Leeromgeving›Wiskunde›5 havo wiskunde B›H3 Meetkunde

Hoofdstuk 3 · 98 opdrachten uitgewerkt

Meetkunde

Rekenen aan driehoeken: met SOS CAS TOA in rechthoekige driehoeken, met de sinus- en cosinusregel in alle andere, en met gelijkvormigheid en Pythagoras als je vergelijkingen moet opstellen.

Klik een paragraaf open, en daarna de opdracht die je wilt nakijken.

10 opdrachten

Zo pak je het aan

Alles in deze paragraaf draait om rechthoekige driehoeken. Werk elke keer in drie stappen:

Zoek de rechthoekige driehoek waarin de gevraagde hoek of zijde zit.
Benoem de zijden ten opzichte van de hoek: schuin (S, tegenover de rechte hoek), overstaand (O) en aanliggend (A).
Kies SOS, CAS of TOA: de verhouding waarin precies twee bekende of gevraagde zijden staan.

\sin(\alpha)=\frac{O}{S}\qquad \cos(\alpha)=\frac{A}{S}\qquad \tan(\alpha)=\frac{O}{A}

Ontbreekt er in die driehoek nog een zijde? Bereken die dan eerst in een andere rechthoekige driehoek. Rond tussenantwoorden niet af: gebruik Ans of het geheugen van je GR. Een hoek rond je af op één decimaal.

Opdracht V1

In △ABC ligt de rechte hoek bij C, dus AB = 6 is de schuine zijde. BC = 5 ligt tegenover ∠A: de overstaande zijde. O en S horen bij de sinus.

\sin(\angle A)=\frac{5}{6}\;\Rightarrow\;\angle A\approx 56{,}4^\circ

Opdracht V2

AC = 4 ligt tegen ∠A aan (aanliggend) en AB is de schuine zijde. A en S horen bij de cosinus.

\cos(55^\circ)=\frac{4}{AB}\;\Rightarrow\;AB=\frac{4}{\cos(55^\circ)}\approx 7{,}0

Opdracht V3

Hoek	Bekende zijden	Verhouding	Antwoord
∠A	O = BC = 3, A = AB = 5	tan(∠A) = 3/5	∠A ≈ 31,0°
∠D	O = EF = 8, S = DE = 11	sin(∠D) = 8/11	∠D ≈ 46,7°
∠I	A = HI = 4, S = GI = 10	cos(∠I) = 4/10	∠I ≈ 66,4°

Opdracht V4

Gevraagd	Hoek	Bekend	Verhouding	Antwoord
AC	∠C = 38°	S = BC = 17	AC = 17 · cos(38°)	AC ≈ 13,4
DF	∠E = 55°	A = DE = 5	DF = 5 · tan(55°)	DF ≈ 7,1
GH	∠G = 40°	O = HI = 7	GH = 7 / sin(40°)	GH ≈ 10,9

Bij GH staat de onbekende zijde onderin de breuk: sin(40°) = 7/GH, dus GH = 7/sin(40°).

Opdracht O1

Eerst BC in △ABC, daarna BD in de blauwe △BCD.

a In △ABC (rechte hoek bij B) ken je ∠A = 30° en de aanliggende zijde AB = 6. BC is de overstaande zijde, dus gebruik je de tangens.

\tan(30^\circ)=\frac{BC}{6}\;\Rightarrow\;BC=6\tan(30^\circ)\approx 3{,}464

b In △BCD is BC de overstaande zijde van ∠BDC = 40° en BD de aanliggende zijde. Dat is de tangens.

\tan(40^\circ)=\frac{BC}{BD}\;\Rightarrow\;BD=\frac{BC}{\tan(40^\circ)}=\frac{3{,}464\ldots}{\tan(40^\circ)}\approx 4{,}13

Opdracht 2

∠CDB = 180° − 110° = 70°, de blauwe driehoek BCD is rechthoekig.

a In △ACD zit geen rechte hoek. Gebruik daarom de rechthoekige △BCD. ∠CDB = 180° − 110° = 70° (gestrekte hoek).

BC=5\sin(70^\circ)=4{,}698\ldots

Nu ken je in △ABC de overstaande zijde BC en de schuine zijde AC = 10:

\sin(\angle A)=\frac{4{,}698\ldots}{10}\;\Rightarrow\;\angle A\approx 28{,}0^\circ

b De hoeken van △ACD zijn samen 180°:

\angle ACD=180^\circ-110^\circ-28{,}02\ldots^\circ\approx 42{,}0^\circ

Opdracht 3

BC volgt uit △ABC, daarna ∠BDC uit de blauwe △BCD.

Stappenplan: BC uit △ABC, dan ∠BDC uit △BCD, dan ∠ADC (gestrekte hoek), dan ∠ACD (hoekensom in △ACD).

AB=2+8=10\qquad BC=10\tan(31^\circ)=6{,}008\ldots

\tan(\angle BDC)=\frac{6{,}008\ldots}{8}\;\Rightarrow\;\angle BDC=36{,}90\ldots^\circ

\angle ADC=180^\circ-36{,}90\ldots^\circ=143{,}09\ldots^\circ \qquad \angle ACD=180^\circ-31^\circ-143{,}09\ldots^\circ\approx 5{,}9^\circ

Opdracht A4

In de blauwe △MBC zijn MB en BC te berekenen. Daarna △ABC.

In △MBC (rechte hoek bij B) is CM = 6 de schuine zijde en ∠CMB = 50°.

BC=6\sin(50^\circ)=4{,}596\ldots\qquad MB=6\cos(50^\circ)=3{,}856\ldots

M is het midden van AB, dus AB = 2 · MB = 7,713… In △ABC:

\tan(\angle BAC)=\frac{BC}{AB}=\frac{4{,}596\ldots}{7{,}713\ldots}\;\Rightarrow\;\angle BAC\approx 30{,}8^\circ

In △AMC is ∠AMC = 180° − 50° = 130°, dus

\angle ACM=180^\circ-130^\circ-30{,}78\ldots^\circ\approx 19{,}2^\circ

Opdracht A5

Bereken eerst BD, dan volgen BE en BC uit de middens.

BD=10\tan(20^\circ)=3{,}639\ldots\qquad BE=2\cdot BD=7{,}279\ldots\qquad BC=2\cdot BE=14{,}558\ldots

\tan(\angle BAE)=\frac{7{,}279\ldots}{10}\Rightarrow\angle BAE=36{,}05\ldots^\circ\qquad \tan(\angle BAC)=\frac{14{,}558\ldots}{10}\Rightarrow\angle BAC=55{,}51\ldots^\circ

\angle CAE=\angle BAC-\angle BAE\approx 19{,}5^\circ

Let op: ∠CAE is niet 2 · 20°. Een twee keer zo lange zijde geeft geen twee keer zo grote hoek.

Opdracht C1

Bereken BC en AB in △ABC, daarna ∠BAM in de blauwe △ABM.

BC=10\sin(40^\circ)=6{,}427\ldots\qquad AB=10\cos(40^\circ)=7{,}660\ldots\qquad BM=\tfrac12 BC=3{,}213\ldots

\tan(\angle BAM)=\frac{BM}{AB}=\frac{3{,}213\ldots}{7{,}660\ldots}\;\Rightarrow\;\angle BAM\approx 22{,}8^\circ

3.1 Goniometrische verhoudingen nagekeken?

16 opdrachten

Zo pak je het aan

De sinusregel gebruik je in een driehoek zonder rechte hoek:

\frac{a}{\sin(\angle A)}=\frac{b}{\sin(\angle B)}=\frac{c}{\sin(\angle C)}

Elke zijde staat samen met de hoek die er tegenover ligt. Zo'n zijde en hoek vormen een paar. De sinusregel werkt als je één paar helemaal kent, plus nog één zijde of hoek.

Stappenplan

Ken je twee hoeken, bereken dan eerst de derde: de hoeken zijn samen 180°.
Zoek een volledig bekend paar en het paar waar de onbekende in zit.
Zet de twee breuken gelijk en reken de onbekende uit.
Bereken je een hoek, kijk dan ook naar 180° min het antwoord van de GR. Er kunnen twee driehoeken zijn.

Opdracht O6

De hoogtelijn AD maakt twee rechthoekige driehoeken: ABD (blauw) en ADC (oranje).

a De hoeken van △ABC zijn samen 180°: ∠C = 180° − 48° − 76° = 56°.

b In △ABD (rechte hoek bij D) is AB = 12 de schuine zijde en AD de overstaande zijde van ∠B:

AD=12\sin(76^\circ)=11{,}643\ldots

In △ADC (rechte hoek bij D) is AC de schuine zijde en AD de overstaande zijde van ∠C:

\sin(56^\circ)=\frac{AD}{AC}\;\Rightarrow\;AC=\frac{11{,}643\ldots}{\sin(56^\circ)}\approx 14{,}04

Met de sinusregel gaat het in één stap: AC/sin(76°) = 12/sin(56°). Dat geeft hetzelfde.

Opdracht 7

∠C = 180° − 50° − 75° = 55°. Het bekende paar is AB = 6,8 met ∠C = 55°.

\frac{AC}{\sin(75^\circ)}=\frac{6{,}8}{\sin(55^\circ)}\;\Rightarrow\;AC=\frac{6{,}8\sin(75^\circ)}{\sin(55^\circ)}\approx 8{,}0

\frac{BC}{\sin(50^\circ)}=\frac{6{,}8}{\sin(55^\circ)}\;\Rightarrow\;BC=\frac{6{,}8\sin(50^\circ)}{\sin(55^\circ)}\approx 6{,}4

Opdracht 8

∠B = 180° − 70° − 60° = 50°. Het bekende paar is AC = 6 met ∠B = 50°.

AB=\frac{6\sin(60^\circ)}{\sin(50^\circ)}=6{,}783\ldots\qquad BC=\frac{6\sin(70^\circ)}{\sin(50^\circ)}=7{,}360\ldots

\text{omtrek}=6+6{,}783\ldots+7{,}360\ldots\approx 20{,}14

Opdracht 9

Hoogtelijn CD: △ACD en △BCD zijn rechthoekig.

a In △ACD (rechte hoek bij D) is CD de overstaande zijde van ∠A en AC = b de schuine zijde. Dus sin(∠A) = CD/b en CD = b sin(∠A).

b In △BCD (rechte hoek bij D) is CD de overstaande zijde van ∠B en BC = a de schuine zijde. Dus sin(∠B) = CD/a en CD = a sin(∠B).

c Beide uitdrukkingen zijn gelijk aan CD:

b\sin(\angle A)=a\sin(\angle B)\;\Rightarrow\;\frac{a}{\sin(\angle A)}=\frac{b}{\sin(\angle B)}

Je deelt beide kanten door sin(∠A) · sin(∠B).

Hoogtelijn AE: △ABE en △ACE zijn rechthoekig.

d In △ABE (rechte hoek bij E) is AE de overstaande zijde van ∠B en AB = c de schuine zijde: AE = c sin(∠B).

e In △ACE (rechte hoek bij E) is AE de overstaande zijde van ∠C en AC = b de schuine zijde: AE = b sin(∠C).

f c sin(∠B) = b sin(∠C). Deel door sin(∠B) · sin(∠C): b/sin(∠B) = c/sin(∠C).

g In c en in f staat b/sin(∠B). Allebei zijn ze dus gelijk aan hetzelfde, en je kunt ze aan elkaar rijgen:

\frac{a}{\sin(\angle A)}=\frac{b}{\sin(\angle B)}=\frac{c}{\sin(\angle C)}

Opdracht O10

De cirkel om B met straal 3 cm snijdt het been van ∠A twee keer: in C₁ en in C₂.

a Teken AB = 4 cm en ∠A = 40°. Zet je passer in B met straal 3 cm. De cirkel snijdt het been van ∠A in twee punten C₁ en C₂. Elk snijpunt geeft een driehoek met BC = 3 cm.

b Het bekende paar is BC = 3 met ∠A = 40°. AB = 4 hoort bij ∠C:

\frac{4}{\sin(\angle C)}=\frac{3}{\sin(40^\circ)}\;\Rightarrow\;\sin(\angle C)=\frac{4\sin(40^\circ)}{3}=0{,}857\ldots

De GR geeft ∠C ≈ 59,0°. Dat is de scherpe hoek bij C₂. De hoek bij C₁ is 180° − 59,0° = 121,0°. Die ziet de GR niet.

Opdracht O11

Bij een stompe ∠A valt D buiten de driehoek. In △ACD zit de nevenhoek 180° − ∠A.

a In △ACD (rechte hoek bij D) zit bij A de nevenhoek ∠CAD = 180° − ∠BAC. CD is daarvan de overstaande zijde en AC = b de schuine zijde:

CD=b\sin(180^\circ-\angle BAC)

b In △BCD (rechte hoek bij D) is CD de overstaande zijde van ∠B en BC = a de schuine zijde: CD = a sin(∠B).

c Stel beide uitdrukkingen gelijk en deel door sin(180° − ∠BAC) · sin(∠B):

b\sin(180^\circ-\angle BAC)=a\sin(\angle B)\;\Rightarrow\;\frac{a}{\sin(180^\circ-\angle BAC)}=\frac{b}{\sin(\angle B)}

Omdat sin(180° − α) = sin(α), staat hier gewoon de sinusregel. Die geldt dus ook in een stomphoekige driehoek.

Opdracht 12

∠M = 180° − 20° − 110° = 50°. Het bekende paar is LM = 5,3 met ∠K = 20°.

KL=\frac{5{,}3\sin(50^\circ)}{\sin(20^\circ)}\approx 11{,}9\qquad KM=\frac{5{,}3\sin(110^\circ)}{\sin(20^\circ)}\approx 14{,}6

Opdracht 13

a Teken AB = 5 cm en ∠B = 47°. Zet je passer in A met straal 4 cm. De cirkel snijdt het been van ∠B twee keer: één driehoek met een scherpe ∠C en één met een stompe ∠C.

Het bekende paar is AC = 4 met ∠B = 47°. AB = 5 hoort bij ∠C:

\sin(\angle C)=\frac{5\sin(47^\circ)}{4}=0{,}914\ldots

b Scherpe hoek: ∠C ≈ 66,1°, dus ∠A = 180° − 47° − 66,09…° ≈ 66,9°.

BC=\frac{4\sin(66{,}90\ldots^\circ)}{\sin(47^\circ)}\approx 5{,}0

c Stompe hoek: ∠C = 180° − 66,09…° ≈ 113,9°, dus ∠A = 180° − 47° − 113,90…° ≈ 19,1°.

BC=\frac{4\sin(19{,}09\ldots^\circ)}{\sin(47^\circ)}\approx 1{,}8

Opdracht 14

a Het bekende paar is AC = 8 met ∠B = 46°. BC = 10 hoort bij ∠A:

\sin(\angle A)=\frac{10\sin(46^\circ)}{8}=0{,}899\ldots

∠A ≈ 64,0° of ∠A = 180° − 64,04…° ≈ 116,0°. Beide kunnen: 46° + 116,0° is nog kleiner dan 180°.

b Met ∠C = 180° − 46° − ∠A:

∠A	∠C	AB = 8 sin(∠C) / sin(46°)
64,04…°	69,95…°	AB ≈ 10,4
115,95…°	18,04…°	AB ≈ 3,4

c De afstand van C tot de lijn door B is 10 · sin(46°) ≈ 7,19. Een cirkel om C met straal 7 komt dus niet aan die lijn: er is geen punt A. Ook de sinusregel laat dat zien: sin(∠A) = 10 sin(46°)/7 ≈ 1,03. Een sinus kan nooit groter dan 1 zijn.

De cirkel met straal 7 om C raakt de lijn door B niet, want de afstand is 7,19.

Opdracht 15

De afstand van C tot het andere been is 6 · sin(30°) = 3.

De kortste afstand van C tot het andere been is CH = 6 · sin(30°) = 3. Vergelijk BC met 3 en met AC = 6:

a BC < 3: de cirkel om C haalt het been niet. Geen driehoek.

b BC = 3: de cirkel raakt het been precies in H (rechthoekige driehoek). Of BC ≥ 6: het tweede snijpunt valt op of achter A en telt niet mee. In beide gevallen één driehoek.

c 3 < BC < 6: de cirkel snijdt het been twee keer aan dezelfde kant van A. Twee driehoeken.

Opdracht A16

△B₁B₂C is gelijkbenig met CB₁ = CB₂ = 7.

Het bekende paar is BC = 7 met ∠A = 52°. AC = 8 hoort bij ∠B:

\sin(\angle B)=\frac{8\sin(52^\circ)}{7}=0{,}900\ldots\;\Rightarrow\;\angle B_2=64{,}23\ldots^\circ,\quad \angle B_1=180^\circ-64{,}23\ldots^\circ

△B₁B₂C is gelijkbenig (twee zijden van 7). De hoogtelijn CF deelt B₁B₂ middendoor. In △CFB₂ geldt FB₂ = 7 cos(64,23…°):

B_1B_2=2\cdot 7\cos(64{,}23\ldots^\circ)\approx 6{,}09

Andere manier: bereken AB₂ ≈ 7,968 en AB₁ ≈ 1,883 met de sinusregel en trek ze van elkaar af.

Opdracht A17

Werk eerst in △ADC (blauw), dan in △DBC (oranje).

In △ADC: ∠ADC = 180° − 62° − 48° = 70°. In △DBC: ∠BDC = 180° − 70° = 110° en ∠B = 180° − 110° − 25° = 45°.

AC=\frac{6\sin(70^\circ)}{\sin(62^\circ)}=6{,}385\ldots\qquad AD=\frac{6\sin(48^\circ)}{\sin(62^\circ)}=5{,}049\ldots

BC=\frac{6\sin(110^\circ)}{\sin(45^\circ)}=7{,}973\ldots\qquad DB=\frac{6\sin(25^\circ)}{\sin(45^\circ)}=3{,}586\ldots

Omtrek = AC + BC + AD + DB ≈ 23,0.

Opdracht A18

W = instapplek, T = top van het rad, P = top van de Big Ben.

In △WTP is WT = 135 m, ∠T = 85° en ∠W = 78°. Dus ∠P = 180° − 85° − 78° = 17°.

a Bij het instappen zit Bram in W. WP ligt tegenover ∠T = 85°, en WT = 135 ligt tegenover ∠P = 17°:

WP=\frac{135\sin(85^\circ)}{\sin(17^\circ)}\approx 460\ \text{m}

b WP maakt een hoek van 78° met de verticale WT. In de rechthoekige △WQP is de hoogte h = PQ dus de aanliggende zijde van die 78°:

h=WP\cos(78^\circ)=459{,}98\ldots\cdot\cos(78^\circ)\approx 96\ \text{m}

Opdracht A19

Eerst AD in △ACD (blauw), daarna AB in △ADB (oranje).

∠CAD = 15° + 20° = 35°. In △ACD: ∠ADC = 180° − 35° − 70° = 75°.

AD=\frac{250\sin(70^\circ)}{\sin(35^\circ)}=409{,}57\ldots

In △ADB: ∠ABD = 180° − 20° − 130° = 30°.

AB=\frac{409{,}57\ldots\cdot\sin(130^\circ)}{\sin(30^\circ)}\approx 627{,}5\ \text{m}

Opdracht A20

Werk eerst in △BCD (blauw). Daarna in △ACD (oranje): daar zoek je eerst ∠CAD.

In △BCD: ∠BCD = 180° − 40° − 110° = 30°.

CD=\frac{4\sin(40^\circ)}{\sin(30^\circ)}=5{,}142\ldots

In △ACD: ∠ACD = 50° − 30° = 20°. Je kent AD = 5 (tegenover 20°) en CD (tegenover ∠CAD):

\sin(\angle CAD)=\frac{5{,}142\ldots\cdot\sin(20^\circ)}{5}\;\Rightarrow\;\angle CAD=20{,}59\ldots^\circ

De stompe mogelijkheid 159,4° valt af: 20° + 159,4° laat geen ruimte voor ∠ADC. Dus ∠ADC = 180° − 20° − 20,59…° = 139,40…°.

AC=\frac{5\sin(139{,}40\ldots^\circ)}{\sin(20^\circ)}\approx 9{,}51

Opdracht C2

Bij a: werk in △ADC (blauw) en △DBC (oranje).

a ∠ADC = 180° − 80° = 100°, dus ∠ACD = 180° − 50° − 100° = 30°. In △DBC: ∠BCD = 180° − 80° − 70° = 30°.

AD=\frac{4\sin(30^\circ)}{\sin(50^\circ)}=2{,}610\ldots\qquad DB=\frac{4\sin(30^\circ)}{\sin(70^\circ)}=2{,}128\ldots

AB = AD + DB ≈ 4,74.

De GR geeft de hoek bij Q₂. De stompe hoek bij Q₁ is 180° min die hoek.

b Het bekende paar is QR = 7 met ∠P = 42°. PR = 10 hoort bij ∠Q:

\sin(\angle Q)=\frac{10\sin(42^\circ)}{7}\;\Rightarrow\;\angle Q_2=72{,}92\ldots^\circ,\quad \angle PQ_1R=180^\circ-72{,}92\ldots^\circ=107{,}07\ldots^\circ

\angle PRQ_1=180^\circ-42^\circ-107{,}07\ldots^\circ\approx 30{,}9^\circ

3.2 De sinusregel nagekeken?

12 opdrachten

Zo pak je het aan

De cosinusregel heb je nodig als de sinusregel vastloopt, dus als je geen volledig paar (zijde + hoek ertegenover) kent.

a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\angle A)

Zo onthoud je hem: links staat de zijde tegenover de hoek. Rechts staan de twee andere zijden, en de hoek die ertussen ligt.

Gegeven	Gevraagd	Regel
twee zijden en de hoek ertussen	derde zijde	cosinusregel
drie zijden	een hoek	cosinusregel
een volledig paar + nog een zijde of hoek	zijde of hoek	sinusregel

Let op: bij een hoek geeft de GR met cos⁻¹ altijd meteen de goede hoek, ook als die stomp is (de cosinus is dan negatief). Bij de sinus is dat niet zo.

Opdracht O21

a In △ABC ken je geen enkele hoek. Er is dus geen volledig paar, en de sinusregel heeft niets om mee te beginnen.

b Van △PQR ken je alleen ∠P. De zijde ertegenover is QR: die is juist gevraagd. Van de andere zijden (PQ = 6 en PR = 5) ken je de hoek ertegenover niet. Ook hier is er geen volledig paar.

Opdracht 22

a Twee zijden en de ingesloten hoek ∠C geven de derde zijde AB:

AB^2=4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cos(60^\circ)=28\;\Rightarrow\;AB\approx 5{,}29

b Drie zijden: gebruik de cosinusregel twee keer en de hoekensom voor de derde hoek.

5^2=7^2+6^2-2\cdot7\cdot6\cos(\angle D)\;\Rightarrow\;\cos(\angle D)=\tfrac{60}{84}\;\Rightarrow\;\angle D\approx 44{,}4^\circ

6^2=7^2+5^2-2\cdot7\cdot5\cos(\angle E)\;\Rightarrow\;\cos(\angle E)=\tfrac{38}{70}\;\Rightarrow\;\angle E\approx 57{,}1^\circ

∠F = 180° − 44,41…° − 57,12…° ≈ 78,5°.

c ∠H = 150° ligt tussen GH en HI:

GI^2=4^2+3^2-2\cdot4\cdot3\cos(150^\circ)=45{,}78\ldots\;\Rightarrow\;GI\approx 6{,}77

d Begin met de grootste hoek: die ligt tegenover de langste zijde PR = 7 en kan stomp zijn.

7^2=5^2+4^2-2\cdot5\cdot4\cos(\angle Q)\;\Rightarrow\;\cos(\angle Q)=-\tfrac{8}{40}\;\Rightarrow\;\angle Q\approx 101{,}5^\circ

4^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos(\angle P)\;\Rightarrow\;\cos(\angle P)=\tfrac{58}{70}\;\Rightarrow\;\angle P\approx 34{,}0^\circ

∠R = 180° − 101,53…° − 34,04…° ≈ 44,4°.

Opdracht 23

De hoogtelijn h verdeelt AB in x en c − x.

a △ADC is rechthoekig bij D, met rechthoekszijden x en h en schuine zijde b. Pythagoras geeft x² + h² = b².

b △BDC is rechthoekig bij D, met rechthoekszijden c − x en h en schuine zijde a:

a^2=(c-x)^2+h^2=c^2-2cx+x^2+h^2

c Vervang x² + h² door b² (uit a): a² = c² + b² − 2cx.

d In △ADC is x de aanliggende zijde van ∠A en b de schuine zijde: cos(∠A) = x/b, dus x = b cos(∠A).

e Vul d in bij c:

a^2=b^2+c^2-2c\cdot b\cos(\angle A)=b^2+c^2-2bc\cos(\angle A)

Opdracht 24

Bij een stompe ∠A valt D buiten de driehoek, en BD = c + x.

a In △ADC (rechte hoek bij D) geeft Pythagoras x² + h² = b². In △BDC is BD = c + x:

a^2=(c+x)^2+h^2=c^2+2cx+x^2+h^2

b Vervang x² + h² door b²: a² = c² + b² + 2cx.

c In △ADC zit bij A de nevenhoek 180° − ∠A. Daarvan is x de aanliggende zijde en b de schuine zijde: x = b cos(180° − ∠A).

d Gebruik cos(180° − ∠A) = −cos(∠A). Dan is x = −b cos(∠A), en invullen bij b geeft

a^2=b^2+c^2+2c\cdot\bigl(-b\cos(\angle A)\bigr)=b^2+c^2-2bc\cos(\angle A)

Dat is precies de cosinusregel. Hij geldt dus ook in stomphoekige driehoeken.

Opdracht A25

Bereken ∠A in de blauwe △ADC, en daarmee BC in △ABC.

In △ADC ken je drie zijden, dus ∠A met de cosinusregel:

6^2=5^2+4^2-2\cdot5\cdot4\cos(\angle A)\;\Rightarrow\;\cos(\angle A)=\tfrac{5}{40}

In △ABC ken je nu AC = 5, AB = 4 + 3 = 7 en de ingesloten hoek ∠A:

BC^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot\tfrac{5}{40}=65{,}25\;\Rightarrow\;BC\approx 8{,}1

Opdracht A26

"Exact" betekent: geen afgeronde getallen, dus reken met breuken in plaats van met de hoek zelf. In △ABD ken je drie zijden:

4^2=5^2+2^2-2\cdot5\cdot2\cos(\angle B)\;\Rightarrow\;\cos(\angle B)=\tfrac{13}{20}

In △ABC is BC = 2 + 4½ = 6½. Met dezelfde ∠B:

AC^2=5^2+6{,}5^2-2\cdot5\cdot6{,}5\cdot\tfrac{13}{20}=25+42{,}25-42{,}25=25\;\Rightarrow\;AC=5

Opdracht R27

Een zijde: je kent een volledig paar én de hoek tegenover de gevraagde zijde. Meestal zijn dat twee hoeken en een zijde.
Een hoek: je kent een volledig paar én de zijde tegenover de gevraagde hoek. Dat zijn twee zijden en een hoek die niet tussen die twee zijden ligt.

Twee zijden en de ingesloten hoek: dan bereken je de derde zijde.
Drie zijden: dan bereken je een hoek.

Opdracht 28

a AB = 5, AC = 8 en de ingesloten hoek ∠A = 35°: cosinusregel.

BC^2=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cos(35^\circ)\;\Rightarrow\;BC\approx 4{,}8

b Twee hoeken bekend: ∠B = 180° − 35° − 40° = 105°. Het paar AC = 8 met ∠B = 105° is volledig: sinusregel.

BC=\frac{8\sin(35^\circ)}{\sin(105^\circ)}\approx 4{,}8\qquad AB=\frac{8\sin(40^\circ)}{\sin(105^\circ)}\approx 5{,}3

c Het paar BC = 4 met ∠A = 35° is volledig. AB = 5 hoort bij ∠C:

\sin(\angle C)=\frac{5\sin(35^\circ)}{4}\;\Rightarrow\;\angle C=45{,}80\ldots^\circ

In de figuur is ∠C scherp. Dan is ∠B = 180° − 35° − 45,80…° = 99,19…°:

AC=\frac{4\sin(99{,}19\ldots^\circ)}{\sin(35^\circ)}\approx 6{,}9

(Met een stompe ∠C = 134,2° zou AC ≈ 1,3 zijn, maar die driehoek is hier niet getekend.)

d ∠B = 180° − 35° − 40° = 105°. Het paar AB = 5 met ∠C = 40° is volledig:

AC=\frac{5\sin(105^\circ)}{\sin(40^\circ)}\approx 7{,}5\qquad BC=\frac{5\sin(35^\circ)}{\sin(40^\circ)}\approx 4{,}5

Opdracht A29

De hoogte h vanuit C staat loodrecht op AB. In de rechthoekige driehoek die dat geeft, is AC = 7 de schuine zijde en h de overstaande zijde van ∠A. Bereken dus eerst ∠A:

8^2=10^2+7^2-2\cdot10\cdot7\cos(\angle A)\;\Rightarrow\;\cos(\angle A)=\tfrac{85}{140}\;\Rightarrow\;\angle A=52{,}61\ldots^\circ

h=7\sin(52{,}61\ldots^\circ)\approx 5{,}6

Opdracht A30

De diagonaal BD verdeelt de vierhoek in twee driehoeken.

In △ABD ken je twee zijden en de ingesloten hoek ∠A:

BD^2=6^2+10^2-2\cdot6\cdot10\cos(50^\circ)\;\Rightarrow\;BD=7{,}672\ldots

In △BCD is BD = 7,672… met ∠C = 125° een volledig paar. CD = 4 hoort bij ∠DBC:

\sin(\angle DBC)=\frac{4\sin(125^\circ)}{7{,}672\ldots}\Rightarrow\angle DBC=25{,}28\ldots^\circ\qquad \angle BDC=180^\circ-125^\circ-25{,}28\ldots^\circ=29{,}71\ldots^\circ

BC=\frac{7{,}672\ldots\cdot\sin(29{,}71\ldots^\circ)}{\sin(125^\circ)}\approx 4{,}6

Opdracht C3

a Ingesloten hoek ∠A = 115°:

BC^2=3^2+2^2-2\cdot3\cdot2\cos(115^\circ)=18{,}07\ldots\;\Rightarrow\;BC\approx 4{,}25

b Drie zijden:

4^2=3^2+2^2-2\cdot3\cdot2\cos(\angle A)\;\Rightarrow\;\cos(\angle A)=-\tfrac{3}{12}\;\Rightarrow\;\angle A\approx 104{,}5^\circ

Opdracht C4

a Ingesloten hoek: cosinusregel.

BC^2=8^2+6^2-2\cdot8\cdot6\cos(140^\circ)\;\Rightarrow\;BC\approx 13{,}2

b Het paar AC = 6 met ∠B = 25° is volledig: sinusregel.

\sin(\angle A)=\frac{13\sin(25^\circ)}{6}\;\Rightarrow\;\text{GR: }66{,}30\ldots^\circ

∠A is stomp, dus ∠A = 180° − 66,30…° = 113,69…°. Dan ∠C = 180° − 25° − 113,69…° ≈ 41,3°.

c Drie zijden: cosinusregel.

13^2=8^2+6^2-2\cdot8\cdot6\cos(\angle A)\;\Rightarrow\;\cos(\angle A)=-\tfrac{69}{96}\;\Rightarrow\;\angle A\approx 136{,}0^\circ

3.3 De cosinusregel nagekeken?

28 opdrachten

Zo pak je het aan

In deze paragraaf bereken je lijnstukken met gelijkvormigheid en met de stelling van Pythagoras. Lukt dat niet direct, dan stel je een lijnstuk gelijk aan x en los je een vergelijking op.

Gelijkvormigheid in vier stappen

Zoek twee paar gelijke hoeken: een gemeenschappelijke hoek, overstaande hoeken, of Z- en F-hoeken bij evenwijdige lijnen. Een rechte hoek telt ook mee.
Schrijf de driehoeken op in dezelfde volgorde: gelijke hoeken onder elkaar.
Maak de verhoudingstabel. Overeenkomstige zijden komen onder elkaar.
Reken met kruislings vermenigvuldigen.

\triangle ABC\sim\triangle APQ\quad\Rightarrow\quad \frac{AB}{AP}=\frac{BC}{PQ}=\frac{AC}{AQ}

Met x werken: staat de onbekende in een zijde die je nog niet kent, noem dan het onbekende stuk x. Druk de rest uit in x en zet de verhouding of Pythagoras op.

Opdracht V5

PQ ∥ BC, dus △ABC ∼ △APQ (F-hoeken). AB = 4 + 2 = 6, dus de factor is 6/4 = 1,5.

AC=1{,}5\cdot 3=4{,}5\qquad BC=1{,}5\cdot 6=9

Opdracht V6

DE ∥ AC, dus △BDE ∼ △BCA. BC = 3 + 6 = 9, dus de factor van groot naar klein is BD/BC = 6/9 = ⅔.

\frac{BE}{BA}=\frac23\Rightarrow BA=\frac{3}{2}\cdot4=6\qquad DE=\frac23\cdot AC=\frac23\cdot5=3\tfrac13

Opdracht V7

ED ∥ AB. ∠ECD = ∠BCA (overstaande hoeken) en ∠CDE = ∠CAB (Z-hoeken), dus △CDE ∼ △CAB met factor ED/AB = 4/7.

CD=\frac47\cdot5=2\tfrac67\qquad CE=\frac47\cdot6=3\tfrac37

Opdracht R31

a ∠BAC = ∠BED = 90° en ∠B zit in beide driehoeken. Twee paar gelijke hoeken, dus △ABC ∼ △EBD.

b KM is een rechthoekszijde, dus je trekt af:

KM=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{64}=8

Opdracht 32

PQ ∥ BC, dus △APQ ∼ △ABC met factor AP/AB = 3/4.

PQ=\tfrac34\cdot3=2\tfrac14\qquad AC=\sqrt{4^2+3^2}=5\qquad AQ=\tfrac34\cdot5=3\tfrac34\qquad CQ=5-3\tfrac34=1\tfrac14

Opdracht 33

In △ADE (rechte hoek bij E) is DE = √(5² − 4²) = 3. DE ∥ BC, dus △ADE ∼ △ACB met factor AB/AE = 7/4.

BC=\tfrac74\cdot3=5\tfrac14\qquad AC=\tfrac74\cdot5=8\tfrac34\qquad CD=8\tfrac34-5=3\tfrac34

Opdracht 34

De hoogtelijn CH en het lijnstuk MN zijn evenwijdig: △BNM ∼ △BHC.

De hoogtelijn CH valt in het midden van AB, dus AH = HB = 2 en CH = √(6² − 2²) = √32. MN ∥ CH, dus △BNM ∼ △BHC met factor BM/BC = 4/6 = ⅔.

MN=\tfrac23\sqrt{32}\approx 3{,}77\qquad BN=\tfrac23\cdot2=\tfrac43\qquad AN=4-\tfrac43\approx 2{,}67

Opdracht A35

De hoogtelijn CH halveert AB: BH = 8, CH = √(17² − 8²) = 15. △BDA en △BHC hebben allebei een rechte hoek en delen ∠B, dus ze zijn gelijkvormig:

\frac{BD}{BH}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow BD=\frac{8\cdot16}{17}\approx 7{,}5\qquad AD=\sqrt{16^2-BD^2}\approx 14{,}1

Andere manier voor AD: de oppervlakte twee keer opschrijven. ½ · 16 · 15 = ½ · 17 · AD geeft AD = 240/17.

Opdracht A36

△ABC is gelijkbenig met top B. De hoogtelijn uit B halveert AC, dus cos(∠A) = 5/15 = ⅓. In de rechthoekige △ADC geldt AD = AC · cos(∠A) = 10/3, dus BD = 15 − 10/3 = 35/3.

DE ∥ AC, dus △BDE ∼ △BAC:

DE=\frac{BD}{BA}\cdot AC=\frac{35/3}{15}\cdot10=7\tfrac79

Opdracht A37

△DPM ∼ △BPA met factor ½, en Q is het midden van de diagonaal.

DM ∥ AB, dus △DPM ∼ △BPA (Z-hoeken en overstaande hoeken). DM = 3 en AB = 6, dus DP : PB = 1 : 2 en DP = ⅓ DB. De diagonalen halveren elkaar, dus DQ = ½ DB.

DB=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}\qquad PQ=\tfrac12DB-\tfrac13DB=\tfrac16\sqrt{52}\approx 1{,}20

Opdracht O38

AC staat nog niet vast: je weet alleen AC = AD + 2½, en AD is juist gevraagd. In AD = AC · AE / AB staat dus nog een onbekende. Stel daarom AD = x.

Uitwerking (zoals in de theorie): 8/5 = (x + 2½)/x, dus 8x = 5x + 12½ en x = 4⅙.

Opdracht R39

In het voorbeeld is DE : BC = 4 : 5. Stel AE = x, dan is AC = x + 2,2.

\frac{x}{x+2{,}2}=\frac45\;\Rightarrow\;5x=4x+8{,}8\;\Rightarrow\;AE=x=8{,}8

Opdracht 40

PQ ∥ AB, dus △CPQ ∼ △CAB. Stel CQ = x, dan is CB = x + 4.

\frac{x}{x+4}=\frac25\;\Rightarrow\;5x=2x+8\;\Rightarrow\;CQ=x=2\tfrac23

Opdracht 41

DE ∥ AC, dus △BDE ∼ △BAC met factor 12,5/20 = ⅝. Stel BE = x, dan BC = x + 6:

\frac{x}{x+6}=\frac58\;\Rightarrow\;8x=5x+30\;\Rightarrow\;x=10,\;BC=16

AB=\sqrt{20^2-16^2}=12\qquad BD=\tfrac58\cdot12=7{,}5\qquad AD=12-7{,}5=4{,}5

Opdracht 42

ED ∥ CB, dus △SDE ∼ △SCB (vlinderfiguur).

a ED ∥ CB, dus △ADE ∼ △ABC met factor 8/20:

DE=\tfrac{8}{20}\cdot15=6\qquad AE=\sqrt{8^2+6^2}=10

b In de vlinder is DS : SC = DE : CB = 6 : 15 = 2 : 5, dus DS = 2/7 · DC.

DC=\sqrt{12^2+15^2}=\sqrt{369}\qquad DS=\tfrac27\sqrt{369}\approx 5{,}49

Opdracht A43

DE ∥ AB, dus △SDE ∼ △SBA. Het verband tussen DS en SB volgt uit DE : AB.

AC = √(15² − 12²) = 9, dus DC = 9 − 5 = 4. DE ∥ AB geeft △CDE ∼ △CAB: DE = 4/9 · 12 = 16/3.

In de vlinder △SDE ∼ △SBA is DS : SB = DE : AB = 16/3 : 12 = 4 : 9. DB = √(12² + 5²) = 13, dus

BS=\tfrac{9}{13}\cdot13=9

Opdracht A44

a DE ∥ AC, dus △BDE ∼ △BAC met factor BE/BC = 4/10. Stel BD = x, dan AB = 7 + x:

\frac{x}{7+x}=\frac25\Rightarrow x=4\tfrac23,\;AB=11\tfrac23\qquad AC^2+BC^2=36+100=136,\quad AB^2=136\tfrac19

Pythagoras klopt niet precies, dus ∠ACB is niet 90° (hij is iets groter).

b DE = 0,4 · 6 = 2,4. In de vlinder △SDE ∼ △SCA is SE : AS = 2,4 : 6 = 2 : 5. Dus AS = 5/7 van AE.

Opdracht A45

∠QTS = ∠QPR en ∠Q is gemeenschappelijk: △QTS ∼ △QPR.

Stel QR = x, dan QT = x − 4. In △QTS ∼ △QPR staat QT onder QP en QS onder QR:

\frac{x-4}{32}=\frac{15}{x}\Rightarrow x^2-4x-480=0\Rightarrow(x-24)(x+20)=0\Rightarrow x=24

ST=\frac{QS}{QR}\cdot PR=\frac{15}{24}\cdot16=10

Opdracht E46

∠ABC = ∠DEC = 90° en ∠ACB = ∠DCE (overstaande hoeken), dus △ABC ∼ △DEC met factor 4 : 7,2.

Stel BC = x en AC = y. Dan CD = 12 − x en CE = 10,4 − y:

\frac{4}{7{,}2}=\frac{y}{12-x}\Rightarrow x=12-1{,}8y\qquad \frac{4}{7{,}2}=\frac{x}{10{,}4-y}

Vul x = 12 − 1,8y in bij de tweede: 4(10,4 − y) = 7,2(12 − 1,8y), dus 8,96y = 44,8 en y = 5. Dan is BC = x = 12 − 9 = 3. Controle: 3² + 4² = 5².

Opdracht A47

Bij a en b teken je een hulplijn DE ∥ AB (E op BC). Dan is BE = 9 en DE = 12.

	Aanpak	AC
a	CE = √(13² − 12²) = 5, BC = 14, AC = √(12² + 14²)	≈ 18,4
b	∠CDE = 20°, CE = 12 tan(20°), BC = 9 + CE, Pythagoras	≈ 18,0
c	BD = 15, DS = 6; △ADS ∼ △CBS geeft BC = 9 · 9/6 = 13½, Pythagoras	≈ 18,1
d	AC ⊥ BD: △DAB ∼ △ABC geeft AC = 15 · 12/9	= 20
e	∠ABD = 36,86…°, ∠BAS = 180° − 36,86…° − 95°, AC = 12/cos(∠BAS)	≈ 18,0

Opdracht O48

In △ADM: AM = 6 (straal), DM = x en AD = ½AB.

a CD = CM + MD = 6 + x, en CD = AB. D is het midden van AB, dus AD = ½(x + 6) = ½x + 3.

b Pythagoras in △ADM:

\left(\tfrac12x+3\right)^2+x^2=6^2\Rightarrow \tfrac14x^2+3x+9+x^2=36\Rightarrow 1\tfrac14x^2+3x-27=0

c Maal 4: 5x² + 12x − 108 = 0. Met de abc-formule: D = 144 + 2160 = 2304, √D = 48.

x=\frac{-12+48}{10}=3\tfrac35\quad(\text{de negatieve oplossing valt af})\qquad AB=x+6=9\tfrac35

Opdracht 49

Stel AD = x. Dan AB = 2x, CD = 3x en DM = 3x − 6.

Stel AD = x, dan AB = 2x en CD = 1½ · 2x = 3x, dus DM = 3x − 6. Pythagoras in △ADM:

x^2+(3x-6)^2=36\Rightarrow10x^2-36x=0\Rightarrow x(10x-36)=0\Rightarrow x=3\tfrac35

AB = 2x = 7⅕.

Opdracht 50

Stel AP = x. Dan MP = x en NP = 9 − x. Pythagoras in △ANP:

3^2+(9-x)^2=x^2\Rightarrow 90-18x=0\Rightarrow AP=x=5

Opdracht A51

R is het midden van AD. In △ARP: AR = 3 en RP = ½(13 − x).

Stel AP = PQ = x. Door de symmetrie is RP = ½(13 − x) = 6½ − ½x. Pythagoras in △ARP:

\left(6\tfrac12-\tfrac12x\right)^2+3^2=x^2\Rightarrow 3x^2+26x-205=0

D = 26² + 4 · 3 · 205 = 3136, √D = 56, dus x = (−26 + 56)/6 = 5. AP = 5.

Opdracht A52

M is het middelpunt van de cirkel. MH = r − 18.

Teken het middelpunt M onder de boog. In de rechthoekige driehoek MHR is MR = r, HR = 45 en MH = r − 18:

45^2+(r-18)^2=r^2\Rightarrow 2025+324-36r=0\Rightarrow r=\frac{2349}{36}\approx 65\ \text{cm}

Opdracht C5

DE ∥ AC, dus △BDE ∼ △BAC met factor 5/9. BC = √(9² + 5²) = √106, dus BE = 5/9 · √106.

CE=\tfrac49\sqrt{106}\approx 4{,}58

Opdracht C6

AD ∥ BC, dus △ADE ∼ △CBE met factor 7 : 5.

AE : EC = 7 : 5, dus AE = 7/12 van AC. AC = √(12² + 5²) = 13.

AE=\tfrac{7}{12}\cdot13=7\tfrac{7}{12}

Opdracht C7

Stel AB = x, dan AD = 1½x. De diagonaal is een middellijn: 13.

x^2+\left(1\tfrac12x\right)^2=13^2\Rightarrow 3\tfrac14x^2=169\Rightarrow x^2=52\Rightarrow AB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}

3.4 Vergelijkingen in de meetkunde nagekeken?

12 opdrachten

Zo pak je het aan

Bij cirkels reken je altijd met het deel van de cirkel: de middelpuntshoek gedeeld door 360°.

\text{boog}=\frac{\alpha}{360}\cdot2\pi r\qquad \text{sector}=\frac{\alpha}{360}\cdot\pi r^2\qquad \text{segment}=\text{sector}-\text{driehoek}

Voor driehoeken en vierhoeken gebruik je de bekende formules:

Figuur	Oppervlakte
driehoek	½ · basis · hoogte
parallellogram	basis · hoogte
trapezium	½ · (a + b) · hoogte
cirkel	π r²

De hoogte vind je bijna altijd met SOS in een rechthoekige driehoek: hoogte = schuine zijde · sin(hoek).

Opdracht O53

a 70/360 = 7/36 deel van de cirkel.

b Boog PQ = α/360 · 2π · 5 = πα/36.

Opdracht O54

a Sector = 70/360 · π · 6² = 7π.

b △AMB heeft twee zijden van 6 met 70° ertussen. De hoogte op MB is 6 sin(70°), dus O(△AMB) = ½ · 6 · 6 sin(70°) = 16,91…

\text{segment}=7\pi-16{,}91\ldots\approx 5{,}08

Opdracht R55

In △ABM ken je drie zijden: 6, 6 en 5.

5^2=6^2+6^2-2\cdot6\cdot6\cos(\angle AMB)\Rightarrow\cos(\angle AMB)=\tfrac{47}{72}\Rightarrow\angle AMB\approx49{,}2^\circ

Opdracht 56

MN deelt AB middendoor en staat er loodrecht op.

a In △ANC is AC = 2½ en AN = 4: sin(∠ANC) = 2,5/4, dus ∠ANC = 38,68…° en ∠ANB = 77,36…°.

\text{boog }AB=\frac{77{,}36\ldots}{360}\cdot2\pi\cdot4\approx 5{,}401

b Het gebied bestaat uit twee segmenten: één van cirkel M en één van cirkel N.

\text{segment }M=\frac{49{,}24\ldots}{360}\pi\cdot6^2-\tfrac12\cdot6\cdot6\sin(49{,}24\ldots^\circ)=1{,}83\ldots

\text{segment }N=\frac{77{,}36\ldots}{360}\pi\cdot4^2-\tfrac12\cdot4\cdot4\sin(77{,}36\ldots^\circ)=2{,}99\ldots

Samen ≈ 4,83.

Opdracht 57

Teken steeds de hoogte vanuit de top. Die halveert de basis.

a De hoogte op AB = 8 is CD = 4 · tan(65°). O = ½ · 8 · 4tan(65°) ≈ 34,31.

b ∠M = 180° − 2 · 70° = 40°. O = ½ · 8 · 8 · sin(40°) ≈ 20,57.

c ½ · 6 · h = 20, dus h = 6⅔. In de halve driehoek: tan(∠P) = 6⅔ / 3, dus ∠P = ∠Q ≈ 65,8° en ∠R = 180° − 2 · 65,77…° ≈ 48,5°.

Opdracht 58

Neem de straal van de rode cirkel r. De witte ring loopt tot 2r, de blauwe tot 3r.

O(\text{blauw})=\pi(3r)^2-\pi(2r)^2=5\pi r^2=5\cdot O(\text{rood})

De blauwe ring is 5 keer zo groot.

Opdracht 59

△AMB is gelijkbenig met een tophoek van 60°, dus gelijkzijdig: AB = 3. In △ANB met zijden 2, 2 en 3:

3^2=2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cos(\angle ANB)\Rightarrow\cos(\angle ANB)=-\tfrac18\Rightarrow\angle ANB=97{,}18\ldots^\circ

\text{verschil}=\frac{97{,}18\ldots}{360}\cdot2\pi\cdot2-\frac{60}{360}\cdot2\pi\cdot3\approx 0{,}2507

Opdracht 60

∠C = 180° − 25° − 125° = 30°. Het paar AB = 5 met ∠C = 30° is volledig:

AC=\frac{5\sin(125^\circ)}{\sin(30^\circ)}=8{,}19\ldots\qquad O=\tfrac12\cdot AB\cdot AC\sin(25^\circ)\approx 8{,}65

Opdracht A61

Steeds geldt: omtrek = AB + BC + CD + DA. Zoek de ontbrekende zijden via de diagonaal BD of AC.

	Aanpak	Omtrek
a	BD = √(10² − 6²) = 8, BC = √(8² − 5²) = √39	≈ 27,24
b	In △BCD: BC = 9 sin(50°), CD = 9 cos(50°)	≈ 28,68
c	△ACD: ∠DAC = 25°, AC en CD met de sinusregel; BC = √(10² − AC²)	≈ 25,62
d	BD² = 6² + 10² − 2·6·10·cos(60°) = 76, BC = √(76 − 5²)	≈ 28,14
e	△ABD: ∠D = 80°, AD en BD met de sinusregel; BC = √(BD² − 5²)	≈ 28,76
f	BD = 8; in △BCD: sinusregel geeft ∠DBC = 37,98…°, ∠BDC = 62,01…°, BC = 7,17…	≈ 28,17

Bij c: eerst △ACD (blauw), dan de rechthoekige △ABC.

Bij f: BD = 8 uit △ABD, daarna de sinusregel in △BCD.

Opdracht A62

De diagonalen halveren elkaar in S: AS = 7 en BS = 4,5. In △ABS:

10^2=7^2+4{,}5^2-2\cdot7\cdot4{,}5\cos(\angle ASB)\Rightarrow\angle ASB=119{,}21\ldots^\circ

De vier driehoeken rond S zijn even groot (sin(α) = sin(180° − α)):

O=4\cdot\tfrac12\cdot7\cdot4{,}5\sin(119{,}21\ldots^\circ)\approx 55{,}0

Opdracht C8

In △ABD: ∠ADB = 180° − 65° − 40° = 75°, dus AD = 5 sin(40°)/sin(75°) = 3,32… De hoogte van het trapezium is AD · sin(65°) = 3,01…

O=\tfrac12(5+3)\cdot3{,}01\ldots\approx 12{,}06

Opdracht C9

Het midden van AB ligt 3 van A. sin(½∠AMB) = 3/5, dus ∠AMB = 2 · 36,86…° = 73,73…°.

\text{boog }AB=\frac{73{,}73\ldots}{360}\cdot2\pi\cdot5\approx 6{,}435

3.5 Lengte, omtrek en oppervlakte nagekeken?

10 opdrachten

Test 1

EB = 5/tan(55°) = 3,50…, dus AB = 6,50… In △ABC: tan(∠BAC) = 5/6,50… geeft ∠BAC ≈ 37,6°. ∠AEC = 180° − 55° = 125°, dus ∠ACE = 180° − 125° − 37,56…° ≈ 17,4°.

Test 2

∠C = 85°. Het paar BC = 6 met ∠A = 40° is volledig:

AC=\frac{6\sin(55^\circ)}{\sin(40^\circ)}=7{,}64\ldots\quad AB=\frac{6\sin(85^\circ)}{\sin(40^\circ)}=9{,}29\ldots\quad\text{omtrek}\approx 22{,}95

Test 3

sin(∠C) = 10 sin(50°)/9 geeft ∠C = 58,33…° of 121,66…°.

∠C	∠B	AC = 9 sin(∠B)/sin(50°)
58,33…°	71,66…°	≈ 11,2
121,66…°	8,33…°	≈ 1,7

Test 4

QM = 3. In △PQR geeft de cosinusregel cos(∠Q) = (16 + 36 − 25)/48 = 27/48. In △PQM:

PM^2=4^2+3^2-2\cdot4\cdot3\cdot\tfrac{27}{48}=11{,}5\Rightarrow PM\approx3{,}39

Test 5

In △ABD (twee zijden en de ingesloten hoek): AD² = 10² + 5² − 2·10·5·cos(35°), AD = 6,56… Dan sin(∠BAD) = 5 sin(35°)/AD, dus ∠BAD = 25,90…°.

∠C = 180° − 35° − 25,90…° − 25° ≈ 94,1°.

Test 6

DE = √(5² − 4²) = 3. DE ∥ AC, dus △BDE ∼ △BAC met factor 6/4 = 1,5: AC = 4,5 en BC = 7,5, dus CE = 2,5.

Test 7

CE ∥ AD, dus △SCE ∼ △SAD met factor 2,5 : 4. Stel CE = x, dan AD = BC = x + 2:

\frac{x}{x+2}=\frac{2{,}5}{4}\Rightarrow4x=2{,}5x+5\Rightarrow CE=x=3\tfrac13

Test 8

Stel AB = x, dan AC = 2½x en BC = √(6¼x² − x²) = ½√21 · x. Oppervlakte: x · ½√21 · x = √21, dus x² = 2 en x = √2. De straal is ½AC:

r=\tfrac12\cdot2\tfrac12\sqrt2=1\tfrac14\sqrt2

Test 9

In de rechthoekige △BCD is DB = 6 en ∠C = 60°, dus DC = 6/tan(60°) = 2√3.

\tfrac12(AB+2\sqrt3)\cdot6=30\Rightarrow AB=10-2\sqrt3\approx6{,}54

Test 10

M ligt op cirkel N: MN = NA = 5, MA = 8.

In △AMN (zijden 8, 5, 5): cos(∠AMN) = 4/5, dus ∠AMB = 2 · 36,86…° = 73,73…°. ∠ANM = 180° − 2 · 36,86…° = 106,26…°, dus de kleine boog van N hoort bij ∠ANB = 360° − 2 · 106,26…° = 147,47…°.

\frac{73{,}73\ldots}{360}\cdot2\pi\cdot8+\frac{147{,}47\ldots}{360}\cdot2\pi\cdot5=10{,}29\ldots+12{,}87\ldots\approx23{,}17

Kennis- en vaardighedentest nagekeken?

10 opdrachten

Gemengd 1

AD = 7/tan(68°) = 2,82…, AB = 6,82… In △ABC: tan(∠ACB) = 6,82…/7, ∠ACB = 44,28…°. ∠ACD = 90° − 68° = 22°, dus ∠BCD ≈ 22,3°.

Gemengd 2

In △ABD: ∠ADB = 180° − 60° = 120°, dus ∠DAB = 24°.

AC=AD=\frac{5\sin(36^\circ)}{\sin(120^\circ)}\approx3{,}4\qquad BD=\frac{5\sin(24^\circ)}{\sin(120^\circ)}\approx2{,}3

Gemengd 3

△ABC: AC² = 8² + 4² − 2·8·4·cos(50°), dus AC ≈ 6,2. De sinusregel geeft ∠BAC = 29,44…°, dus ∠CAD = 40° − 29,44…° = 10,55…°. In △ACD:

CD^2=6{,}23\ldots^2+5^2-2\cdot6{,}23\ldots\cdot5\cos(10{,}55\ldots^\circ)\Rightarrow CD\approx1{,}6

Gemengd 4

a ∠A = 42°. BC² = 6² + 7² − 2·6·7·cos(42°), BC = 4,75… Met de cosinusregel op ∠C: ∠C ≈ 80,3°.

b In △ACD: ∠ADC = 180° − 28° − 80,33…° = 71,66…°, dus AD = 6 sin(80,33…°)/sin(71,66…°) ≈ 6,2.

Gemengd 5

∠C is gemeenschappelijk en ∠CED = ∠B, dus △CED ∼ △CBA. Stel CD = x, dan CB = x + 1:

\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CA}\Rightarrow\frac{4}{x+1}=\frac{x}{7}\Rightarrow x^2+x-28=0\Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{113}}{2}\approx4{,}8

Gemengd 6

a ∠C = 72°. BC = 9 sin(27°)/sin(72°) = 4,29… en AC = 9 sin(81°)/sin(72°) = 9,34…, omtrek ≈ 22,6.

b cos(∠A) = (5² + 7² − 6²)/(2·5·7) = 38/70, dus ∠A = 57,12…°. Hoogte CD = 7 sin(57,12…°) = 5,87…, O = ½ · 5 · 5,87… ≈ 14,70.

c Stel DE = x, dan EF = 2x. sin(∠F) = x · sin(105°)/(2x) = 0,48…, dus ∠F ≈ 28,9° (scherp, want ∠D is al stomp).

d De hoogte is 6 sin(30°) = 3. ½(6 + CD) · 3 = 15 geeft CD = 4. In △ACD (∠D = 30°):

AC^2=6^2+4^2-2\cdot6\cdot4\cos(30^\circ)\Rightarrow AC\approx3{,}2

Gemengd 7

Stel BC = CD = x. Pythagoras in △ABC: x² + (23 + x)² = 37², dus x² + 23x − 420 = 0 en x = 12. BD = √(12² + 12²) = 12√2.

Gemengd 8

EF ∥ AC, dus △BEF ∼ △BAC met factor 2 : 5.

BF/BC = 2/5 met CF = 2,4 geeft BF = 1,6 en BC = 4. Stel AD = EF = y, dan AC = y + 3,6 en y/(y + 3,6) = 2/5, dus y = 2,4 en AC = 6. Met de cosinusregel in △ABC is cos(∠A) = (25 + 36 − 16)/60 = 0,75. In △ADE:

DE^2=3^2+2{,}4^2-2\cdot3\cdot2{,}4\cdot0{,}75=3{,}96\Rightarrow DE=1{,}98\ldots

Omtrek BCDE = 4 + 3,6 + 1,98… + 2 ≈ 11,59.

Gemengd 9

BC is een middellijn (∠A = 90°), dus M is het midden van BC en r = 2,5.

BC = 5, r = 2,5. In △BMN (N midden AB): cos(∠BMN) = 1,5/2,5, dus ∠AMB = 106,26…°.

a Omtrek segment = boog + koorde = 106,26…/360 · 2π · 2,5 + 4 ≈ 8,6.

b Oppervlakte = sector − △ABM = 106,26…/360 · π · 2,5² − ½ · 4 · 1,5 ≈ 2,80.

Gemengd 10

Stel de hoogte van de rechthoek x, dan is de lengte 4x. Het midden Q van de bovenzijde ligt op de binnencirkel, dus MQ = 10 + x. Een hoekpunt P ligt op de buitencirkel: Pythagoras in △MPQ geeft

(2x)^2+(10+x)^2=20^2\Rightarrow5x^2+20x-300=0\Rightarrow x=6

De rechthoek is 6 bij 24 = 144. De ring is π · 20² − π · 10² = 300π.

\frac{144}{300\pi}\cdot100\%\approx15{,}3\%

Gemengde opgaven nagekeken?