Planeetbanen en de formule van Kepler
Uit metingen van Brahe vond Kepler dat planeten ellipsbanen doorlopen, en dat er een verband is tussen de afstand tot de zon en de omlooptijd. Newton kon dat verband met zijn gravitatiewet bewijzen.
Na deze les kun je
- beschrijven hoe planeten rond de zon bewegen
- uitleggen dat de gravitatiekracht de middelpuntzoekende kracht levert
- de formule voor de baansnelheid afleiden
- de formule van Kepler afleiden
Dit weet je al
De gravitatiewet (les 8.1a) en de eenparige cirkelbeweging.
Planeetbanen
De Deen Brahe heeft jarenlang nauwkeurig de posities van planeten gemeten. Daarmee kon de Duitser Kepler wetmatigheden over planeetbanen afleiden:
- Planeten doorlopen ellipsbanen. Het punt waar de planeet het dichtst bij de zon is heet het perihelium, het punt waar hij het verst weg is het aphelium.
- Hoe verder een planeet van de zon staat, hoe groter zijn omlooptijd T. Kepler vond een verband tussen de gemiddelde afstand tot de zon en de omlooptijd. Een natuurkundige verklaring had hij niet; die leverde Newton later met zijn gravitatiewet.
Planeetbanen benaderd als cirkelbanen
In de praktijk zijn planeetbanen lang niet zo uitgerekt als in de figuur. Je kunt ze vrijwel als cirkelbanen opvatten. Twee belangrijke kenmerken zijn de baanstraal r en de omlooptijd T. Daarmee bereken je de baansnelheid:
Voor een eenparige cirkelbeweging is een middelpuntzoekende kracht nodig:
Bij planeetbewegingen levert de gravitatiekracht die middelpuntzoekende kracht: Fg = Fmpz. Hetzelfde geldt voor een maan of satelliet rond een planeet.
De baansnelheid afleiden
| m·v2 / r = G · M·m / r2 | Fmpz = Fg |
| v2 / r = G · M / r2 | links en rechts delen door m |
| v2 = G · M / r | links en rechts vermenigvuldigen met r (formule 2a) |
| v = √(G · M / r) | neem de wortel (formule 2) |
In deze formule komt de omlooptijd niet voor. De massa m van de planeet of satelliet is weggevallen.
De formule van Kepler afleiden
Voor ellipsbanen is de formule wiskundig lastig af te leiden, maar voor cirkelbanen kan het. Combineer de twee uitdrukkingen voor dezelfde snelheid:
| v2 = 4π2·r2 / T2 | kwadrateer v = 2πr/T (1) |
| 4π2·r2 / T2 = G · M / r | uit (1) en v² = GM/r (2a) |
| 4π2·r3 / T2 = G · M | links en rechts vermenigvuldigen met r |
| r3 / T2 = G · M / 4π2 | links en rechts delen door 4π² |
De formule van Kepler vind je in Binas tabel 35 A5, in de kolom overige. Je moet de afleiding wel zelf kunnen geven. De formule zegt: r3 en T2 zijn recht evenredig.
De gravitatiekracht en de middelpuntzoekende kracht zijn geen twee verschillende krachten die elkaar opheffen. De gravitatiekracht levert de benodigde middelpuntzoekende kracht: op de tekening staat één pijl.
Snap je het?
Waar is de snelheid van een planeet het grootst: in het perihelium of in het aphelium?
Twee satellieten draaien in dezelfde cirkelbaan; de ene is drie keer zo zwaar. Welke is sneller?
In de volgende les reken en redeneer je met deze formules, en kijk je naar kometen.
Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.