Een numeriek model voor planeetbanen
In een inhomogeen gravitatieveld heb je geen formules om op elk tijdstip de snelheid en plaats van een voorwerp te berekenen. Met een numeriek model kan dat wel.
Na deze les kun je
- de componenten van de gravitatiekracht bepalen met gelijkvormige driehoeken
- de modelregels van het numerieke model uitleggen
- beschrijven welke banen ontstaan bij verschillende beginsnelheden
De gravitatiekracht in twee componenten
Een planeet P met coördinaten (x, y) beweegt in een plat vlak rond de zon, die in de oorsprong O staat. Kracht, versnelling en snelheid hebben daarom steeds twee componenten: één in de x-richting en één in de y-richting. De afstand tot de zon is:
De componenten van de gravitatiekracht bereken je met de gelijkvormigheid van de driehoek gevormd door de kracht en zijn componenten, en de driehoek gevormd door r, x en y:
Het model
| Modelregel | Betekenis |
|---|---|
| r = √(x2 + y2) | afstand tot de zon |
| Fg = −G·m·M / r2 | gravitatiekracht; het minteken richt de kracht naar de zon |
| Fg,x = Fg · x / r Fg,y = Fg · y / r | componenten van de kracht (gelijkvormige driehoeken) |
| ax = Fg,x / m ay = Fg,y / m | versnelling in x- en y-richting (tweede wet van Newton) |
| vx = vx + ax · dt vy = vy + ay · dt | nieuwe snelheid na een tijdstap dt |
| x = x + vx · dt y = y + vy · dt | nieuwe plaats |
| t = t + dt | de tijd loopt door; dan begint de berekening opnieuw |
Startwaarden in het model: G = 6,67·10−11 N m² kg−2, m = 6,0·1024 kg, M = 2,0·1030 kg, x = 0, y = 1,5·1011 m, vy = 0 en een beginsnelheid vx. De tijdstap is dt = 1·105 s.
Banen bij verschillende beginsnelheden
- a. Bij een beginsnelheid van 15·10³ m/s: een ellips (de binnenste baan).
- b. Bij 30·10³ m/s: een cirkelbaan.
- c. Bij 35·10³ m/s: weer een ellips, nu groter.
- d. Bij 45·10³ m/s: een open baan, een hyperbool.
De beginplaats is steeds dezelfde; alleen de beginsnelheid verschilt. Is de snelheid groter dan de ontsnappingssnelheid, dan ontstaat een open baan.
Vergeet het minteken in Fg niet: dat zorgt ervoor dat de kracht naar de zon wijst. Zonder minteken zou de planeet weggeduwd worden.
Snap je het?
Waarom heb je voor een planeetbaan een numeriek model nodig?
Een planeet staat op (x, y) = (3,0·10¹¹ m, 4,0·10¹¹ m). Welk deel van Fg is de x-component?
Hiermee heb je hoofdstuk 8 afgerond. In de formules van hoofdstuk 8 zie je welke formules in Binas staan en welke je zelf moet kunnen afleiden.
Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.