Leeromgeving›Natuurkunde›5 havo›H8 Krachten in evenwicht

Hoofdstuk 8 · 44 opdrachten uitgewerkt

Krachten in evenwicht

Krachten en de derde wet van Newton, krachten op een helling met gelijkvormige driehoeken, het moment van een kracht, stabiel en labiel evenwicht, de hefboomwet en hefbomen in het menselijk lichaam.

Klik een paragraaf open, en daarna de opdracht die je wilt nakijken.

13 opdrachten

Zo pak je het aan

Krachten optellen: langs één lijn optellen of aftrekken; onder een hoek met de parallellogrammethode, de kop-staartmethode of (bij 90°) Pythagoras.

Derde wet van Newton (Binas 35A3): krachten komen in paren, even groot en tegengesteld, op verschillende voorwerpen. Het gewicht is de kracht van een voorwerp op de ondergrond.

Gelijkvormige driehoeken: zelfde hoeken, dus zelfde verhoudingen. Op een helling: F_z// / F_z = hoogte / lengte.

Opdracht 1

a De krachten optellen.

b De kleinste van de grootste aftrekken.

c Met de parallellogrammethode of de kop-staartmethode (en bij een rechte hoek met Pythagoras).

d De snelheid blijft gelijk: het voorwerp beweegt eenparig rechtlijnig.

e Het voorwerp versnelt of vertraagt (of verandert van richting): er is een versnelling a = F_res / m.

Opdracht 2

a Het zwaartepunt is het aangrijpingspunt van de zwaartekracht.

b In het midden (op de symmetrieas).

c Hang het voorwerp aan een punt op; het zwaartepunt hangt dan recht onder het ophangpunt. Teken de verticale lijn door het ophangpunt. Hang het daarna aan een ander punt op en teken weer de verticale lijn. Het snijpunt van de lijnen is het zwaartepunt.

Opdracht 3

a De zwaartekracht (van de aarde op jou) en de normaalkracht (van de grond op jou).

De aarde trekt jou aan (zwaartekracht); jij trekt de aarde aan met een even grote kracht omhoog.
De grond duwt jou omhoog (normaalkracht); jij duwt met je gewicht even hard op de grond.

Opdracht 4

De twee krachten van een paar werken op verschillende voorwerpen. Je kunt alleen krachten optellen die op hetzelfde voorwerp werken, dus ze heffen elkaar nooit op.

Opdracht 5

a Alle drie naar links:

\begin{aligned} F_\text{res} &= 340 + 800 + 600 \\ &= 1{,}74 \cdot 10^3\ \text{N, naar links} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{res} &= 340 + 800 - 600 \\ &= 540\ \text{N, omhoog} \end{aligned}

c Horizontaal 1140 N naar links, verticaal 600 N omlaag:

\begin{aligned} F_\text{res} &= \sqrt{1140^2 + 600^2} \\ &= 1{,}29\ \text{kN} \end{aligned}

De kop-staartmethode: de drie krachten achter elkaar. De resultante loopt van het begin van de eerste naar de kop van de laatste: 1,15 kN, bijna horizontaal naar rechts.

Ontbind in x- en y-richting:

\begin{aligned} F_x &= -170 + 800 + 520 \\ &= 1150\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_y &= 294 - 300 \\ &= -6\ \text{N} \end{aligned}

F_res = 1,15 · 10³ N (bijna horizontaal naar rechts). Met een tekening op schaal vind je ongeveer 1,14 kN.

Opdracht 6

a De raket duwt het gas naar achteren; het gas duwt de raket even hard naar voren.

b Op de derde wet van Newton: de kracht van het gas op de raket.

c Op de raket werkt een resulterende kracht naar voren (de kracht van het gas is groter dan de zwaartekracht en de luchtweerstand). Volgens F_res = m · a krijgt de raket dan een versnelling.

Opdracht 7

a De zonnestralen vallen evenwijdig in; boom en stok staan allebei verticaal. Beide driehoeken hebben een rechte hoek en dezelfde hoek tussen grond en zonnestraal: alle hoeken zijn gelijk.

b lengte boom / lengte schaduw boom = lengte stok / lengte schaduw stok.

\begin{aligned} h &= 1{,}65 \times \frac{120}{11} \\ &= 18\ \text{m} \end{aligned}

Opdracht 8

a Bij een botsing oefent de auto een kracht uit op de vrachtwagen en de vrachtwagen op de auto. Beide krijgen dus een kracht en raken beschadigd.

b Ze zijn even groot en tegengesteld.

c De personenauto is veel zwaarder beschadigd en ingedrukt: hij is sterker afgeremd. De krachten zijn even groot, maar de massa van de personenauto is kleiner. Volgens a = F / m is zijn vertraging dan groter.

Opdracht 9

a De aarde trekt jou aan en jij trekt de aarde aan, even hard.

b Uit a = F / m: de kracht is even groot, maar de massa van de aarde is enorm. De versnelling van de aarde is verwaarloosbaar klein; die van jou is g.

c De aarde trekt jou aan en jij de aarde (zwaartekracht). De grond duwt jou omhoog (normaalkracht) en jij duwt even hard op de grond (gewicht).

d Bij het neerkomen word je afgeremd: de resulterende kracht wijst omhoog. Dan moet de normaalkracht groter zijn dan de zwaartekracht.

Opdracht 10

a Gelijkvormigheid: straal / afstand moet gelijk zijn.

\begin{aligned} r &= 1{,}7 \cdot 10^6 \times \frac{6{,}0 \cdot 10^6}{3{,}8 \cdot 10^8} \\ &= 2{,}7 \cdot 10^4\ \text{m} \end{aligned}

b Binas 31: Phobos heeft een straal van 0,011 · 10⁶ m = 1,1 · 10⁴ m.

c De straal van Phobos is kleiner dan 2,7 · 10⁴ m. Phobos lijkt vanaf Mars dus kleiner dan onze maan vanaf de aarde.

d Deimos: straal 0,006 · 10⁶ m, baanstraal 23,5 · 10⁶ m (vanaf het oppervlak ongeveer 20 · 10⁶ m). Vergelijk straal / afstand:

\begin{aligned} \text{Phobos: } \frac{1{,}1 \cdot 10^4}{6{,}0 \cdot 10^6} &= 1{,}8 \cdot 10^{-3} \\ \text{Deimos: } \frac{6 \cdot 10^3}{2{,}0 \cdot 10^7} &= 3 \cdot 10^{-4} \end{aligned}

Deimos is kleiner en staat veel verder weg: hij lijkt kleiner dan Phobos.

Opdracht 11

a F_z = 0,050 × 9,81 = 0,49 N. De pijl van F_z is 2,4 cm lang: 1 cm ≙ 0,20 N.

b De spankracht in het touwtje, langs het touwtje omhoog. Construeer: F_z + F_span moet langs de werklijn van F_res liggen. Teken door de kop van F_z een lijn evenwijdig aan het touwtje, tot de werklijn van F_res.

F_z en F_span samen geven de resulterende kracht langs de gegeven werklijn.

F_span is 2,1 cm: 0,42 N.

c De resulterende kracht is niet nul (hij wijst schuin naar beneden, naar de evenwichtsstand). Volgens F_res = m · a heeft het balletje dan een versnelling.

d F_res is 1,2 cm: 0,25 N.

\begin{aligned} a &= \frac{F_\text{res}}{m} \\ &= \frac{0{,}25}{0{,}050} \\ &= 5{,}0\ \text{m/s}^2 \end{aligned}

Opdracht 12

a , c en d

Het karretje op de helling van 15° met de zwaartekracht (2,25 cm, dus 1 cm ≙ 200 N) en de componenten langs en loodrecht op de helling.

\begin{aligned} F_\text{z} &= 45{,}9 \times 9{,}81 \\ &= 450\ \text{N} \end{aligned}

e De normaalkracht is even groot als F_z⊥:

\begin{aligned} F_\text{n} &= 450 \times \cos 15^\circ \\ &= 4{,}3 \cdot 10^2\ \text{N} \end{aligned}

f Zonder wrijving is F_res = F_z//:

\begin{aligned} F_{\text{z}/\!/} &= 450 \times \sin 15^\circ \\ &= 117\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} a &= \frac{117}{45{,}9} \\ &= 2{,}5\ \text{m/s}^2 \end{aligned}

(Met opgemeten componenten uit de tekening vind je ongeveer 2,6 m/s².)

Opdracht 13

a De gravitatiekracht van de aarde op de maan.

b Die is even groot en tegengesteld gericht (derde wet).

c Op de lijn aarde-maan, veel dichter bij de aarde, want de aarde is 81 keer zo zwaar:

\begin{aligned} x &= 384 \cdot 10^6 \times \frac{0{,}0735}{5{,}972 + 0{,}0735} \\ &= 4{,}7 \cdot 10^6\ \text{m} \end{aligned}

vanaf het middelpunt van de aarde. Dat is nog binnen de aarde (straal 6,4 · 10⁶ m).

8.1 Krachten nagekeken?

9 opdrachten

Zo pak je het aan

Draaien: twee even grote, tegengestelde krachten met verschillende werklijnen laten een voorwerp draaien.

Moment (Binas 35A7): M = F · r, met r de loodrechte afstand van het draaipunt tot de werklijn. Teken altijd eerst de werklijn.

Evenwicht: stabiel als het zwaartepunt onder het draaipunt ligt, labiel als het erboven ligt.

Opdracht 14

a Nee: als F_res = 0, is er geen versnelling.

b Ja: als de werklijnen niet samenvallen, gaat het voorwerp draaien.

Opdracht 15

a boven

b boven; met de verstoring mee

Opdracht 16

a F_z: groter (twee keer zo groot).

b r_z: gelijk.

c M_z: groter (twee keer).

d F_spier: groter (twee keer).

e r_spier: gelijk.

f M_spier: groter (twee keer).

Opdracht 17

a De man op de slackline: zijn zwaartepunt ligt boven de lijn: labiel evenwicht. Hij moet steeds bijsturen.

b De fietser op de kabel met het zware gewicht onder de kabel: het gezamenlijke zwaartepunt ligt onder de kabel: stabiel evenwicht. De koorddanser zonder gewicht: zwaartepunt boven de kabel: labiel.

Opdracht 18

a De pijlen zijn even lang en evenwijdig, maar tegengesteld gericht.

b Verleng elke pijl naar beide kanten tot een lijn: de twee werklijnen lopen evenwijdig, naast elkaar.

c De werklijnen vallen niet samen.

d De linker kracht trekt de onderkant schuin naar links omhoog, de rechter kracht de bovenkant schuin naar rechts omlaag. Het voorwerp draait met de wijzers van de klok mee.

e Het voorwerp draait tot de twee werklijnen samenvallen (in één lijn liggen).

Opdracht 19

Schatting: tas 5 kg, gestrekte arm vanaf de schouder tot de hand ongeveer 0,7 m.

\begin{aligned} M &= 5 \times 9{,}81 \times 0{,}7 \\ &= 4 \cdot 10^1\ \text{N m} \end{aligned}

Opdracht 20

a De werklijn van de zwaartekracht is verticaal door het ophangpunt van de massa. De arm is de horizontale afstand van de hand D tot die lijn.

b Bij een stok van lengte ℓ:

A: horizontaal, arm = ℓ.
B: arm = ¾ℓ.
C: 30° omhoog, arm = ℓ · cos 30° = 0,87ℓ.
D: 45° omhoog, arm = ℓ · cos 45° = 0,71ℓ.

Van klein naar groot: D – B – C – A.

c F_z = 2,3 × 9,81 = 22,6 N.

\begin{aligned} M_\text{A} &= 22{,}6 \times 1{,}2 \\ &= 27\ \text{N m} \end{aligned}

\begin{aligned} M_\text{B} &= 22{,}6 \times 0{,}90 \\ &= 20\ \text{N m} \end{aligned}

\begin{aligned} M_\text{C} &= 22{,}6 \times 1{,}2 \times \cos 30^\circ \\ &= 23\ \text{N m} \end{aligned}

Opdracht 21

Elk hokje is in werkelijkheid 10 cm (de plank is 20 keer zo klein getekend; een hokje is 0,5 cm).

De werklijnen (stippel) en de armen (blauw) ten opzichte van S. De werklijn van F₅ gaat door S.

Armen: F₁ 3 hokjes, F₂ 2 hokjes, F₃ 2 hokjes, F₄ √2 = 1,41 hokje, F₅ 0.

a Van klein naar groot moment: F₅ – F₄ – F₂ en F₃ – F₁.

\begin{aligned} M_1 &= 20 \times 0{,}30 \\ &= 6{,}0\ \text{N m} \end{aligned}

\begin{aligned} M_2 &= M_3 \\ &= 20 \times 0{,}20 \\ &= 4{,}0\ \text{N m} \end{aligned}

\begin{aligned} M_4 &= 20 \times 0{,}141 \\ &= 2{,}8\ \text{N m} \end{aligned}

M₅ = 0 N m.

d M₂ wordt 8,0 N m en M₄ wordt 5,7 N m. Van klein naar groot: M₅ – M₃ – M₄ – M₁ – M₂.

Opdracht 22

\begin{aligned} F_\text{span} &= 2{,}0 \times 9{,}81 \\ &= 20\ \text{N} \end{aligned}

b Nee: de werklijn van de zwaartekracht gaat door het ophangpunt (de steen hangt er recht onder). De arm is nul.

De situatie op schaal 1 : 10: het touw van 9,0 cm onder 30° met de verticaal.

\begin{aligned} x &= 0{,}90 \times \sin 30^\circ \\ &= 0{,}45\ \text{m} \end{aligned}

e De zwaartekracht werkt verticaal. De arm is de horizontale afstand van het ophangpunt tot de verticale lijn door de steen: precies de horizontale verplaatsing.

\begin{aligned} M_\text{z} &= 19{,}6 \times 0{,}45 \\ &= 8{,}8\ \text{N m} \end{aligned}

g Nul: de spankracht werkt langs het touw, en die werklijn gaat door het ophangpunt.

h De spierkracht is horizontaal. Haar arm is de verticale afstand van het ophangpunt tot de steen:

\begin{aligned} r &= 0{,}90 \times \cos 30^\circ \\ &= 0{,}78\ \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{spier} &= \frac{8{,}83}{0{,}78} \\ &= 11\ \text{N} \end{aligned}

8.2 Uit evenwicht nagekeken?

8 opdrachten

Zo pak je het aan

Hefboomwet (Binas 35A7): F₁ · r₁ = F₂ · r₂. Aanpak: 1) kies het draaipunt, 2) teken de krachten die niet door het draaipunt gaan, 3) bepaal de armen, 4) reken.

Tweede voorwaarde: F_res = 0. Daarmee vind je de kracht in het draaipunt.

Opdracht 23

a Om met een kleine kracht een grote kracht uit te oefenen (of om iets te laten draaien).

b Bijvoorbeeld: schaar, notenkraker, koevoet, flesopener, tang, kruiwagen.

c De som van de momenten is nul (moment linksom = moment rechtsom), en de resulterende kracht is nul.

Opdracht 24

a , b en c Teken in elk van de drie foto's het draaipunt, de werklijnen van de twee krachten (in de richting waarin ze werken) en vanuit het draaipunt de loodlijnen op die werklijnen: de armen. Meet de armen in mm en de pijllengtes van de krachten.

d Bereken F₁ · r₁ en F₂ · r₂ (in mm · mm of in de schaal van de tekening). Binnen de meetnauwkeurigheid (een paar procent) zijn ze in elke situatie gelijk: de hefboomwet geldt. De kracht met de kleinste arm is steeds de grootste kracht.

Opdracht 25

a De duiker staat 3,1 m van S.

\begin{aligned} M &= 65 \times 9{,}81 \times 3{,}1 \\ &= 2{,}0 \cdot 10^3\ \text{N m} \end{aligned}

b De veer zit 4,2 − 3,1 = 1,1 m van S.

\begin{aligned} F_\text{veer} &= \frac{1977}{1{,}1} \\ &= 1{,}8 \cdot 10^3\ \text{N} \end{aligned}

c De duiker drukt de rechterkant omlaag; de linkerkant wil daardoor omhoog. De veer moet de linkerkant naar beneden trekken: de veer wordt uitgerekt.

Opdracht 26

\begin{aligned} 0{,}200 \times 6{,}5 &= 0{,}050 \times r \\ r &= 26\ \text{cm} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{S} &= (0{,}200 + 0{,}050) \times 9{,}81 \\ &= 2{,}5\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F &= \frac{0{,}200 \times 9{,}81 \times 0{,}065}{0{,}15} \\ &= 0{,}85\ \text{N} \end{aligned}

d Bij b werkt de kracht in S omhoog. Bij c moet jouw kracht omhoog werken (de massa links laat de strip linksom draaien; omhoog duwen 15 cm links van S draait terug).

Opdracht 27

a De zwaartekracht (in het midden, 1,9 m van het linkeruiteinde, dus 1,3 m rechts van S) en de kracht van het paaltje (2,6 m rechts van S, omhoog).

Boven: de slagboom op het paaltje, met de armen van F_z (1,3 m) en F_paal (2,6 m). Onder: Fred houdt de boom onder 20°; de arm van F_z wordt 1,22 m en die van F is 2,2 m.

\begin{aligned} F_\text{z} &= 9{,}4 \times 9{,}81 \\ &= 92{,}2\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{paal} &= \frac{92{,}2 \times 1{,}3}{2{,}6} \\ &= 46\ \text{N} \end{aligned}

d De krachten zijn F_z en F (loodrecht op de boom, 1,0 m van het eind, dus 2,2 m van S). De arm van F_z is nu horizontaal gemeten:

\begin{aligned} r_\text{z} &= 1{,}3 \times \cos 20^\circ \\ &= 1{,}22\ \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} F &= \frac{92{,}2 \times 1{,}22}{2{,}2} \\ &= 51\ \text{N} \end{aligned}

Opdracht 28

a en b De normaalkrachten werken verticaal omhoog door P en door Q. Meet in de figuur: de arm van F_z ten opzichte van Q is 0,41 cm, die van F_P is 2,52 cm.

\begin{aligned} F_\text{z} &= 4500 \times 9{,}81 \\ &= 4{,}41 \cdot 10^4\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{P} &= \frac{4{,}41 \cdot 10^4 \times 0{,}41}{2{,}52} \\ &= 7\ \text{kN} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{Q} &= 44 - 7 \\ &= 37\ \text{kN} \end{aligned}

De normaalkrachten in P en Q naast de zwaartekracht, in de juiste verhouding.

e Het draaipunt is P (de voorwielen): daar kantelt de heftruck over.

f Het moment van de zwaartekracht op de heftruck (die rechts van P aangrijpt) en het moment van de last aan de grijparm (in M, links van P).

g Ten opzichte van P: de arm van F_z is 2,1 cm, de arm van de last is 3,2 cm.

\begin{aligned} F_\text{last} &= \frac{4{,}41 \cdot 10^4 \times 2{,}1}{3{,}2} \\ &= 2{,}9 \cdot 10^4\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} m &= \frac{2{,}9 \cdot 10^4}{9{,}81} \\ &= 3{,}0 \cdot 10^3\ \text{kg} \end{aligned}

Dat is ongeveer 33 platen van 90 kg. Omdat de heftruck niet mag kantelen, rond je naar beneden af; het boek vindt met zijn meting 32 platen. Kleine afleesverschillen geven hier één plaat verschil.

h Neem Q als draaipunt. Hoe kleiner de arm van de last ten opzichte van Q, hoe kleiner het moment dat F_P moet opheffen. De banden bij P worden minder ingedrukt.

Opdracht 29

a Neem S als draaipunt. F_z = 6900 × 9,81 = 6,77 · 10⁴ N, arm 2,0 m. Het neuswiel zit 12,0 m van S.

\begin{aligned} F_\text{neus} &= \frac{6{,}77 \cdot 10^4 \times 2{,}0}{12{,}0} \\ &= 11\ \text{kN} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{S} &= 67{,}7 - 11{,}3 \\ &= 56{,}4\ \text{kN} \end{aligned}

Per wiel: 56,4 / 2 = 28 kN.

Opdracht 30

\begin{aligned} 1{,}65 \times 12{,}5 &= 2{,}22 \times r \\ r &= 9{,}3\ \text{cm rechts van het draaipunt} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{D} &= (0{,}200 + 1{,}65 + 2{,}22) \times 9{,}81 \\ &= 39{,}9\ \text{N} \end{aligned}

c Het blok links laat de hefboom linksom draaien; de unster moet links omhoog trekken.

\begin{aligned} r &= \frac{1{,}65 \times 9{,}81 \times 0{,}125}{14{,}8} \\ &= 13{,}7\ \text{cm links van het draaipunt} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{D} &= (0{,}200 + 1{,}65) \times 9{,}81 - 14{,}8 \\ &= 3{,}3\ \text{N, omhoog} \end{aligned}

e B. Een schuine kracht heeft een kleinere arm (de loodrechte afstand tot de werklijn is kleiner). Voor hetzelfde moment is dan een grotere kracht nodig, welke kant je de unster ook op houdt.

8.3 Evenwichtsvoorwaarden nagekeken?

8 opdrachten

Zo pak je het aan

Hefbomen in je lichaam: het gewricht is het draaipunt, de spier levert de kracht. De arm van een spier is klein, dus de spierkracht is veel groter dan de last. Gebruik de hefboomwet en daarna F_res = 0 voor de kracht in het gewricht.

Opdracht 31

dicht bij; kleiner; kleiner

Opdracht 32

a de pols

b de knie

c de elleboog (je onderarm) of de schouder (je hele arm)

d de heup

e het gewricht tussen schedel en bovenste halswervel (je nek)

f het kaakgewricht

Opdracht 33

a Het meisje oefent een kracht van 100 N uit op de halter. Volgens de derde wet oefent de halter een even grote kracht uit op het meisje: 100 N.

b Tegengesteld aan haar kracht: schuin omlaag.

c Meet de armen ten opzichte van het draaipunt: r_spier = 0,52 cm, r_halter = 2,96 cm (de loodrechte afstand tot de werklijn door A).

\begin{aligned} \frac{F_\text{halter}}{F_\text{spier}} &= \frac{r_\text{spier}}{r_\text{halter}} \\ &= \frac{0{,}52}{2{,}96} \\ &= 0{,}18 \end{aligned}

Teken in A een pijl die 0,18 keer zo lang is als de pijl van F_spier, langs de werklijn schuin omlaag (weg van haar hand).

De kracht van de halter in A is 0,18 keer zo lang als F_spier, omdat zijn arm 5,7 keer zo groot is.

Opdracht 34

a In het midden van het doosje, 2,5 cm van de zijkant en 5,0 cm boven de bodem.

b Het doosje kantelt als de verticale lijn door het zwaartepunt precies door S gaat.

\begin{aligned} \tan \alpha &= \frac{2{,}5}{5{,}0} \\ \alpha &= 27^\circ \end{aligned}

c Het zand zakt naar de bodem: het zwaartepunt ligt lager. De verticale lijn door het zwaartepunt komt dan pas bij een grotere hoek buiten S.

Opdracht 35

a S is het draaipunt. Het touw zit 34 + 40 = 74 cm van S; de spankracht is m · g.

\begin{aligned} m \times 0{,}74 &= 14{,}3 \times 0{,}34 \\ m &= 6{,}6\ \text{kg} \end{aligned}

b Op het been werkt 14,3 × 9,81 = 140 N omlaag en 6,57 × 9,81 = 64 N omhoog. Voor F_res = 0 is in S nog 76 N omhoog nodig.

Opdracht 36

De arm van de bicepskracht: de loodlijn uit S op de werklijn door R. Met de getekende hoek is die ongeveer 1,6 cm.

b Meet: arm van de biceps 1,6 cm, arm van F_bal (ST) 7,3 cm.

\begin{aligned} \frac{r_\text{biceps}}{r_\text{bal}} &= \frac{1{,}6}{7{,}3} \\ &\approx 1 : 4{,}5 \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{biceps} &= 8{,}0 \times 9{,}81 \times 4{,}5 \\ &= 3{,}5 \cdot 10^2\ \text{N} \end{aligned}

Opdracht 37

De voet als hefboom met draaipunt S: de achillespees trekt in R omhoog, de vloer duwt in T omhoog, het onderbeen drukt in S omlaag.

b S is het draaipunt.

\begin{aligned} F_\text{pees} &= \frac{631 \times 17{,}3}{5{,}0} \\ &= 2{,}2 \cdot 10^3\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{S} &= 2183 + 631 \\ &= 2{,}8 \cdot 10^3\ \text{N, omlaag} \end{aligned}

d C: ze zijn groter dan de zwaartekracht op de persoon (631 N).

Opdracht 38

a Meet de arm van de schouderkracht: de loodrechte afstand van S tot de schuine werklijn is 1,0 cm in de tekening. De 60 cm-pijl is 4,2 cm, dus de schaal is 1 cm ≙ 14 cm; de arm is 9,4 cm.

\begin{aligned} m &= \frac{1800 \times 0{,}094}{0{,}40 \times 9{,}81} \\ &= 43\ \text{kg} \end{aligned}

b F_z = 43 × 9,81 = 4,2 · 10² N. Tel de schouderkracht en de zwaartekracht op; de kracht in S is daaraan tegengesteld.

De vectorsom van de schouderkracht en de zwaartekracht; de kracht in S is even groot en tegengesteld: ongeveer 1,8 kN, bijna horizontaal.

F_S ≈ 1,8 kN.

8.4 Menselijk lichaam nagekeken?

6 opdrachten

Gemengd 39

a De spankracht moet het moment van de zwaartekracht opheffen. Hoe groter de arm van de spankracht (de loodrechte afstand van C tot het koord), hoe kleiner de spankracht die voor hetzelfde moment nodig is. Bij A loopt het koord steiler en ligt de werklijn verder van C: de arm is groter. In A is de spankracht het kleinst.

b en c

De werklijnen en armen van de spankracht en de zwaartekracht ten opzichte van C.

In de tekening: arm van F_z = 1,3 cm (halve plank), arm van F_span = 1,8 cm.

\begin{aligned} F_\text{z} &= 7{,}6 \times 9{,}81 \\ &= 74{,}6\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{span} &= \frac{74{,}6 \times 1{,}3}{1{,}8} \\ &= 54\ \text{N} \end{aligned}

Gemengd 40

a A: de plank draait om het linkeruiteinde van de kist (S_A, links). B: de plank draait om de rechterrand van de kist (S_B, op 0,80 m).

A: spijker 0,40 m, spierkracht 2,40 m.
B: spijker 0,80 − 0,40 = 0,40 m, spierkracht 2,40 − 0,80 = 1,60 m.

\begin{aligned} F_\text{A} &= \frac{360 \times 0{,}40}{2{,}40} \\ &= 60\ \text{N} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{B} &= \frac{360 \times 0{,}40}{1{,}60} \\ &= 90\ \text{N} \end{aligned}

Bij A is de kleinste kracht nodig.

Gemengd 41

a Vergelijk in de foto de jongeman met de balk van 3,80 m: hij is ongeveer half zo lang. Zijn lengte met gestrekte armen is ongeveer 2,0 m.

\begin{aligned} \rho &= \frac{89}{3{,}80 \times 0{,}030} \\ &= 7{,}8 \cdot 10^2\ \text{kg/m}^3 \end{aligned}

Binas 10: eikenhout heeft 0,78 · 10³ kg/m³.

c Het rechteruiteinde wordt lichter. Het moment rechts van het ophangpunt wordt kleiner: de balk kantelt; de kant met de jongeman zakt.

d B: de spankracht omhoog tussen de twee krachten in, met F_man het kortst en F_balk in het midden van de balk, en F_touw even lang als de twee samen.

e In de foto: arm van F_balk 0,85 cm, arm van F_man 1,45 cm.

\begin{aligned} m &= \frac{89 \times 0{,}85}{1{,}45} \\ &= 52\ \text{kg} \end{aligned}

\begin{aligned} F_\text{span} &= (89 + 52) \times 9{,}81 \\ &= 1{,}4 \cdot 10^3\ \text{N} \end{aligned}

Gemengd 42

a Meet de armen ten opzichte van het draaipunt: auto 3,1 cm (horizontaal tot de kabel), zwaartepunt takelwagen 0,60 cm.

\begin{aligned} m &= \frac{865 \times 3{,}1}{0{,}60} \\ &= 4{,}5 \cdot 10^3\ \text{kg} \end{aligned}

b Zolang de auto in het water hangt, helpt de opwaartse kracht mee. Komt hij uit het water, dan valt die weg en zit er bovendien nog water in de auto: de kracht op de kabel wordt ineens veel groter. Ook kan de auto even schommelen of loskomen uit de zuigende modder.

c Het draaipunt moet dichter bij de auto komen: dan wordt de arm van de auto kleiner en die van de takelwagen groter. Bijvoorbeeld uitschuifbare steunpoten aan de kant van het water, of een tegengewicht aan de andere kant.

Gemengd 43

a Gelijkvormige driehoeken:

\begin{aligned} s &= 1{,}5 \times \frac{8{,}23 \cdot 10^{16}}{3{,}00 \cdot 10^{12}} \\ &= 4{,}1 \cdot 10^4\ \text{m} \end{aligned}

Dat is 41 km. (Achterin het boek staat '4,1 · 10³ kg': dat is een drukfout.)

De gravitatiekrachten op Sirius A en Sirius B zijn even groot en tegengesteld. De kracht op B is ontbonden in een component langs de baan en een component loodrecht op de baan.

De component van de kracht langs de baan wijst in de bewegingsrichting van Sirius B (B beweegt naar A toe). Daardoor neemt de snelheid toe.

Gemengd 44

a en b Meet in de figuur: arm van F_z ten opzichte van R is 3,7 cm, arm van F_L is 3,1 cm. Pijllengtes: F_z 2,8 cm, F_L 3,3 cm.

\begin{aligned} M_\text{z} &= 2{,}8 \times 3{,}7 \\ &= 10\ \text{(cm}^2\text{)} \end{aligned}

\begin{aligned} M_\text{L} &= 3{,}3 \times 3{,}1 \\ &= 10\ \text{(cm}^2\text{)} \end{aligned}

De momenten zijn (binnen de meetnauwkeurigheid) even groot en tegengesteld: de steel is in evenwicht.

Verplaats F_z en F_L naar R en tel ze op (kop-staart). De kracht van de rechterhand is daaraan tegengesteld: schuin naar rechts omhoog, ongeveer even groot als F_z.

Gemengde opgaven nagekeken?

Grootheid	Symbool	Eenheid
kracht	$F$	newton (N)
zwaartekracht	$F_\text{z}$	newton (N)
gewicht	$F_\text{g}$	newton (N)
massa	$m$	kilogram (kg)
arm	$r$	meter (m)
moment	$M$	newtonmeter (N m)

Formule	Betekenis	Bron	Les
$\displaystyle M = F \cdot r$	moment van een kracht	Binas	8.2a
$\displaystyle F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2$	hefboomwet	Binas	8.3a

Krachten in evenwicht

Grootheden en eenheden

Formules