De gravitatiewet van Newton

Een appel valt naar de aarde, de maan blijft om de aarde draaien. Newton zag dat het om dezelfde kracht gaat: de gravitatiekracht.

20 min

Na deze les kun je

Zwaartekracht F_z = m · g en de derde wet van Newton (hoofdstuk 8).

Twee voorwerpen met massa trekken elkaar aan: de gravitatiekracht.
De kracht werkt langs de verbindingslijn van de zwaartepunten. Bij bollen (planeten, sterren) is dat de afstand tussen de middelpunten.
A trekt B even hard aan als B A, in tegengestelde richting (derde wet van Newton).

\displaystyle F_\text{g} = G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2}

Binas

F_\text{g}

: gravitatiekracht (N),

m

M

: massa's (kg),

r

: afstand tussen de middelpunten (m),

G = 6{,}674 \cdot 10^{-11}

N m² kg⁻² (Binas 7A). Binas 35A5.

Twee keer zo grote massa: twee keer zo grote kracht.
Twee keer zo grote afstand: vier keer zo kleine kracht.
$G$ is heel klein: tussen gewone voorwerpen is de kracht verwaarloosbaar. Pas bij hemellichamen wordt hij groot.

✎Voorbeeld 1: twee bollen

Twee bollen van elk 10 kg hangen met hun middelpunten 80 cm uit elkaar. Bereken de gravitatiekracht.

\begin{aligned} F_\text{g} &= G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} \\ &= 6{,}674 \cdot 10^{-11} \times \frac{10 \times 10}{0{,}80^2} \\ &= 1{,}0 \cdot 10^{-8}\ \text{N} \end{aligned}

✎Voorbeeld 2: aarde en maan

Bereken de gravitatiekracht tussen aarde en maan. Binas 31: M_aarde = 5,972 · 10²⁴ kg, m_maan = 0,0735 · 10²⁴ kg, r = 384,4 · 10⁶ m.

\begin{aligned} F_\text{g} &= G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} \\ &= 6{,}674 \cdot 10^{-11} \\ &\quad \times \frac{0{,}0735 \cdot 10^{24} \times 5{,}972 \cdot 10^{24}}{(384{,}4 \cdot 10^6)^2} \\ &= 1{,}98 \cdot 10^{20}\ \text{N} \end{aligned}

!Afstand tot het oppervlak

Voor $r$ gebruik je de afstand tussen de middelpunten. Staat een satelliet op hoogte $h$ boven de aarde, dan is $r = R + h$ .

Even controleren

De afstand tussen twee hemellichamen wordt drie keer zo groot. Wat gebeurt er met de gravitatiekracht?

Trekt de aarde harder aan de maan dan de maan aan de aarde?

↗Hoe hangt dit samen?

In de volgende les leid je met de gravitatiewet de valversnelling af.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.

Grootheid	Symbool	Eenheid
gravitatiekracht	$F_\text{g}$	newton (N)
massa	$m$ , $M$	kilogram (kg)
afstand, baanstraal	$r$	meter (m)
straal van een hemellichaam	$R$	meter (m)
gravitatieconstante	$G$	N m² kg⁻²
valversnelling	$g$	meter per seconde kwadraat (m/s²)
baansnelheid	$v$	meter per seconde (m/s)
omlooptijd	$T$	seconde (s)
middelpuntzoekende kracht	$F_\text{mpz}$	newton (N)
golflengte met de grootste intensiteit	$\lambda_\text{max}$	meter (m)
temperatuur	$T$	kelvin (K)
constante van Wien	$k_\text{W}$	meter kelvin (m K)
hubbleconstante	$H_0$	per seconde (s⁻¹)

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle F_\text{g} = G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2}$	gravitatiekracht	Binas	11.2a
$\displaystyle g = G \cdot \frac{M}{R^2}$	valversnelling op een hemellichaam	Zelf afleiden	11.2b
$\displaystyle v = \frac{2\pi r}{T}$	baansnelheid	Binas	11.3a
$\displaystyle F_\text{mpz} = \frac{m \cdot v^2}{r}$	middelpuntzoekende kracht	Binas	11.3a
$\displaystyle v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}$	baansnelheid in een cirkelbaan	Zelf afleiden	11.3a
$\displaystyle \frac{r^3}{T^2} = \frac{G \cdot M}{4\pi^2}$	derde wet van Kepler (cirkelbaan)	Binas	11.3a
$\displaystyle \lambda_\text{max} \cdot T = k_\text{W}$	wet van Wien	Binas	11.4b
$\displaystyle v = H_0 \cdot r$	wet van Hubble	Binas	11.5b