nabij infrarood), en die wordt grotendeels doorgelaten.

e waar: uv wordt grotendeels geabsorbeerd.

f onwaar: middengolven hebben een golflengte van enkele honderden meters. Die worden door de atmosfeer tegengehouden (gereflecteerd).

g waar:

\begin{aligned} f &= \frac{E}{h} \\ &= \frac{10^{-2} \times 1{,}602 \cdot 10^{-19}}{6{,}626 \cdot 10^{-34}} \\ &= 2{,}4 \cdot 10^{12}\ \text{Hz} \end{aligned}

\begin{aligned} \lambda &= \frac{c}{f} \\ &= \frac{3{,}00 \cdot 10^{8}}{2{,}4 \cdot 10^{12}} \\ &= 1{,}2 \cdot 10^{-4}\ \text{m} \end{aligned}

Dat is ver infrarood, en dat wordt helemaal geabsorbeerd.

Opdracht 30

\begin{aligned} T &= 470 + 273 \\ &= 743\ \text{K} \end{aligned}

\begin{aligned} \lambda_\text{max} &= \frac{k_\text{W}}{T} \\ &= \frac{2{,}898 \cdot 10^{-3}}{743} \\ &= 3{,}90 \cdot 10^{-6}\ \text{m} \end{aligned}

c Infrarood (warmtestraling).

Opdracht 31

\begin{aligned} \lambda_\text{max} &= \frac{2{,}898 \cdot 10^{-3}}{5500} \\ &= 5{,}269 \cdot 10^{-7}\ \text{m} \end{aligned}

Dat is 526,9 nm: groen (Binas 19B).

b Beide krommen hebben hun top bij dezelfde golflengte (527 nm). De kromme van A ligt overal hoger dan die van B.

De stralingskrommen van ster A en ster B: dezelfde λ_max, maar A heeft een grotere intensiteit.

Opdracht 32

\begin{aligned} T &= \frac{k_\text{W}}{\lambda_\text{max}} \\ &= \frac{2{,}898 \cdot 10^{-3}}{50 \cdot 10^{-6}} \\ &= 58\ \text{K} \end{aligned}

\begin{aligned} t &= 58 - 273 \\ &= -215\ \text{°C} \end{aligned}

b Ja. Volgens Binas 31 hebben Uranus (57 K) en Neptunus (59 K) een oppervlaktetemperatuur van ongeveer 58 K.

c Nee. Volgens Binas 32B hebben zelfs de koelste sterren nog een temperatuur van ongeveer 2,4·10³ K. 58 K is veel te koud voor een ster.

Opdracht 33

Betelgeuze is oranjerood en Bellatrix blauwwit. Een blauwe ster heeft haar maximum bij een kleinere golflengte. Volgens de wet van Wien is de temperatuur dan hoger: Bellatrix is het heetst.

11.4 Waarnemen in het heelal nagekeken?

8 opdrachten

Zo pak je het aan

Eenheden (Binas 5): 1 AE = 1,496·10¹¹ m (afstand aarde–zon); 1 lj = 9,461·10¹⁵ m (afstand die licht in een jaar aflegt).

Terugkijken: licht van een ster op x lichtjaar is x jaar onderweg geweest.

Dopplereffect: van ons af geeft een roodverschuiving, naar ons toe blauwverschuiving. Wet van Hubble: v = H₀ · r.

Opdracht 34

a De gemiddelde afstand tussen de aarde en de zon.

b 1 AE = 1,495 98·10¹¹ m (Binas 5).

c Een lichtjaar is de afstand die het licht in één jaar aflegt.

\begin{aligned} 1\ \text{lj} &= c \cdot t \\ &= 2{,}998 \cdot 10^{8} \times 3{,}156 \cdot 10^{7} \\ &= 9{,}461 \cdot 10^{15}\ \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} 1\ \text{lj} &= \frac{9{,}461 \cdot 10^{15}}{1{,}496 \cdot 10^{11}} \\ &= 6{,}324 \cdot 10^{4}\ \text{AE} \end{aligned}

Opdracht 35

D (systeem aarde–maan) – A (zonnestelsel) – C (sterrenstelsel) – B (cluster) – E (supercluster).

Opdracht 36

a De Melkweg is het sterrenstelsel waartoe de zon hoort: een spiraalstelsel van ongeveer 200 miljard sterren. Je ziet het als een lichtende band aan de hemel.

b De oerknal is het begin van het heelal: alle materie zat ooit op één punt en is sindsdien uit elkaar gegaan.

c Het heelal wordt steeds groter: de sterrenstelsels bewegen van elkaar af.

d Roodverschuiving is de verschuiving van spectraallijnen naar grotere golflengtes, doordat de lichtbron van ons af beweegt.

e Een spiraalstructuur is de vorm van een sterrenstelsel met armen die als een spiraal om het centrum heen liggen.

Opdracht 37

a Vergelijk de lijnen in het spectrum van de ster met dezelfde lijnen van een stilstaande bron (bijvoorbeeld de zon). Zijn ze naar het rood verschoven, dan beweegt de ster van ons af; naar het blauw, dan komt hij naar ons toe. Hoe groter de verschuiving, hoe groter de snelheid.

b Blauwverschuiving.

Opdracht 38

a De buitenplaneten (Mars tot en met Neptunus) staan verder van de zon dan de aarde, dus op een afstand groter dan 1 AE.

\begin{aligned} r &= \frac{4{,}498 \cdot 10^{12}}{1{,}496 \cdot 10^{11}} \\ &= 30{,}07\ \text{AE} \end{aligned}

\begin{aligned} t &= \frac{s}{c} \\ &= \frac{4{,}498 \cdot 10^{12}}{2{,}998 \cdot 10^{8}} \\ &= 1{,}500 \cdot 10^{4}\ \text{s} \end{aligned}

Dat is 4,168 uur.

\begin{aligned} t &= \frac{1{,}500 \cdot 10^{4}}{3{,}156 \cdot 10^{7}} \\ &= 4{,}754 \cdot 10^{-4}\ \text{jaar} \end{aligned}

e Het licht is 4,754·10⁻⁴ jaar onderweg, dus de afstand is 4,754·10⁻⁴ lj.

\begin{aligned} r &= \frac{4{,}498 \cdot 10^{12}}{9{,}461 \cdot 10^{15}} \\ &= 4{,}754 \cdot 10^{-4}\ \text{lj} \end{aligned}

Opdracht 39

a Binas 32B: afstand van de Poolster 410·10¹⁶ m.

\begin{aligned} r &= \frac{4{,}10 \cdot 10^{18}}{9{,}461 \cdot 10^{15}} \\ &= 433\ \text{lj} \end{aligned}

Het licht is 433 jaar geleden vertrokken.

b Binas 32B: T = 5,9·10³ K.

\begin{aligned} \lambda_\text{max} &= \frac{2{,}898 \cdot 10^{-3}}{5{,}9 \cdot 10^{3}} \\ &= 4{,}91 \cdot 10^{-7}\ \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} f &= \frac{c}{\lambda} \\ &= \frac{3{,}00 \cdot 10^{8}}{4{,}91 \cdot 10^{-7}} \\ &= 6{,}1 \cdot 10^{14}\ \text{Hz} \end{aligned}

c De radiële snelheid in Binas 32B is negatief (−17·10³ m/s): de afstand wordt kleiner, de Poolster nadert ons.

d Blauwverschuiving.

\begin{aligned} t &= \frac{r}{v} \\ &= \frac{4{,}10 \cdot 10^{18}}{17 \cdot 10^{3}} \\ &= 2{,}41 \cdot 10^{14}\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} t &= \frac{2{,}41 \cdot 10^{14}}{3{,}156 \cdot 10^{7}} \\ &= 7{,}6 \cdot 10^{6}\ \text{jaar} \end{aligned}

Opdracht 40

a Binas 32D: afstand zon–middelpunt 2,5·10²⁰ m en diameter 9·10²⁰ m, dus straal 4,5·10²⁰ m.

\begin{aligned} \frac{2{,}5 \cdot 10^{20}}{4{,}5 \cdot 10^{20}} &= 0{,}56 \end{aligned}

Dat is ongeveer de helft: het klopt.

b Binas 32D: omlooptijd van de zon 2,45·10⁸ jaar.

\begin{aligned} T &= 2{,}45 \cdot 10^{8} \times 3{,}156 \cdot 10^{7} \\ &= 7{,}73 \cdot 10^{15}\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} v &= \frac{2\pi r}{T} \\ &= \frac{2\pi \times 2{,}5 \cdot 10^{20}}{7{,}73 \cdot 10^{15}} \\ &= 2{,}03 \cdot 10^{5}\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{mpz} &= \frac{m \cdot v^2}{r} \\ &= \frac{1{,}9884 \cdot 10^{30} \times (2{,}03 \cdot 10^{5})^2}{2{,}5 \cdot 10^{20}} \\ &= 3{,}3 \cdot 10^{20}\ \text{N} \end{aligned}

(Met de omloopsnelheid uit Binas 32D, 2,20·10⁵ m/s, vind je 3,9·10²⁰ N. De gegevens in Binas zijn niet precies met elkaar in overeenstemming.)

Opdracht 41

a Als alle stelsels van ons af bewegen, is de afstand tussen de stelsels vroeger kleiner geweest. Het heelal wordt dus groter: het dijt uit.

b In de spectra van bijna alle sterrenstelsels is een roodverschuiving gemeten.

c Met v = H₀ · r kun je terugrekenen: als de uitdijing altijd even snel ging, zat alles een tijd t = r / v = 1 / H₀ geleden op één punt. Uit de diameter en de uitdijsnelheid volgt zo de leeftijd van het heelal (ongeveer 13,9 miljard jaar).

d Als het heelal uitdijt, was het vroeger kleiner. Terugrekenen in de tijd leidt naar een moment waarop alles op één punt zat: de oerknal.

11.5 Bouw van het heelal nagekeken?

6 opdrachten

Gemengd 42

a De zon staat in het midden. Acht planeten draaien in bijna cirkelvormige banen om de zon: eerst vier rotsplaneten, dan de planetoïdengordel en vier gasplaneten. Om de meeste planeten draaien manen. Mercurius en Venus hebben geen maan.

b Binas 31: T = 365,256 d, in vijf cijfers 365,26 d. Een kalenderjaar heeft 365 dagen. Elk jaar blijft er ongeveer een kwart dag over: na vier jaar is dat een hele dag. Die wordt in een schrikkeljaar toegevoegd.

c De maan draait in 27,32 d om de aarde en draait in precies dezelfde tijd (27,32 d) om haar eigen as. Daardoor keert ze steeds dezelfde kant naar de aarde toe.

De baan van Neptunus heeft een grotere omtrek dan de baan van Uranus.
Neptunus legt zijn baan om de zon in meer tijd af dan Uranus.

De laatste bewering had ook kunnen luiden: Neptunus gaat langzamer om de zon.

e 'Langzamer' kan gaan over de tijd die nodig is voor één rondje, of over de snelheid. Neptunus doet er langer over, maar dat zegt op zichzelf nog niets over de snelheid, want de baan is ook langer.

f Martin vergeet dat ook T verandert. Een planeet die verder weg staat, heeft een grotere r, maar ook een veel grotere T. Of v groter of kleiner wordt, hangt af van hoeveel T toeneemt.

g 1 jaar = 3,156·10⁷ s.

Uranus:

\begin{aligned} v &= \frac{2\pi \times 2{,}871 \cdot 10^{12}}{84{,}02 \times 3{,}156 \cdot 10^{7}} \\ &= 6803\ \text{m/s} \end{aligned}

Neptunus:

\begin{aligned} v &= \frac{2\pi \times 4{,}498 \cdot 10^{12}}{164{,}8 \times 3{,}156 \cdot 10^{7}} \\ &= 5434\ \text{m/s} \end{aligned}

Neptunus staat verder weg maar is langzamer: Martin heeft geen gelijk.

Gemengd 43

a Ja, ongeveer. In de figuur is de straal van een maan ongeveer 1/27 van die van Jupiter. Binas 31: Ganymedes 2,631·10⁶ m en Jupiter 69,91·10⁶ m, verhouding 1/27. De manen zijn dus ongeveer op schaal.

b Nee. In de figuur liggen de manen op 1,3 tot 2,0 keer de straal van Jupiter van het middelpunt, bijna op gelijke afstanden. Volgens Binas 31 liggen ze op 6,0 (Io), 9,6 (Europa), 15,3 (Ganymedes) en 26,9 (Callisto) keer de straal van Jupiter.

c Binas 31: M_Jupiter = 1900·10²⁴ kg, m_Europa = 0,048·10²⁴ kg, r = 670,9·10⁶ m.

\begin{aligned} F_\text{g} &= G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} \\ &= 6{,}674 \cdot 10^{-11} \\ &\quad \times \frac{4{,}8 \cdot 10^{22} \times 1{,}900 \cdot 10^{27}}{(670{,}9 \cdot 10^{6})^2} \\ &= 1{,}35 \cdot 10^{22}\ \text{N} \end{aligned}

d T = 3,551 d = 3,068·10⁵ s.

\begin{aligned} v &= \frac{2\pi r}{T} \\ &= \frac{2\pi \times 670{,}9 \cdot 10^{6}}{3{,}068 \cdot 10^{5}} \\ &= 1{,}374 \cdot 10^{4}\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{mpz} &= \frac{m \cdot v^2}{r} \\ &= \frac{4{,}8 \cdot 10^{22} \times (1{,}374 \cdot 10^{4})^2}{670{,}9 \cdot 10^{6}} \\ &= 1{,}35 \cdot 10^{22}\ \text{N} \end{aligned}

Dat is gelijk aan het antwoord op c.

e Io: r = 421,8·10⁶ m en T = 1,769 d = 1,528·10⁵ s.

\begin{aligned} \frac{r^3}{T^2} &= \frac{(4{,}218 \cdot 10^{8})^3}{(1{,}528 \cdot 10^{5})^2} \\ &= 3{,}21 \cdot 10^{15}\ \text{m}^3/\text{s}^2 \end{aligned}

Europa:

\begin{aligned} \frac{r^3}{T^2} &= \frac{(6{,}709 \cdot 10^{8})^3}{(3{,}068 \cdot 10^{5})^2} \\ &= 3{,}21 \cdot 10^{15}\ \text{m}^3/\text{s}^2 \end{aligned}

De constante is voor beide manen gelijk.

\begin{aligned} M &= \frac{4\pi^2 \times 3{,}21 \cdot 10^{15}}{G} \\ &= \frac{4\pi^2 \times 3{,}21 \cdot 10^{15}}{6{,}674 \cdot 10^{-11}} \\ &= 1{,}90 \cdot 10^{27}\ \text{kg} \end{aligned}

Binas 31: 1900·10²⁴ kg = 1,900·10²⁷ kg. Dat klopt.

Gemengd 44

a Op de foto is Mercurius bijna helemaal verlicht. Mercurius staat dan, gezien vanaf de aarde, bijna achter de zon.

Zon, baan van Mercurius en baan van de aarde. Mercurius staat aan de andere kant van de zon, iets naast de lijn aarde–zon: je ziet bijna de hele verlichte kant.

\begin{aligned} \lambda_\text{max} &= \frac{2{,}898 \cdot 10^{-3}}{700} \\ &= 4{,}14 \cdot 10^{-6}\ \text{m} \end{aligned}

c Dit is infrarood met een golflengte van 4 μm. Een radiotelescoop vangt veel langere golven op (vanaf ongeveer 1 cm).

d Volgens Binas 30E wordt infrarood van ongeveer 4 μm deels doorgelaten. Een camera op aarde kan dus iets zien, maar de atmosfeer absorbeert een groot deel en zendt zelf ook infrarood uit. Een camera op een satelliet geeft een veel beter beeld.

e Het donkere deel is kouder. Volgens de wet van Wien ligt het maximum dan bij een grotere golflengte.

f Uit g = G · M / R² volgt M = g · R² / G. Bij gelijke g is M evenredig met R²:

\begin{aligned} \frac{M_\text{Mars}}{M_\text{Mercurius}} &= 1{,}4^2 \\ &= 1{,}96 \end{aligned}

Controle met Binas 31:

\begin{aligned} \frac{0{,}642 \cdot 10^{24}}{0{,}330 \cdot 10^{24}} &= 1{,}95 \end{aligned}

Gemengd 45

a Van 1054 tot nu (2024) is 970 jaar.

\begin{aligned} s &= 5{,}5 \times 9{,}461 \cdot 10^{15} \\ &= 5{,}20 \cdot 10^{16}\ \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} t &= 970 \times 3{,}156 \cdot 10^{7} \\ &= 3{,}06 \cdot 10^{10}\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} v &= \frac{s}{t} \\ &= \frac{5{,}20 \cdot 10^{16}}{3{,}06 \cdot 10^{10}} \\ &= 1{,}7 \cdot 10^{6}\ \text{m/s} \end{aligned}

b Binas 32E: de afstand van het Krabstelsel is 0,066·10²¹ m.

\begin{aligned} r &= \frac{6{,}6 \cdot 10^{19}}{9{,}461 \cdot 10^{15}} \\ &= 7{,}0 \cdot 10^{3}\ \text{lj} \end{aligned}

Het licht was 7,0·10³ jaar onderweg: de explosie vond 7,0·10³ jaar eerder plaats.

Gemengd 46

\begin{aligned} r &= 13{,}6 \cdot 10^{9} \times 9{,}461 \cdot 10^{15} \\ &= 1{,}29 \cdot 10^{26}\ \text{m} \end{aligned}

b De kracht van raket R werkt omhoog, rechts van het draaipunt Z. Dat geeft een moment dat de satelliet linksom (tegen de klok in) draait: in de aangegeven richting.

c B. Na het aanzetten van R draait de satelliet. Om die draaiing te stoppen, moet raketje L een even groot tegengesteld moment geven. Met dezelfde kracht en dezelfde arm moet L dus even lang worden aangezet.

d Zon, aarde en telescoop liggen op één lijn; de telescoop staat 1,5·10⁹ m achter de aarde.

De James Webb-ruimtetelescoop staat op de lijn zon–aarde, 1,5 miljoen km achter de aarde (niet op schaal).

e A. De zon en de aarde liggen allebei aan dezelfde kant van de telescoop (in de richting van de zon). Beide gravitatiekrachten wijzen dus naar de zon toe.

f Afstand tot de zon: 1,496·10¹¹ + 1,5·10⁹ = 1,511·10¹¹ m; afstand tot de aarde: 1,5·10⁹ m.

\begin{aligned} \frac{F_\text{zon}}{F_\text{aarde}} &= \frac{M_\text{zon}}{M_\text{aarde}} \cdot \frac{r_\text{aarde}^2}{r_\text{zon}^2} \\ &= \frac{1{,}9884 \cdot 10^{30}}{5{,}972 \cdot 10^{24}} \times \frac{(1{,}5 \cdot 10^{9})^2}{(1{,}511 \cdot 10^{11})^2} \\ &= 32{,}8 \end{aligned}

g Met G · M_aarde = 3,9857·10¹⁴ m³/s² (opdracht 15):

\begin{aligned} F_\text{g} &= G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} \\ &= \frac{3{,}9857 \cdot 10^{14} \times 6{,}0 \cdot 10^{3}}{(1{,}5 \cdot 10^{9})^2} \\ &= 1{,}06\ \text{N} \end{aligned}

h Middelpuntzoekende kracht (beide krachten wijzen naar de zon):

\begin{aligned} F_\text{mpz} &= 32{,}8 \times 1{,}06 + 1{,}06 \\ &= 35{,}8\ \text{N} \end{aligned}

Snelheid:

\begin{aligned} v &= \sqrt{\frac{F_\text{mpz} \cdot r}{m}} \\ &= \sqrt{\frac{35{,}8 \times 1{,}511 \cdot 10^{11}}{6{,}0 \cdot 10^{3}}} \\ &= 3{,}00 \cdot 10^{4}\ \text{m/s} \end{aligned}

Omlooptijd:

\begin{aligned} T &= \frac{2\pi r}{v} \\ &= \frac{2\pi \times 1{,}511 \cdot 10^{11}}{3{,}00 \cdot 10^{4}} \\ &= 3{,}16 \cdot 10^{7}\ \text{s} \end{aligned}

\begin{aligned} T &= \frac{3{,}16 \cdot 10^{7}}{86\,400} \\ &= 366\ \text{dagen} \end{aligned}

Gemengd 47

De gravitatiekracht wijst van de komeet naar het middelpunt van de zon, 4 cm lang.
Ontbind de kracht in een component langs de baan (in de richting van de snelheid) en een component loodrecht op de baan.
De component langs de baan wijst in de bewegingsrichting. De snelheid van de komeet neemt dus toe.

De gravitatiekracht op de komeet (oranje) wijst naar de zon. De component langs de baan wijst dezelfde kant op als de snelheid (blauw): de komeet gaat sneller.

b B. Volume is massa gedeeld door dichtheid: het grootste volume krijg je met de grootste massa en de kleinste dichtheid.

\begin{aligned} v &= \frac{s}{t} \\ &= \frac{6{,}5 \cdot 10^{9}\ \text{km}}{10 \times 3{,}156 \cdot 10^{7}\ \text{s}} \\ &= 21\ \text{km/s} \end{aligned}

\begin{aligned} v &= \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}} \\ &= \sqrt{\frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \times 1{,}0 \cdot 10^{13}}{20 \cdot 10^{3}}} \\ &= 0{,}18\ \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} T &= \frac{k_\text{W}}{\lambda_\text{max}} \\ &= \frac{2{,}898 \cdot 10^{-3}}{1{,}6 \cdot 10^{-5}} \\ &= 181\ \text{K} \end{aligned}

\begin{aligned} t &= 181 - 273 \\ &= -92\ \text{°C} \end{aligned}

f De kinetische energie is evenredig met v².

\begin{aligned} \frac{E_\text{k,na}}{E_\text{k,voor}} &= \left(\frac{0{,}38}{1{,}1}\right)^2 \\ &= 0{,}12 \end{aligned}

Er is nog 12% over.

\begin{aligned} v_\text{ont} &= \sqrt{\frac{2 G \cdot M}{R}} \\ &= \sqrt{\frac{2 \times 6{,}674 \cdot 10^{-11} \times 1{,}0 \cdot 10^{13}}{2{,}9 \cdot 10^{3}}} \\ &= 0{,}68\ \text{m/s} \end{aligned}

Philae had na het opstuiten 0,38 m/s. Dat is kleiner dan de ontsnappingssnelheid: Philae is teruggevallen op de komeet.

Gemengde opgaven nagekeken?

Grootheid	Symbool	Eenheid
gravitatiekracht	$F_\text{g}$	newton (N)
massa	$m$ , $M$	kilogram (kg)
afstand, baanstraal	$r$	meter (m)
straal van een hemellichaam	$R$	meter (m)
gravitatieconstante	$G$	N m² kg⁻²
valversnelling	$g$	meter per seconde kwadraat (m/s²)
baansnelheid	$v$	meter per seconde (m/s)
omlooptijd	$T$	seconde (s)
middelpuntzoekende kracht	$F_\text{mpz}$	newton (N)
golflengte met de grootste intensiteit	$\lambda_\text{max}$	meter (m)
temperatuur	$T$	kelvin (K)
constante van Wien	$k_\text{W}$	meter kelvin (m K)
hubbleconstante	$H_0$	per seconde (s⁻¹)

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle F_\text{g} = G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2}$	gravitatiekracht	Binas	11.2a
$\displaystyle g = G \cdot \frac{M}{R^2}$	valversnelling op een hemellichaam	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle v = \frac{2\pi r}{T}$	baansnelheid	Binas	11.3a
$\displaystyle F_\text{mpz} = \frac{m \cdot v^2}{r}$	middelpuntzoekende kracht	Binas	11.3a
$\displaystyle v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}$	baansnelheid in een cirkelbaan	Zelf afleiden	11.3a
$\displaystyle \frac{r^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4\pi^2}$	derde wet van Kepler (cirkelbaan)	Binas	11.3a
$\displaystyle \lambda_\text{max} \cdot T = k_\text{W}$	wet van Wien	Binas	11.4b
$\displaystyle v = H_0 \cdot r$	wet van Hubble	Binas	11.5b

Zonnestelsel en heelal

Grootheden en eenheden

Formules