Energiebehoud en de ontsnappingssnelheid
In het zonnestelsel is er meestal geen luchtweerstand. Dan blijft de mechanische energie, kinetische plus gravitatie-energie, constant. Daarmee verklaar je snelheden in een ellipsbaan en bereken je hoe snel een raket moet om te ontsnappen.
Na deze les kun je
- de wet van behoud van mechanische energie toepassen met Ek en Eg
- uitleggen waarom een planeet in het perihelium het snelst gaat
- de formule voor de ontsnappingssnelheid afleiden en gebruiken
- de ontsnappingssnelheid vergelijken met de baansnelheid
De wet van behoud van energie
Energie is een behouden grootheid. Zonder luchtweerstand is de som van gravitatie-energie en kinetische energie, de mechanische energie, constant. Beweegt een planeet in zijn baan van punt A naar punt B, dan geldt:
Voor een planeet in een (bijna) cirkelbaan met straal r is de totale mechanische energie:
| Fmpz = Fg | in een cirkelbaan levert de gravitatiekracht de middelpuntzoekende kracht |
| m · v2 / r = G · m·M / r2 | vul Fmpz = m·v²/r en de gravitatiewet in Binas |
| v2 = G · M / r | deel door m en vermenigvuldig met r |
| Ek = ½ · m · v2 = ½ · G · m·M / r | vul v2 in in de formule voor de kinetische energie Binas |
| Eg = −G · m·M / r | gravitatie-energie Binas |
| Etot = Ek + Eg = ½ · G·m·M / r − G·m·M / r | tel kinetische energie en gravitatie-energie op |
| Etot = −G · m·M / 2r | de helft min het geheel is min de helft |
In een cirkelbaan is r constant, dus Etot heeft in elk punt dezelfde waarde.
Snelheid in een ellipsbaan
Ook in een ellipsbaan is Etot constant. Uit de wet van behoud van energie volgt:
- In het perihelium is r minimaal. Dan is G·mM/r maximaal, dus is ook ½mv² en daarmee v maximaal.
- In het aphelium is de snelheid op dezelfde manier minimaal.
Bij Mercurius is dat snelheidsverschil opvallend groot, omdat Mercurius de meest langgerekte baan van alle planeten heeft.
In het perihelium is rP = 46,0·109 m; in het aphelium is rA = 69,8·109 m en de snelheid vA = 39,8·103 m/s. Bereken vP.
- Ek,A + Eg,A = Ek,P + Eg,P: ½m·vA2 − G·m·M/rA = ½m·vP2 − G·m·M/rP.
- Deel alle termen door m: ½vA2 − G·M/rA = ½vP2 − G·M/rP.
- Massa van de zon uit Binas tabel 32C: M = 1,988·1030 kg. Invullen: 7,92·108 − 1,901·109 = ½vP2 − 2,884·109.
- ½vP2 = 17,75·108, dus vP = 59,6·103 m/s.
De ontsnappingssnelheid
Bij een verticale worp omhoog wordt kinetische energie omgezet in gravitatie-energie. Hoe meer kinetische energie het voorwerp meekrijgt, hoe hoger het komt. De beginsnelheid die een voorwerp minstens moet hebben om oneindig ver van de aarde te komen, heet de ontsnappingssnelheid vo (o van ontsnapping).
Een raket start in punt A op het aardoppervlak (r = RA) en beweegt naar punt B, oneindig ver weg. Onderweg wordt voortdurend kinetische energie omgezet in gravitatie-energie. In B is alle kinetische energie omgezet: Ek,B = 0 en ook Eg,B = 0, dus Etot = 0.
| Etot = Ek,A + Eg,A = Ek,B + Eg,B = 0 | wet van behoud van mechanische energie, geen luchtweerstand |
| ½m·vo2 − G·m·MA / RA = 0 | vul Ek en Eg in punt A in |
| vo = √(2G·M / R) | maak vo vrij; geldt voor elke planeet (of ster) |
Waarden voor de ontsnappingssnelheid vanaf de planeten en de zon vind je in Binas tabel 31 en 32C.
- Binas tabel 31: MA = 5,972·1024 kg en RA = 6,371·106 m.
- vo = √(2 × 6,674 30·10−11 × 5,972·1024 / 6,371·106) = 11,2·103 m/s. Controle in Binas tabel 31: 11,2·10³ m/s.
- Vanaf een cirkelbaan met straal r is vo = √(2G·M/r). De baansnelheid daar is vb = √(G·M/r). Vergelijk: vo/vb = √2.
Welke aanpak kies je? Weet je zeker dat het om een cirkelbeweging gaat, gebruik dan Fg = Fmpz. Verandert de afstand, zoals bij een naderende komeet, gebruik dan energiebehoud: Etot,1 = Etot,2, dus Ek,1 + Eg,1 = Ek,2 + Eg,2.
Verwar de ontsnappingssnelheid niet met de baansnelheid: op dezelfde afstand is de ontsnappingssnelheid √2 keer zo groot.
Snap je het?
Een komeet nadert de zon. Wat gebeurt er met zijn snelheid, en waarom?
Van welke grootheden hangt de ontsnappingssnelheid vanaf een planeet af?
In les 8.4a gebruik je de ontsnappingssnelheid om open en gesloten banen te onderscheiden.
Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.