Eduqaleeromgeving
Leeromgeving Natuurkunde · 5 vwo H8 Hemelmechanica
0%
Leeromgeving›Natuurkunde›5 vwo›H8 Hemelmechanica›8.1b
Hoofdstuk 8 · Les 2 van 8

De valversnelling op planeten en het gravitatieveld

Met de gravitatiewet kun je de valwetten van Galilei verklaren. Je leidt af hoe de valversnelling afhangt van de massa en de straal van een planeet.

15 min

Na deze les kun je

  • de formule voor de valversnelling aan het oppervlak afleiden
  • met g en R de massa en de dichtheid van de aarde berekenen
  • redeneren hoe g afhangt van M en R
  • uitleggen wat een gravitatieveld is en wanneer het homogeen is

Dit weet je al

De gravitatiewet en de zwaartekracht (les 8.1a).

De valversnelling op planeten

Een voorwerp met massa m op het aardoppervlak bevindt zich op een afstand R = 6,371·106 m van het middelpunt van de aarde. De aarde oefent er een gravitatiekracht op uit. Maar dat is dezelfde kracht als de zwaartekracht. Dus mag je ze gelijkstellen:

Valversnelling aan het oppervlakZelf afleiden
Fg = Fzde gravitatiekracht is hier dezelfde kracht als de zwaartekracht
G · m·M / R2 = m · gvul beide formules in
g = G · M / R2deel links en rechts door m

g hangt niet af van de massa m van het voorwerp. Op dezelfde plaats is g dus voor alle voorwerpen gelijk, precies wat Galilei had gevonden. Voor een andere planeet vul je voor M de massa en voor R de straal van die planeet in.

Door de draaiing en de afplatting van de aarde verschilt g wel per plaats op aarde: maximaal op de noordpool (9,83 m/s²) en minimaal op de evenaar (9,78 m/s²).

✎Voorbeeld: de dichtheid van de aarde

Bereken met R, G en g uit Binas de dichtheid van de aarde.

  1. Uit m·g = G·m·M/R2 volgt M = g·R2/G.
  2. M = 9,81 × (6,371·106)2 / 6,674·10−11 = 5,966·1024 kg.
  3. Volume: V = (4/3)·π·r3 = (4/3)·π × (6,371·106)3 = 1,083·1021 m³.
  4. ρ = M/V = 5,51·103 kg/m³. Binas tabel 31 geeft 5513 kg/m³: dat klopt.
✎Voorbeeld: redeneren met g op Jupiter

De massa van Jupiter is 318 keer die van de aarde, de straal 11 keer zo groot. Hoe verhoudt g op Jupiter zich tot g op aarde?

  1. g en M zijn recht evenredig: 318 keer zo groot.
  2. g en R² zijn omgekeerd evenredig: 11² = 121 keer zo klein.
  3. gJ / gA = 318 / 121 = 2,6.

De valversnelling op hoogte

Op een hoogte h boven het oppervlak is de afstand tot het middelpunt R + h. Dan geldt:

g = G · M(R + h)2
Valversnelling tegen afstandDe valversnelling daalt met het kwadraat van de afstand tot het middelpunt van de aarde.1R2R3R4R5R6R0246810binnende aarde9,81 m/s² aan het oppervlak2,45 m/s²: een kwart1,09 m/s²: een negenderg (m/s²)
Op afstand r = R + h geldt g = G·M/(R + h)². Twee keer zo ver van het middelpunt: een kwart van de valversnelling.

g neemt dus af op grotere hoogte. Is h kleiner dan 0,01·R, dan is die verandering verwaarloosbaar klein: tot die hoogte mag je g als constant beschouwen.

Het gravitatieveld

De ruimte rond een hemellichaam met massa M heet een gravitatieveld. Een voorwerp met massa m dat je erin plaatst, ondervindt een gravitatiekracht. Dat veld is er altijd, ook als er geen voorwerp is. (Naast gravitatievelden bestaan er ook elektrische en magnetische velden.)

De sterkte van het gravitatieveld in een punt is de gravitatiekracht per kilogram:

Fgm = gEen voorwerp met massa m ondervindt dus een kracht Fg = m·g, met g de veldsterkte op die plek.

Dit is de definitie van de sterkte van het gravitatieveld. Het boek schrijft hem met vectoren, F⃗g / m = g⃗: de veldsterkte heeft ook een richting, naar het middelpunt van het hemellichaam toe.

Gravitatieveld rond de aardeLinks pijlen rond de aarde die allemaal naar het middelpunt wijzen; rechts een uitvergroot klein gebied met evenwijdige, even lange pijlen omlaag.inhomogeen: richting en grootte variërenklein gebied: homogeen
Rond de hele aarde wijst de veldsterkte naar het middelpunt en verschilt ze in grootte: inhomogeen. In een klein gebied bij het oppervlak is ze overal even groot en even gericht: homogeen.

Rond de hele aarde varieert de veldsterkte in grootte en richting: een inhomogeen veld. In een klein gebied rond een punt op het aardoppervlak is de valversnelling constant in grootte en richting: daar is het veld homogeen.

≈Wat de formule je vertelt

Houd G en g goed uit elkaar. G is de gravitatieconstante: altijd en overal dezelfde waarde. g is de valversnelling: die hangt af van de planeet of ster, van de plaats en van de hoogte boven het oppervlak.

!Pas op

g = 9,81 m/s² geldt alleen aan het aardoppervlak in Nederland. Op grote hoogte of op een andere planeet reken je g uit met G·M/r².

Even controleren

Snap je het?

Een planeet heeft twee keer de massa en twee keer de straal van de aarde. Hoe verhoudt g daar zich tot g op aarde?

Waarom vallen zware en lichte voorwerpen op dezelfde plaats even snel (zonder luchtweerstand)?

↗Hoe hangt dit samen?

In les 8.2a gebruik je het gelijkstellen van twee krachtformules opnieuw: voor de baansnelheid van een planeet.

Klaar met deze les? Zet hem op gelezen; je voortgang staat rechtsboven.