Gravitatie-energie
Behalve met krachten kun je bewegingen ook met energie bestuderen. Dicht bij de aarde gebruik je zwaarte-energie. Verder weg neemt de gravitatiekracht af, en heb je gravitatie-energie nodig.
Na deze les kun je
- uitleggen dat de arbeid van de zwaartekracht gelijk is aan het verlies aan zwaarte-energie
- rekenen met de formule voor gravitatie-energie
- uitleggen waarom gravitatie-energie negatief is
- de arbeid van de gravitatiekracht bepalen met energie of met een (Fg,r)-diagram
Zwaarte-energie op aarde
Een raket daalt met constante snelheid van punt B naar punt A, over een afstand h. Boven het aardoppervlak is de valversnelling constant in richting en grootte, dus werkt er een constante zwaartekracht Fz. Met de grond als nulpunt:
| Ez,B − Ez,A = m·g·hB − m·g·hA | zwaarte-energie in B en in A |
| Ez,B − Ez,A = m·g·(hB − hA) = Fz · h | met h = hB − hA |
| Wz = Ez,B − Ez,A | het verlies aan zwaarte-energie is de arbeid van de zwaartekracht |
Zwaarte-energie is een speciaal geval van potentiële energie: de algemene naam voor de energie die een voorwerp heeft door zijn plaats in een ruimte waarin een kracht werkt.
Gravitatie-energie in het heelal
Zowel de zon als de planeten hebben een gravitatieveld. Beweegt een voorwerp in het veld van de aarde van B naar A, dan neemt de afstand tot het middelpunt af van rB naar rA en verricht de gravitatiekracht arbeid Wg. De potentiële energie heet hier gravitatie-energie Eg, en net als bij de dalende raket geldt:
| Wz = Ez,B − Ez,A | dicht bij de aarde: de arbeid van de zwaartekracht is gelijk aan het verlies aan zwaarte-energie (de afleiding hierboven) |
| Fz = Fg | de zwaartekracht is dezelfde kracht als de gravitatiekracht; de potentiële energie heet in het heelal gravitatie-energie Eg |
| Wg = Eg,B − Eg,A | dus geldt op dezelfde manier: arbeid van B (begin) naar A (eind) = gravitatie-energie aan het begin min die aan het eind |
De gravitatiekracht is een veranderlijke kracht, dus je kunt Wg niet zomaar met W = F·s berekenen. Met integraalrekening vind je de formule voor de gravitatie-energie:
- De formule geldt ook voor een planeet op afstand r van de zon; dan is M de massa van de zon en m die van de planeet.
- Het nulniveau van de gravitatie-energie ligt, anders dan bij zwaarte-energie, op oneindig grote afstand: als r → ∞, dan Eg → 0.
- Voor eindige r is de gravitatie-energie dus negatief. Nadert het voorwerp de planeet, dan wordt r kleiner en Eg meer negatief: de gravitatie-energie neemt af.
Vul Eg = −G·m·M/r in: Wg = Eg,B − Eg,A = G·m·M · (1/rA − 1/rB). Omdat rA < rB is 1/rA groter dan 1/rB, dus Wg is positief. Dat klopt: van B naar A beweegt het voorwerp naar de planeet toe, in de richting van de gravitatiekracht.
Kort gezegd: gravitatie-energie is een vorm van zwaarte-energie die rekening houdt met het afnemen van de gravitatiekracht bij toenemende hoogte.
Arbeid uit een (Fg,r)-diagram
De arbeid die Fg verricht bij een verplaatsing van B naar A is gelijk aan de oppervlakte onder de (Fg,r)-grafiek tussen rA en rB. Die oppervlakte is ongeveer Fg,gem · (rB − rA): de rechthoek ABCD. Schat je Fg,gem goed, dan bedekt de rechthoek precies evenveel te veel als te weinig.
In les 6.1b zag je dat de arbeid van een veranderlijke kracht de oppervlakte onder de (F,s)-grafiek is. Hier is het precies zo: de kracht is Fg en de verplaatsing loopt van rB naar rA.
Van −100 J naar −40 J is een toename van 60 J. Gaat een voorwerp van de planeet af, dan neemt Eg dus toe.
Snap je het?
Een ruimtesonde beweegt van de aarde af. Neemt de gravitatie-energie toe of af?
Waarom kun je de arbeid van de gravitatiekracht over een grote afstand niet berekenen met W = F·s?
In de volgende les gebruik je de wet van behoud van energie met Ek en Eg, voor planeetbanen en voor de ontsnappingssnelheid.
Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.